Ensartet kontinuitetssætning

Ensartet kontinuitetssætning eller Cantor - Heine - sætningen siger, at en kontinuert funktion defineret på et kompakt sæt er ensartet kontinuert på det.

Ordlyd

Lad to metriske rum være givet og lad også være givet en kompakt delmængde og en kontinuert funktion defineret på den Så er ensartet kontinuerlig på $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y}).$ $A\delmængde X$ $f\colon A\to Y.$ $f$ $EN.$

Noter

Især er en kontinuerlig funktion med reel værdi defineret på et segment ensartet kontinuerlig på det. $f\kolon [a,b]\delsæt \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Under sætningens betingelser kan det kompakte sæt ikke erstattes af et vilkårligt åbent sæt. For eksempel funktionen $f(x)={\frac {1}{x)),\;x\in (0,1)$

er kontinuerlig over hele definitionsdomænet, men er ikke ensartet kontinuerlig. Bevis

Lad os bruge bevis ved modsigelse.

Lade være en funktion, der opfylder betingelserne for sætningen (på et kompakt sæt ), men er ikke ensartet kontinuerlig på det. Så eksisterer der sådan , at der for alle er sådanne og , afstanden mellem hvilke er mindre end , men afstanden mellem deres billeder er ikke mindre end : $f(x)$ $EN$ $\varepsilon$ $\delta>0$ $x$ $y$ $\delta$ $\varepsilon$

\exists \varepsilon >0\colon \quad \forall \delta >0\ \exists x_{{\delta )),y_({\delta }}\i A\colon \quad d(x,y)<\delta ,

men

d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon .

Lad os tage en sekvens, der konvergerer til 0, for eksempel . Vi konstruerer sekvenser og sådan $\{\delta _{k}\}$ $\left\{{\frac {1}{k}}\right\}$ $x_k$ $y_{k}$

d(x_{k},y_{k})<{\frac {1}{k))

, men

d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon

$EN$ er kompakt, så vi kan vælge en konvergent undersekvens:

x_{k_{j}}\to {\bar {x}}\i A.

Men da afstanden mellem medlemmerne af begge sekvenser har en tendens til nul, så får vi ved at bruge trekantens ulighed, at de tilsvarende undersekvenser har en tendens til et punkt :. Og siden er kontinuerlig , hvilket modsiger antagelsen om, at . ${\bar {x}}=\lim \limits _{j\to \infty }y_{k_{j}}=\zeta$ $f$ $f(x_{{k_{j}}})\til f(\zeta ),\quad f(y_{{k_{j}}})\til f(\zeta)\Højrepil d(f(x_{{ k_{j}}}),f(y_{{k_{j}}}))\til 0$ $d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon$

Derfor er en funktion, der er kontinuerlig på en kompakt, faktisk ensartet kontinuerlig på den.

Historie

Definitionen af ensartet kontinuitet fremgår af Heines arbejde . [1] To år senere udgiver han et bevis på teoremet for funktioner defineret på et lukket afgrænset interval. [2] I disse papirer foregiver han ikke at være original, og hans bevis gentager praktisk talt Dirichlets bevis offentliggjort af ham i hans forelæsninger fra 1854.

Hovedbidraget ser ud til at komme fra Bolzano . [3]

Litteratur

↑ Heine, Über Trigonometrische Reihen, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 71 (1870), pp. 353-365
↑ Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 74 (1872), pp. 172-188.
↑ Rusnock, Paul og Angus Kerr-Lawson. "Bolzano og ensartet kontinuitet." Historia mathematica 32.3 (2005): 303-311.