Grænse (matematik)

Grænsen er et af de grundlæggende begreber i matematisk analyse , den er baseret på så fundamentale dele af analysen som kontinuitet , afledte , integrale , uendelige rækker osv. Der er en grænse for en sekvens og en grænse for en funktion [1] .

Begrebet en grænse blev brugt på et intuitivt niveau så tidligt som i anden halvdel af det 17. århundrede af Newton , såvel som af matematikere fra det 18. århundrede, såsom Euler og Lagrange . De første strenge definitioner af grænsen for en sekvens blev givet af Bolzano i 1816 og af Cauchy i 1821.

Historie

Begrundelse for udtrykket

Operationen med at tage grænsen i matematisk analyse kaldes passage til grænsen [2] . Det intuitive koncept for passage til grænsen blev brugt af videnskabsmændene i det antikke Grækenland , når de beregnede arealer og volumener af forskellige geometriske former. Metoder til at løse sådanne problemer blev hovedsageligt udviklet af Archimedes .

Ved oprettelsen af differential- og integralregningen brugte matematikere fra det 17. århundrede (og frem for alt Newton ) også eksplicit eller implicit begrebet passage til grænsen. For første gang blev definitionen af begrebet grænse introduceret i Wallis ' værk "Arithmetic of Infinite Values" (XVII århundrede), men historisk set dannede dette begreb ikke grundlag for differential- og integralregning.

Først i det 19. århundrede, i Cauchys værker , blev teorien om grænser brugt til en streng begrundelse for matematisk analyse. Yderligere udvikling af teorien om grænser blev udført af Weierstrass og Bolzano .

Ved hjælp af grænseteorien i første halvdel af 1800-tallet underbyggede man især brugen af uendelige serier i analyse, som var et bekvemt apparat til at konstruere nye funktioner [3] .

Grænsesymbol

Det generelt accepterede grænsesymbol blev foreslået af Simon Lhuillier (1787) i følgende format: denne notation blev understøttet af Cauchy (1821). Prikken efter lim forsvandt hurtigt [4] . Weierstrass introducerede notationen af grænsen tæt på den moderne , selvom han i stedet for pilen, vi er vant til, brugte lighedstegnet: [5] . Pilen dukkede op i begyndelsen af det 20. århundrede med flere matematikere på én gang [6] . $\lim _{x\to a}f(x)$ $\operatørnavn {lim.} x:a;$ $\operatorname {Lim} _{x=a}$

Dirichlet (1837) var den første, der foreslog notationen for artens ensidige grænse i formen: Moritz Pasch (1887) introducerede andre vigtige begreber - de øvre og nedre grænser , som han skrev i formen: og hhv. I udlandet er denne symbolik blevet standard, og andre betegnelser er fremherskende i indenlandsk litteratur: indført af Alfred Pringsheim i 1898 [7] . $\lim _{x\to a+0}f(x)$ $f(a+0),f(a-0).$ $\lim \sup$ $\lim \inf$ $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n},\ \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$

Sekvensgrænse

Grænsen for en sekvens er et objekt, som medlemmerne af sekvensen i en eller anden forstand tenderer til eller nærmer sig med stigende ordenstal.

Et tal kaldes grænsen for en sekvens if $-en$ $x_{1},x_{2},...,x_{n},...$

$\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{, }}\eksisterer {\text{ }}N(\varepsilon ){\text{, }}\forall {\text{ }} n>N(\varepsilon ){\text{ }}{\text{ }}|x_{n}-a|<\varepsilon$ .

Sekvensgrænsen er angivet med . Notationen er tilladt . ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n))$ ${\displaystyle \lim x_{n))$

Ejendomme:

Hvis grænsen for en sekvens eksisterer, så er den unik.
$\lim c=c$ $,\,c={\rm {konst}}.$
$\lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}$ (hvis begge grænser eksisterer)
$\lim(qx_{n})=q\lim x_{n}$ $,\,q={\rm {konst}}.$
$\lim(x_{n}y_{n})=\lim x_{n}\lim y_{n}$ (hvis begge grænser eksisterer)
$\lim(x_{n}/y_{n})=\lim x_{n}/\lim y_{n}$ (hvis begge grænser eksisterer, og nævneren på højre side ikke er nul)
Hvis og , så (sætningen "fastspændt sekvens", også kendt som " to politimandssætningen ") $a_{n}>x_{n}>b_{n}\forall n$ $\lim a_{n}=\lim b_{n}$ $\lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}$

Funktionsgrænse

En funktion har en grænse ved et punkt , hvis værdien for alle værdier, der er tilstrækkelig tæt på , er tæt på . $f(x)$ $EN$ $x_{0}$ $x$ $x_{0}$ $f(x)$ $EN$

Tallet b kaldes grænsen for funktionen i punktet , hvis det eksisterer sådan, at . $f(x)$ $-en$ $\forall \varepsilon >0$ $\delta>0$ $\foralt x,0<|xa|<\delta$ $|f(x)-b|<\varepsilon$

Funktionsgrænserne har egenskaber svarende til grænserne for sekvenser, for eksempel er summens grænse lig summen af grænserne, hvis alle grænser eksisterer. $\lim _{{x\to x_{0}}}(f(x)+g(x))=\lim _{{x\to x_{0}}}f(x)+\lim _{{ x\til x_{0}}}g(x)$

Forestillingen om grænsen for en sekvens i kvarterets sprog

Lad være et sæt, som begrebet et kvarter er defineret på (for eksempel et metrisk rum ). Lad være en sekvens af punkter (elementer) i dette sæt. Vi siger, at der er en grænse for denne sekvens, hvis næsten alle medlemmer af sekvensen ligger i et hvilket som helst område af punktet , eller $x$ $U$ $x_{i}\i X$ $x\i X$ $x$ $\forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\eksisterer {\text{ }}n,{\text{ }}\forall {\text{ }}i>n{\ tekst{ }}{\text{ }}x_{i}\in U(x)$

Bemærkelsesværdige grænser

Bemærkelsesværdige grænser er udtryk, der bruges i sovjetiske og russiske calculus lærebøger til at henvise til to velkendte matematiske identiteter med at tage en grænse:

Første bemærkelsesværdige grænse: $\lim _{{x\to 0}}{\frac {\sin x}{x}}=1.$
Anden bemærkelsesværdig grænse: $\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.$

Bemærkelsesværdige grænser og deres konsekvenser bruges i afsløringen af usikkerheder til at finde andre grænser.

Ultralimit

En ultragrænse er en konstruktion, der giver dig mulighed for at definere en grænse for en bred klasse af matematiske objekter. Især fungerer det for sekvenser af tal og sekvenser af punkter i et metrisk rum, og tillader generaliseringer til sekvenser af metriske rum og sekvenser af funktioner på dem. Denne konstruktion bruges ofte for at undgå at hoppe til en efterfølger flere gange. Denne konstruktion bruger eksistensen af et ikke -principielt ultrafilter , hvis bevis igen bruger det valgte aksiom .

Se også

Noter

↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , s. 556.
↑ Khinchin A. Ya. Otte forelæsninger om matematisk analyse. - M. - L., Gostekhizdat, 1948. - S. 14
↑ Tsypkin A. G. Håndbog i matematik. - M .: "Nauka", 1983.
↑ Hairer E., Wanner G. Matematisk analyse i lyset af dens historie. - M . : Scientific world, 2008. - 396 s. - ISBN 978-5-89176-485-9 . - S. 172.
↑ Yushkevich A.P. Udvikling af begrebet grænse før K. Weierstrass // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1986. - Nr. 30 . - S. 76 .
↑ Alexandrova N. V. Historie om matematiske termer, begreber, notation: Ordbogsopslagsbog . - 3. udg. - Sankt Petersborg. : LKI, 2008. - S. 133 -135. — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 genoptryk), §631-637. - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 s. — ISBN 978-1-60206-684-7 .

Litteratur

Limit // Matematisk encyklopædi (i 5 bind). - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Flot dansk Fantastisk norsk Stor russer kroatisk Britannica (online) Treccani Universalis Universalis
I bibliografiske kataloger	NDL : 00567231