Mekanisk stress

Mekanisk stress
$Q={\frac FS}$
Dimension	L −1 MT− 2
Enheder
SI	Pa
GHS	g cm −1 s −2

I kontinuummekanik er mekanisk spænding en fysisk størrelse , der udtrykker de indre kræfter , som nabopartikler i et kontinuerligt medium udøver på hinanden, og belastning er et mål for ændringen i mediets geometriske dimensioner. For eksempel, når en solid lodret stang understøtter en belastning , skubber hver partikel i stangen mod partiklerne direkte under den. Når en væske er i en lukket trykbeholder , kolliderer hver partikel med alle omgivende partikler. Beholderens vægge og overfladen, der skaber tryk (for eksempel et stempel), presses mod dem (ifølge Newtons tredje lov) i overensstemmelse med reaktionskraften. Disse makroskopiske kræfter er faktisk nettoresultatet af et meget stort antal intermolekylære kræfter og kollisioner mellem partikler i disse miljøer. Mekanisk belastning, eller belastning herefter, betegnes ofte med det små græske bogstav sigma σ .

Deformation, dvs. gensidig forskydning af de indre dele af et materiale, kan forekomme på grund af forskellige mekanismer, såsom stress, når eksterne kræfter påføres et bulkmateriale (såsom tyngdekraften ) eller på dets overflade (såsom kontaktkræfter, eksternt tryk eller friktion ). Enhver deformation af et fast materiale skaber en indre elastisk spænding , svarende til reaktionskraften af en fjeder , som har tendens til at returnere materialet til dets oprindelige udeformerede tilstand, observeret før påføringen af eksterne kræfter. I væsker og gasser er det kun deformationer, der ændrer volumen, der skaber en konstant elastisk spænding. Men hvis belastningen gradvist ændrer sig over tid, selv i væsker er der normalt en vis tyktflydende belastning , der forhindrer denne ændring. Elastiske og tyktflydende spændinger kombineres normalt under betegnelsen mekanisk belastning .

Betydelig spænding kan eksistere, selvom der er ringe eller ingen deformation (en almindelig antagelse i vandstrømssimuleringer). Spændinger kan eksistere i fravær af ydre kræfter; sådanne indbyggede spændinger forekommer for eksempel i forspændt beton og hærdet glas . Stress kan observeres i et materiale uden anvendelse af generelle kræfter , såsom på grund af ændringer i temperatur eller kemisk sammensætning, eller eksterne elektromagnetiske felter (som i piezoelektriske og magnetostriktive materialer).

Forholdet mellem mekanisk belastning, belastning og belastningsændringshastighed kan være ret komplekst, selvom en lineær tilnærmelse ofte er tilstrækkelig i praksis, hvis deres størrelser er små nok. Stress, der overskrider visse materialestyrkegrænser , vil føre til irreversibel deformation (for eksempel plastisk flow , ødelæggelse, kavitation ) eller endda til en ændring i krystalstrukturen og dens kemiske sammensætning .

I nogle grene af teknik bruges udtrykket stress nogle gange mere bredt som et synonym for "intern kraft". For eksempel, når man analyserer spær , kan dette referere til den samlede spænding eller kompressionskraft, der virker på en bjælke, snarere end kraften divideret med dens tværsnitsareal .

Historie

Siden oldtiden har folk været opmærksomme på tilstedeværelsen af spændinger inde i materialer. Indtil det 17. århundrede var forståelsen af belastninger for det meste intuitiv eller empirisk; og alligevel gav det anledning til komplekse teknologier såsom kompositbuen og glasblæsningsteknologi. [en]

I løbet af adskillige årtusinder har især arkitekter og bygherrer lært at kombinere omhyggeligt formede træbjælker og stenblokke for at understøtte, overføre og fordele last på den mest effektive måde ved hjælp af geniale anordninger som kapitæler , buer , kupler , spær og flyvende støttepiller af de gotiske katedraler .

Antikke og middelalderlige arkitekter udviklede nogle geometriske metoder og enkle formler til at beregne de nødvendige dimensioner af søjler og bjælker, men en videnskabelig forståelse af stresstilstanden af simple legemer blev først mulig efter at de nødvendige videnskabelige principper blev opfundet i det 17. og 18. århundrede: Galileo Galileis koncept om en streng eksperimentel metode , koordinater og analytisk geometri af René Descartes , samt Newtons love for bevægelse og ligevægt og grundlaget for infinitesimalregning . Med disse værktøjer var Augustin Louis Cauchy i stand til at skabe den første strenge og generelle matematiske model af elastisk stress i et homogent medium. Cauchy bemærkede, at kraften, der virker på en imaginær overflade, var en lineær funktion af dens normalvektor.

Forståelsen af spænding i væsker begyndte med Newton, som udledte en differentialformel for friktionskræfter (forskydningsspænding) i parallel laminær strømning .

Oversigt

Definition

Stress er defineret som den kraft, der virker gennem en "lille" grænse på området af denne grænse for alle orienteringer af grænsen. Som en afledning af en fundamental fysisk størrelse (kraft) og en rent geometrisk størrelse (areal) er spænding også en fundamental størrelse såsom hastighed, drejningsmoment eller energi , der kan kvantificeres og analyseres uden eksplicit hensyntagen til enten materialets beskaffenhed eller dets fysiske årsager..

Efter de grundlæggende principper for kontinuummekanik er stress et makroskopisk begreb. Nemlig, partiklerne, der udgør kroppen, betragtet i dets definition og analyse, skal være små nok til, at de kan betragtes som homogene i sammensætning og tilstand, men stadig store nok til at ignorere kvanteeffekter og den detaljerede bevægelse af mediets molekyler . Således er kraften mellem to partikler virkelig gennemsnittet af et meget stort antal atomkræfter mellem deres molekyler; og det antages, at fysiske størrelser såsom masse, hastighed og kræfter, der virker gennem volumenet af tredimensionelle legemer, såsom tyngdekraften, er jævnt fordelt over dem. :s.90–106 Afhængigt af konteksten kan man også antage, at partiklerne er store nok til at tillade gennemsnit af andre mikroskopiske strukturelle træk, såsom kornene på en metalstang eller fibrene i et stykke træ .

Kvantitativt udtrykkes spændingen af Cauchy-spændingsvektoren T , defineret som kraften F mellem tilstødende dele af materialet gennem en imaginær adskillelsesflade S , divideret med arealet S , da denne overflade har en tendens til nul repræsenterer det velkendte tryk . I et fast stof eller i en viskøs væskestrøm er kraften F muligvis ikke vinkelret på overfladen S ; derfor bør overfladespændingen betragtes som en vektormængde og ikke som en skalar. Desuden afhænger retningen og størrelsen normalt af orienteringen af overfladen S. Materialets spændingstilstand skal således beskrives ved en tensor (af anden rang) kaldet (Cauchy) spændingstensoren ; som er en lineær funktion, der relaterer normalvektoren n til overfladen S til spændingen T. Med hensyn til ethvert valgt koordinatsystem kan Cauchy spændingstensoren repræsenteres som en 3 × 3 symmetrisk matrix af reelle tal. Selv inde i et homogent legeme , stresstensoren kan ændre sig afhængigt af koordinater og tid; derfor er spænding i et materiale typisk et tidsvarierende tensorfelt .

Normal spænding og forskydningsspænding

Generelt kan spændingen T , som en partikel P påfører en anden partikel Q langs en sammenhængende overflade S være i en hvilken som helst retning i forhold til S. Vektoren T kan opfattes som summen af to komponenter: den normale spænding (kompressions- eller træk) vinkelret på overfladen og forskydningsspændingen parallelt med overfladen.

Hvis enhedsnormalvektoren n af overfladen (rettet fra Q til P ) antages at være fast, så kan normalkomponenten udtrykkes med et enkelt tal, prikproduktet T · n . Dette tal vil være positivt, hvis P "strækker" Q (trækspænding), og negativt, hvis P "skubber" Q (trykspænding). Skiftkomponenten er så en vektor T − ( T · n ) n .

Måleenheder

Dimensionen af stress er tryk , og derfor måles dens størrelse normalt i de samme enheder som tryk: nemlig pascal (Pa, det vil sige newton pr . kvadratmeter ) i det internationale system , eller pund pr. kvadrattomme (psi) i imperialistisk system. Da mekaniske spændinger i faste stoffer let overstiger en million pascal, er MPa (megapascal) den sædvanlige spændingsenhed.

Årsager og konsekvenser

Stress i en elastisk krop kan være forårsaget af en række fysiske årsager, herunder ydre påvirkninger og indre fysiske processer. Nogle af disse midler (såsom tyngdekraften, ændringer i temperatur og termodynamisk fase og elektromagnetiske felter) virker på hovedparten af materialet og ændrer sig kontinuerligt med koordinater og tid. Andre midler (for eksempel ydre belastninger og friktion, miljøtryk og kontaktkræfter) kan skabe spændinger og kræfter, der er koncentreret på bestemte overflader, linjer eller punkter; og muligvis også med meget korte tidsintervaller (f.eks. i pulser på grund af kollisioner og stød). I det aktive stof genererer selvkørende mikroskopiske partikler makroskopiske stressprofiler [2] . I det generelle tilfælde er fordelingen af spændinger i kroppen udtrykt som en stykkevis kontinuerlig funktion af koordinater og tid.

I modsætning hertil korrelerer stress generelt med forskellige effekter på materialet, muligvis herunder ændringer i fysiske egenskaber såsom dobbeltbrydning , polarisering og permeabilitet . Påføring af stress på grund af en ydre faktor skaber normalt en vis belastning (strain) i materialet, selvom det er for lille til at blive opdaget. I et fast materiale vil en sådan deformation på sin side forårsage en indre elastisk spænding, svarende til reaktionskraften af en strakt fjeder , der har tendens til at genoprette den oprindelige udeformerede tilstand af materialet. Flydende materialer (væsker, gasser og plasmaer ) kan per definition kun modstå deformationer, der kan ændre deres volumen. Men hvis belastningen ændrer sig over tid, selv i væsker er der normalt en vis tyktflydende belastning, der forhindrer denne ændring. Sådanne spændinger kan være både forskydnings- og normale. Den molekylære natur af forskydningsspændinger i væsker er skitseret i artiklen om viskositet . Det samme for normale viskøse spændinger kan findes i Sharma (2019). [3]

Forholdet mellem stress og dets virkninger og årsager, herunder belastning og belastningsændringshastigheden, kan være ret komplekst (selvom der i praksis anvendes en lineær tilnærmelse , hvis mængderne er små nok). Stress, der overskrider visse materialestyrkegrænser , vil føre til irreversibel deformation (for eksempel plastisk flow , ødelæggelse, kavitation ) eller endda til en ændring i krystalstrukturen og dens kemiske sammensætning .

Simpel stress

I nogle situationer kan stress inde i kroppen beskrives tilstrækkeligt af en enkelt vektor. Tre sådanne simple spændingssituationer , der ofte opstår i konstruktionsteknik, er enakset normal spænding , simpel forskydningsspænding og isotrop normal spænding .

Enakset normal spænding

Den sædvanlige situation med en simpel spændingsstruktur observeres i en lige stang med et homogent materiale og tværsnit, som udsættes for spænding under påvirkning af modsat rettede kræfter langs sin akse. Hvis systemet er i ligevægt og ikke ændrer sig med tiden, og vægten af stangen kan negligeres, så gennem hvert tværsnit af stangen, skal den øverste del trække den nederste del med samme kraft, F , med kontinuerlig handling over hele tværsnitsarealet A. Derfor kan spændingen σ i hele stangen på enhver vandret overflade blot udtrykkes ved et enkelt tal σ beregnet ud fra størrelsen af disse kræfter, F , og tværsnitsarealet, A. $F$

σ = F EN {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}

\sigma ={\frac {F}{A}}

På den anden side, hvis du forestiller dig, at stangen er skåret langs længden, parallelt med aksen, så vil der ikke være nogen kraft (og dermed ingen spænding) mellem de to halvdele.

Denne type stress kan kaldes (simpel) normal stress eller uniaksial stress; især (enakset, simpel) trækspænding. Hvis belastningen på stangen er i kompression frem for i spænding, er analysen den samme, bortset fra at kraften F og spændingen vil skifte fortegn, og spændingen kaldes trykspændingen. $\sigma$

Denne analyse forudsætter, at spændingen er jævnt fordelt over hele tværsnittet. I praksis kan denne antagelse ikke være sand, afhængigt af hvordan stangen er fastgjort i enderne og hvordan den blev lavet. I dette tilfælde vil værdien = F / A kun repræsentere den gennemsnitlige spænding, kaldet teknisk spænding eller nominel spænding . Men hvis længden af stangen L er mange gange dens diameter D , og den ikke har store defekter eller indbyggede spændinger, så kan det antages, at spændingen er ensartet fordelt over ethvert tværsnit, hvortil afstanden er mere end flere D gange større end afstanden fra begge ender. (Denne observation er kendt som Saint-Venants princip ). $\sigma$

Ud over aksial spænding og kompression forekommer normal stress i mange andre situationer. Hvis en elastisk stang med et ensartet og symmetrisk tværsnit bøjes i et af symmetriplanerne, vil den resulterende bøjningsspænding stadig være normal (vinkelret på tværsnittet), men vil variere på tværs af tværsnittet: den ydre del vil være under trækspænding, mens den indre del vil være i kompression. En anden variant af normal spænding er bøjlespændingen , som opstår på væggene af et cylindrisk rør eller beholder fyldt med væske under tryk.

Simpel forskydningsspænding

En anden simpel type spænding opstår, når et lag af elastisk materiale af ensartet tykkelse, såsom lim eller gummi, er solidt fastgjort til to stive legemer, der trækkes i modsatte retninger af kræfter parallelt med dette lag; eller et stykke blød metalstang, der skæres af sakseblade. Lad F være størrelsen af disse kræfter, og M middelplanet for dette lag. Som ved normal spænding skal en del af laget på den ene side af M trække den anden del med samme kraft F. Forudsat at kræfternes retning er kendt, kan spændingen på M udtrykkes som et enkelt tal , som beregnes ud fra størrelsen af disse kræfter F og tværsnitsarealet A . $\tau$

τ = F EN {\displaystyle \tau ={\frac {F}{A}}}

\tau ={\frac {F}{A}}

Men i modsætning til den normale spænding er denne simple forskydningsspænding rettet parallelt med det pågældende tværsnit, ikke vinkelret på det. For ethvert plan S , der er vinkelret på laget, vil den samlede indre kraft i S -planet og dermed spændingen være nul.

Som i tilfældet med en aksialt belastet stang kan forskydningsspændingen i praksis ikke fordeles ensartet over laget; så som før vil F / A -forholdet have betydningen af den gennemsnitlige ("nominelle", "tekniske") spænding. Men til praktiske formål er dette gennemsnit ofte tilstrækkeligt :s.292 . Forskydningsspænding observeres også, når en cylindrisk stang, såsom en aksel , udsættes for modsatrettede momenter ved sine ender. I dette tilfælde er forskydningsspændingen i hvert tværsnit parallel med tværsnittet, men orienteret tangentielt i forhold til aksen, og stiger med stigende afstand fra aksen. Under påvirkning af bøjningsbelastninger i midterplanet ("væg") af I-bjælker opstår en betydelig forskydningsspænding på grund af det faktum, at væggen begrænser endepladerne ("hylder").

Isotropisk stress

En anden simpel form for stress opstår, når en materiel krop oplever den samme kompression eller spænding i alle retninger. Dette sker for eksempel i en del af en væske eller gas i hvile, indesluttet i en eller anden beholder, eller som en del af en større væskemasse; eller inde i en terning af elastisk materiale, der er under ensartet tryk eller strakt på alle seks flader med lige store kræfter vinkelret på fladerne - forudsat at materialet i begge tilfælde er homogent, uden indbyggede spændinger, og at tyngdekraftens påvirkning mv. eksterne kræfter kan negligeres.

I disse situationer er spændingen på enhver imaginær indre overflade lige stor og altid rettet vinkelret på overfladen, uanset dens orientering. Denne type stress kan kaldes isotropisk normal eller blot isotropisk ; hvis der observeres trykspænding, kaldes det hydrostatisk tryk eller blot tryk . Gasser kan per definition ikke modstå trækspændinger, men nogle væsker kan modstå overraskende store værdier af isotropisk trækspænding under nogle omstændigheder (se Z-rør).

Cylinderspændinger

Aksialt symmetriske dele såsom hjul, aksler, rør, skiver og stivere er meget almindelige i teknik. Ofte har de spændingsmønstre, der forekommer i sådanne dele, rotations- (aksial) eller endda cylindrisk symmetri. Når man analyserer sådanne cylindriske spændinger, bruges symmetri til at reducere dimensionen af domænet og/eller spændingstensoren.

Generel visning af stresstensoren

Ofte oplever mekaniske kroppe mere end én type belastning på samme tid; dette kaldes kombineret spænding . Under normal spænding og forskydningsspænding er spændingsstørrelsen maksimal for overflader vinkelret på en bestemt retning og er nul på alle parallelle overflader Når forskydningsspænding kun er nul på overflader vinkelret på en bestemt retning, kaldes spændingen biaksial og kan betragtes som som summen af to normale spændinger eller forskydningsspændinger. I det mest generelle tilfælde, kaldet triaksial spænding , er spændingen ikke-nul på hvert overfladeelement. $d,$ $d.$

Cauchy stress tensor

Kombinerede spændinger kan ikke beskrives af en enkelt vektor. Derfor, selvom materialet udsættes for den samme belastning i hele kroppens volumen, vil belastningen på enhver imaginær overflade afhænge af orienteringen af denne overflade på en ikke-triviel måde.

Cauchy bemærkede dog, at spændingsvektoren givet på overfladen altid vil være en lineær funktion af normalvektoren til overfladen - en vektor af længdeenhed vinkelret på den. Altså hvor funktionen opfylder relationen $T$ $n,$ $T={\boldsymbol {\sigma }}(n),$ ${\boldsymbol {\sigma ))$

{\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)

for alle vektorer og eventuelle reelle tal Funktionen, der nu kaldes spændingstensoren (Cauchy) beskriver fuldstændig spændingstilstanden for et ensartet belastet legeme. (Generelt kaldes ethvert lineært forhold mellem to fysiske vektorstørrelser en tensor , hvilket svarer til Cauchys oprindelige betydning af at beskrive "spændinger" i et materiale.) Klassificeret i tensorregning som en andenrangs tensor af typen (0,2) . $u,\v$ $\alpha ,\ \beta .$ ${\boldsymbol {\sigma )),$ ${\boldsymbol {\sigma ))$

Som enhver lineær afbildning mellem vektorer kan spændingstensoren repræsenteres i et hvilket som helst valgt kartesisk koordinatsystem med en 3 × 3 matrix af reelle tal. Afhængigt af om koordinaterne er nummererede eller matrixen bruges, kan den skrives som: ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},\ x_{3))$ $x,\y,\z$

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23 }\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\quad \quad \quad

eller

\quad \quad \quad {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy} &\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}

Spændingsvektoren givet på overfladen med normalvektoren med koordinater er så repræsenteret som et matrixprodukt . Som et resultat får vi en kovariant (række-vektor) vektor (sammenlign med Cauchy stress tensor ), dvs. $T={\boldsymbol {\sigma }}(n)$ $n$ $n_1,\ n_2,\ n_3$ $T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$

{\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix }}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{ 32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}

Det lineære forhold mellem og følger også af de grundlæggende love om bevarelse af momentum og den statiske balance af kræfter, og er derfor matematisk nøjagtig for ethvert materiale og enhver spændingssituation. Komponenterne i Cauchy-spændingstensoren ved hvert punkt af kroppen opfylder ligevægtsligningerne ( Cauchy-ligningerne for bevægelse ved nulacceleration). Desuden følger det af princippet om bevarelse af vinkelmomentum , at spændingstensoren er symmetrisk , dvs. Dette afspejles i indlægget: $T$ $n$ $\sigma _{12}=\sigma _{21},$ $\sigma _{13}=\sigma _{31},$ $\sigma _{23}=\sigma _{32}.$

{\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz }\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}

hvor elementerne kaldes ortogonale normalspændinger (i forhold til det valgte koordinatsystem), og ortogonale forskydningsspændinger . ${\displaystyle \sigma _{x},\ \sigma _{y},\ \sigma _{z))$ ${\displaystyle \tau _{xy},\ \tau _{xz},\ \tau _{yz))$

Koordinattransformation

Cauchy-spændingstensoren adlyder tensortransformationsloven, når koordinatsystemet ændres. Til en grafisk fremstilling af denne transformationslov anvendes Mohrs spændingskreds .

For en 3×3 symmetrisk reel matrix har spændingstensoren tre indbyrdes ortogonale egenvektorer af enhedslængde og tre reelle egenværdier , således at spændingstensoren i et koordinatsystem med akser er en diagonal matrix og kun har tre normale komponenter kaldet principal understreger . Hvis de tre egenværdier er ens, så er spændingen en isotropisk kompression eller spænding, og den er altid vinkelret på enhver overflade, og der er ingen forskydningsspænding, og tensoren er en diagonal matrix i ethvert koordinatsystem. ${\boldsymbol {\sigma ))$ ${\displaystyle e_{1},\ e_{2},\ e_{3))$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda _{3))$ ${\boldsymbol {\sigma }}e_{i}=\lambda _{i}e_{i}.$ $e_{1},\ e_{2},\ e_{3},$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda _{3))$

Stress som et tensorfelt

Typisk er stress ujævnt fordelt i volumenet af en materiel krop og kan ændre sig over tid. Derfor skal spændingstensoren bestemmes for hvert punkt og hvert tidspunkt af tid, idet man tager en uendelig lille partikel af mediet, der omgiver dette punkt, i betragtning og tager de gennemsnitlige spændinger i denne partikel som spændingerne på dette tidspunkt.

Stress i tynde plader

Menneskeskabte genstande fremstilles ofte af standarddele fremstillet af en række forskellige materialer ved operationer, der ikke ændrer deres grundlæggende todimensionelle karakter, såsom skæring, boring, glat bukning og kantsvejsning. Beskrivelsen af spændinger i sådanne legemer kan forenkles ved at modellere disse dele som todimensionelle overflader i stedet for som tredimensionelle legemer.

Fra dette synspunkt kan man omdefinere en "partikel" som et infinitesimalt snit af pladens overflade, således at grænsen mellem tilstødende partikler bliver et infinitesimalt linjeelement (kontur); begge er implicit forlænget i den tredje dimension, vinkelret på pladen. "Stress" omdefineres derefter som et mål for de indre kræfter mellem to tilstødende "partikler", langs deres fælles linjeelement, divideret med længden af dette element. Nogle komponenter i spændingstensoren kan ignoreres, men da partikler ikke er uendeligt små i den tredje dimension, kan man ikke længere ignorere det drejningsmoment, som en partikel anvender på nabopartikler. Dette drejningsmoment er modelleret som en bøjningsspænding, der har tendens til at ændre pladens krumning . Disse forenklinger gælder dog muligvis ikke for svejsninger eller skarpe bøjninger og folder (hvor krumningsradius er sammenlignelig med pladetykkelsen).

Spænding i tynde bjælker

Spændingsanalyse er også meget forenklet for tynde stænger, bjælker eller tråde med ensartet (eller jævnt varierende) sammensætning og tværsnit, som udsættes for moderat bøjning og vridning. For disse kroppe kan man kun betragte tværsnit vinkelret på stangens akse og omdefinere "partikel" som et stykke tråd med en uendelig lille længde mellem to sådanne tværsnit. Den sædvanlige spænding reduceres derfor til en skalar (strækning eller komprimering af stangen), men man skal også tage højde for bøjningsspændingen (som forsøger at ændre stangens krumning i en eller anden retning vinkelret på aksen) og vridningsspændingen (som forsøger at rotere eller afvikle den omkring sin akse).

Andre stressbeskrivelser

Cauchy-spændingstensoren bruges til at analysere spændingerne i materialelegemer, der oplever små deformationer, hvor forskelle i spændingsfordelingen i de fleste tilfælde kan negligeres. For store tøjninger eller endelige tøjninger kræves andre spændingsbeskrivelsesmetoder, såsom den første og anden Piola-Kirchhoff spændingstensor, Biot spændingstensor og Kirchhoff spændingstensor.

Faste stoffer, væsker og gasser har spændingsfelter. Statiske væsker opretholder normal spænding, men flyder under forskydningsspænding . Bevægende viskøse væsker kan modstå forskydningsspændinger (dynamisk tryk). Faste stoffer kan modstå både forskydnings- og normale spændinger, hvor duktile materialer svigter under forskydning, og skøre materialer svigter under normale belastninger. Alle materialer har temperaturafhængige ændringer i spændingsrelaterede egenskaber, mens ikke-newtonske materialer ændrer sig med hastigheden.

Stressanalyse

Stressanalyse er en gren af anvendt fysik , der beskæftiger sig med at bestemme fordelingen af indre kræfter i faste stoffer. Det er en vigtig teknik i teknik til undersøgelse og design af strukturer såsom tunneler, dæmninger, mekaniske dele og strukturelle rammer under givne eller forventede belastninger. Stressanalyse er også vigtig i mange andre fag; for eksempel i geologi for at studere fænomener som pladetektonik , vulkanisme og laviner ; og i biologi at forstå levende væseners anatomi.

Mål og antagelser

Stressanalyse beskæftiger sig generelt med objekter og strukturer, der kan antages at være i makroskopisk statisk ligevægt . Ifølge Newtons bevægelseslove skal enhver ydre kræfter påført et sådant system afbalanceres af interne reaktionskræfter :p.97 , som næsten altid er forårsaget af overfladekontaktkræfter mellem nabopartikler, det vil sige spændinger. Da hver partikel skal være i balance, spredes denne stress forbundet med reaktionskraften normalt fra partikel til partikel, hvilket skaber en fordeling af stress i hele kroppen.

Et typisk problem i spændingsanalyse er at bestemme disse indre spændinger givet de ydre kræfter, der virker på systemet. Sidstnævnte kan både være kropskræfter (såsom tyngdekraft eller magnetisk vekselvirkning), der virker gennem hele materialets volumen; :p.42–81 eller koncentrerede belastninger (såsom friktion mellem en aksel og et leje , eller trykket fra et toghjul på en skinne), der antages at virke i et todimensionalt domæne eller langs en linje eller på et punkt .

Stressanalyse tager normalt ikke højde for de fysiske årsager til kræfterne eller materialernes nøjagtige beskaffenhed. I stedet antages spændingerne at være relateret til materialets tøjning (og, i ikke-stationære problemer, tøjningshastighed) ved kendte materialerelationer.

Metoder

Spændingsanalyse kan udføres eksperimentelt ved at påføre belastninger på en faktisk del eller på en skaleret model og måle de resulterende spændinger ved hjælp af en af flere tilgængelige metoder. Denne tilgang bruges ofte til at certificere og overvåge sikkerheden af store strukturer. De fleste stressanalyser udføres dog matematisk, især under design. Til hovedopgaven med spændingsanalyse bør Euler-bevægelsesligningerne for faste legemer (som er en konsekvens af Newtons love for bevarelse af momentum og vinkelmomentum ) og Euler-Cauchy-spændingsprincippet sammen med de tilsvarende materielle relationer være tegnet op. Således opnås et system af partielle differentialligninger , herunder spændingstensorfeltet og tøjningstensorfeltet som ukendte funktioner, der skal findes. Eksterne kropskræfter optræder som et uafhængigt ("højre side") led i differentialligninger, og koncentrerede kræfter kommer ind i ligningerne som grænsebetingelser. Stressanalysens hovedopgave er således et grænseværdiproblem .

Beregningen af spændinger for elastiske strukturer er baseret på teorien om elasticitet og teorien om infinitesimale deformationer. Når påførte belastninger forårsager permanent deformation, skal der anvendes mere komplekse materialeforhold, som kan tage højde for vigtige fysiske processer ( plastisk flow , svigt, faseovergang osv.).

Imidlertid er tekniske strukturer normalt designet således, at de maksimale forventede spændinger er inden for området for lineær elasticitet (en generalisering af Hookes lov for kontinuumer); det vil sige, at deformationer forårsaget af indre spændinger skal være lineært relateret til dem. I dette tilfælde er differentialligningerne, der bestemmer spændingstensoren, lineære, og problemet er meget forenklet. For det første vil spændingen på ethvert punkt også være en lineær funktion af belastningen. Ved tilstrækkeligt lave spændinger kan selv ikke-lineære systemer normalt betragtes som lineære.

Spændingsanalyse forenkles, når de fysiske dimensioner og belastningsfordelingen tillader, at strukturen kan betragtes som en- eller todimensionel. Ved beregning af spær kan det for eksempel antages, at spændingsfeltet er ensartet og enakset for hvert element. Derefter reduceres differentialligningerne til et endeligt system af ligninger (normalt lineært) med et endeligt antal ubekendte. Andre tilgange kan reducere 3D-problemet til et 2D-problem og/eller erstatte de generelle spændings- og tøjningstensorer med enklere modeller ved hjælp af problemsymmetri såsom enakset spænding/kompression, simpel forskydning osv.

Men for 2D- eller 3D-tilfælde er det nødvendigt at løse et system af partielle differentialligninger. Analytiske eller lukkede løsninger af differentialligninger kan opnås, når geometrien, der definerer sammenhænge og randbetingelser, er tilstrækkelig enkel. Ellers er man normalt nødt til at ty til numeriske metoder som finite element-metoden, finite difference-metoden og boundary element- metoden .

Teoretisk grundlag

Kontinuummekanik beskæftiger sig med deformerbare kroppe, ikke absolut stive kroppe. I kontinuummekanikken tages kun hensyn til spændinger, der opstår ved påføring af ydre kræfter og efterfølgende deformation af kroppen; med andre ord tages der hensyn til relative belastningsændringer, ikke deres absolutte værdier. Et legeme siges at være spændingsfrit, hvis kun kræfterne er de interatomiske kræfter (af ionisk, metallisk eller van der Waals karakter), der er nødvendige for at holde kroppen sammen og bevare dens form i fravær af alle ydre påvirkninger, herunder gravitationel tiltrækning [4] [5] . Også udelukket er spændinger, der opstår under fremstillingen af en bestemt kropsform under bearbejdning.

Efter den klassiske Newtonske og Euler-dynamik er bevægelsen af et materielt legeme forårsaget af virkningen af eksternt påførte kræfter, som formodes at være af to typer: overfladekræfter og kropskræfter [6] .

Overfladekræfter eller kontaktkræfter kan virke enten på kroppens afgrænsningsflade som følge af mekanisk kontakt med andre legemer eller på imaginære indre overflader, der forbinder dele af legemet, som følge af mekanisk vekselvirkning mellem dens dele på begge sider af denne overflade (Euler-Cauchy spændingsprincippet) . Når eksterne kontaktkræfter virker på en krop, overføres interne kontaktkræfter fra punkt til punkt i kroppen for at afbalancere deres handling, ifølge Newtons anden bevægelseslov om bevarelse af momentum og vinkelmomentum. Disse love kaldes Eulers bevægelsesligninger for kontinuerlige medier. Interne kontaktkræfter er relateret til deformation af kroppen gennem konstitutive ligninger. Denne artikel giver en matematisk beskrivelse af de indre kontaktkræfter og deres forhold til kroppens bevægelse, uanset dens materialesammensætning [7] .

Stress kan betragtes som et mål for intensiteten af indre kontaktkræfter, der virker mellem kropspartikler gennem imaginære indre overflader [8] . Med andre ord er stress et mål for den gennemsnitlige kraft, der påføres pr. arealenhed af overfladen, som disse indre kræfter virker på. Intensiteten af kontaktkræfterne er omvendt proportional med kontaktarealet. For eksempel, hvis en kraft påført over et lille område sammenlignes med en fordelt belastning af samme resulterende størrelse påført over et større område, viser sig virkningerne eller intensiteterne af de to kræfter at være lokalt forskellige, fordi spændingerne i mediet ikke er det samme.

Kropskræfter opstår på grund af kilder uden for kroppen [9] , som virker på dens volumen (eller masse). Det betyder, at indre kræfter kun manifesteres gennem kontaktkræfter [10] . Disse kræfter opstår på grund af kroppens tilstedeværelse i forskellige kraftfelter (for eksempel et gravitationsfelt). Da massen af et fast legeme antages at være kontinuerligt fordelt, fordeles enhver kraft, der kommer fra massen, også kontinuerligt. Det antages således, at kropskræfter er kontinuerlige over kroppens volumen [11] .

Tætheden af indre kræfter på hvert punkt af det deformerbare legeme er ikke nødvendigvis ensartet, det vil sige, at der er en fordeling af spændinger. Denne ændring i indre kræfter er styret af lovene om bevarelse af lineært og vinkelmomentum, som normalt påføres en massiv partikel, men udvides i kontinuummekanik til et legeme med en kontinuerligt fordelt masse. Hvis kroppen er repræsenteret som en samling af diskrete partikler, som hver især adlyder Newtons bevægelseslove, så er Eulers ligninger afledt af Newtons love. Imidlertid kan Euler-ligningerne betragtes som aksiomer, der beskriver bevægelseslovene for udvidede legemer, uanset strukturen af enhver partikel [12] .

Euler-Cauchy stressprincippet

Euler-Cauchy stressprincippet siger, at "i hvert tværsnit mentalt tegnet inde i kroppen, er der en vekselvirkning af kræfter af samme karakter som belastningerne fordelt over overfladen" [13] , og denne interaktion er repræsenteret af et vektorfelt T ( n ) , kaldet spændingsvektor defineret på overfladen S og kontinuerligt afhængig af enhedsvektoren for overfladen n [11] [14] .

For at forklare dette princip skal du overveje en imaginær overflade S , der passerer gennem et indre punkt af kroppen P, og deler det kontinuerlige legeme i to segmenter, som vist i fig. 2.1a eller 2.1b (du kan enten bruge et klippeplandiagram eller et diagram med et vilkårligt volumen inde i mediet indesluttet inde i overfladen S ). Ydre overfladekræfter F og kropskræfter b virker på kroppen . Interne kontaktkræfter, der overføres fra et segment af kroppen til et andet gennem det plan, der adskiller dem, på grund af påvirkningen af en del af mediet på den anden, skaber en kraftfordeling på et lille område Δ S med en normal enhedsvektor n , vist på skæreplanet S. Kraftfordelingen er lig med kontaktkraften ΔF og den koblede spænding ΔM forbundet med den , som vist i figur 2.1a og 2.1b. Cauchy-spændingsprincippet siger [4] , at når Δ S går til nul, bliver forholdet Δ F /Δ S d F / d S , og momentspændingsvektoren Δ M forsvinder. I nogle områder af kontinuummekanikken antages det, at øjebliksspændingen ikke forsvinder; de klassiske grene af kontinuummekanikken adresserer imidlertid ikke-polære materialer, der ikke tager parspændinger i betragtning. Den resulterende vektor d F /d S er defineret som spændingsvektoren givet af T ( n ) = Ti ( n ) ei til punktet P , der er knyttet til planet med normalvektoren n :

T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i)){\Delta S))={dF_{ i}\over dS}.

Denne ligning betyder, at spændingsvektoren afhænger af dens position i kroppen og orienteringen af det plan, som den virker på.

Afhængigt af orienteringen af det pågældende plan behøver spændingsvektoren ikke at være vinkelret på dette plan, dvs. parallelt med n , og kan dekomponeres i to komponenter (figur 2.1c):

en komponent vinkelret på planet, kaldet normalspændingen

\mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}} ={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS)),

hvor d F n er normalkomponenten af kraften d F til differentialplatformen d S

og den anden, parallel med dette plan, kaldes forskydningsspændingen .

\mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} )){\Delta S))={\frac {dF_{\ matematik {s} }}{dS}},

hvor d F s er den tangentielle komponent af kraften d F til arealdifferensen d S . Forskydningsspændingen kan yderligere dekomponeres i to indbyrdes vinkelrette vektorer.

Cauchys postulat

Ifølge Cauchys postulat forbliver spændingsvektoren T ( n ) den samme for alle overflader, der passerer gennem punktet P og har den samme normalvektor n i punktet P [10] [15] , dvs. har en fælles tangent i punktet P. Det betyder, at spændingsvektoren kun er en funktion af normalvektoren n og ikke afhænger af krumningen af de indre overflader.

Cauchys hovedlemma

Cauchys postulat implicerer det grundlæggende Cauchy-lemma [5] [9] [10] , også kendt som Cauchys reciprocitetssætning [16] , som siger, at spændingsvektorer, der virker på modsatte sider af den samme overflade, er lige store og modsatte i retning. Cauchys grundlæggende lemma svarer til Newtons tredje lov om handling og reaktion og er udtrykt som

-\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.\,\!

Cauchys stresssætning - stresstensor

Spændingstilstanden i et punkt i kroppen bestemmes af alle spændingsvektorer T ( n ) forbundet med alle planer (et uendeligt antal), der passerer gennem dette punkt [8] . Men ifølge Cauchys hovedsætning [5] , også kendt som Cauchy-spændingssætningen [9] , fra kendte spændingsvektorer på tre indbyrdes vinkelrette planer, kan du finde spændingsvektoren på et hvilket som helst andet plan, der passerer gennem dette punkt ved hjælp af koordinaten transformationsligning.

Cauchys spændingssætning siger, at der er et andenrangs tensorfelt σ ( x , t), kaldet Cauchy spændingstensoren , uafhængig af n , sådan at T afhænger lineært af n :

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{eller}}\quad T_{j}^ {(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.\,\!

Denne ligning indebærer, at spændingsvektoren T ( n ) i ethvert punkt P af mediet, der er knyttet til et plan med en normal enhedsvektor n , kan udtrykkes som en funktion af spændingsvektorerne på planer vinkelret på de tre koordinatakser, dvs. gennem komponenterne σ ij af spændingstensoren σ .

For at bevise dette udtryk skal du overveje et tetraeder med tre flader orienteret i koordinatplanerne og med et infinitesimalt areal d A orienteret i en vilkårlig retning givet af den normale enhedsvektor n (figur 2.2). Et tetraeder dannes ved at skære et infinitesimalt element langs et vilkårligt plan med normalen n . Spændingsvektoren på dette plan betegnes som T ( n ) . Spændingsvektorerne, der virker på forsiden af tetraederet, er betegnet som T ( e 1 ) , T ( e 2 ) og T ( e 3 ) og er per definition komponenter σ ij af spændingstensoren σ . Dette tetraeder kaldes undertiden Cauchy-tetraederet . Kraftbalancen, dvs. Eulers første bevægelseslov (Newtons anden bevægelseslov), giver:

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}= \rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,\,\!

hvor højre side er produktet af massen indeholdt i tetraederet og dets acceleration: ρ er massefylden, a er accelerationen, h er højden af tetraederet, hvis vi tager n -planet som basis. Arealet af tetraederfladerne vinkelret på akserne kan findes ved at projicere d A på hver flade (ved hjælp af prikproduktet):

dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,\,\!

dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,\,\!

dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,\,\!

og derefter indsætte i ligningen for at annullere d A :

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{ (\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac { h}{3}}\right)\mathbf {a} .\,\!

For at betragte det begrænsende tilfælde, hvor tetraederet krymper til et punkt, skal h tendere til 0 (intuitivt bevæger planet med normalen n sig langs vektoren n til O- siden ). Som et resultat har den højre side af ligningen en tendens til 0, så

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{ (\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.\,\!

Betragt et element (figur 2.3) med planer vinkelret på koordinatakserne i det kartesiske koordinatsystem. Spændingsvektorerne forbundet med hvert af dette elements planer, dvs. T ( e 1 ) , T ( e 2 ) og T ( e 3 ), kan dekomponeres i en normal del og to forskydningskomponenter, dvs. komponenter i retning af de tre koordinatakser. For et særligt tilfælde af en overflade med en normal enhedsvektor orienteret i retningen af x 1 -aksen , betegner vi normalspændingen som σ 11 , og de to forskydningsspændinger som σ 12 og σ 13 (det andet indeks angiver den parallelle koordinat akse):

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3}.

Brug af en indeksindgang:

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j} =\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.

De ni komponenter σ ij af spændingsvektorerne er komponenterne af tensoren af anden rang i det kartesiske koordinatsystem, kaldet Cauchy spændingstensoren , som fuldstændig bestemmer spændingstilstanden i et punkt og er givet af matrixen

{\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\venstre[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\ mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right] =\venstre[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{ 23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{ xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _ {zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{ xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end {matrix}}\right],

hvor σ 11 , σ 22 og σ 33 er normale spændinger, σ 12 , σ 13 , σ 21 , σ 23 , σ 31 og σ 32 er forskydningsspændinger (tangentielle spændinger). Det første indeks i angiver, at spændingen virker i et plan vinkelret på x i -aksen , og det andet indeks j angiver retningen, hvori spændingen virker. Spændingsvektorkomponenten er positiv, hvis den virker i positiv retning af koordinatakserne, og hvis planen den virker i har en udadgående normalvektor, der peger i koordinaternes positive retning.

Ved hjælp af komponenterne i stresstensoren kan vi således skrive:

{\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+ \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\& =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e } _{j}\right)n_{i}=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}},

eller, som er det samme:

T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.

Alternativt i matrixform:

\left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf { n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{ \begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\ sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].

Voigt-notationen for Cauchy-spændingstensor-repræsentationen bruges for nemheds skyld i nærvær af spændingstensor-symmetri for at udtrykke spændingen som en seksdimensionel vektorform:

{\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{ 5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{T}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{31}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{T}.\,\!

Voigts notation er meget brugt til at repræsentere spændings-belastningsforhold i solid mekanik og til at forbedre beregningseffektiviteten i strukturel mekanik software.

Stress tensor transformation regel

Det kan vises, at stresstensoren er en kontravariant tensor af anden rang. Når man flytter fra x i -koordinatsystemet til x i '-koordinatsystemet, transformeres σ ij -komponenterne i det oprindelige system til σ ij '-komponenter i det nye system i overensstemmelse med tensortransformationsreglen (Figur 2.4):

\sigma _{ij}^{'}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{eller}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\ mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{T},

hvor A er en rotationsmatrix med komponenter a ij . I matrixform skrives dette som

\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}^{'}&\sigma _{12}^{'}&\sigma _{13}^{'}\\\sigma _{ 21}^{'}&\sigma _{22}^{'}&\sigma _{23}^{'}\\\sigma _{31}^{'}&\sigma _{32}^{' }&\sigma _{33}^{'}\\\end{matrix}}\right]=\venstre[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21 }&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\venstre[{\begin{matrix}\sigma _{11}& \sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32} &\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\venstre[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_ {32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].

Udvidelse af matrixoperationen og forenkling af termerne ved hjælp af stresstensor-symmetri giver:

\sigma _{11}'=a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\ sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23} ,

\sigma _{22}'=a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\ sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23} ,

\sigma _{33}'=a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\ sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23} ,

{\begin{aligned}\sigma _{12}'=&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13 }a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23} +a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\end{aligned}}

{\begin{aligned}\sigma _{23}'=&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23 }a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33} +a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\end{aligned}}

{\begin{aligned}\sigma _{13}'=&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13 }a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33} +a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}

Mohr-cirklen for spændinger er en grafisk fremstilling af denne transformation.

Normal- og forskydningsspændinger

Værdien af den normale spændingskomponent σ n af enhver spændingsvektor T ( n ), der virker på et vilkårligt plan med en normal enhedsvektor n i et givet punkt, udtrykt ved hjælp af spændingstensoren σ ij komponenter σ , er det skalære produkt af spændingen vektor og den normale enhedsvektor:

\sigma _{\mathrm {n} }=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} =T_{i}^{(\mathbf {n}) }n_{i}=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}.

Størrelsen af forskydningsspændingskomponenten τ n , der virker i et plan spændt ud af to vektorer T ( n ) og n kan findes ved hjælp af Pythagoras sætning :

{\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}-\sigma _ {\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}- \sigma _{\mathrm {n} }^{2}}},\end{aligned}}

hvor $\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n } )}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_ {j}n_{k}.$

Ligevægtsligninger og spændingstensor symmetri

Når kroppen er i ligevægt, opfylder spændingstensorkomponenterne på hvert punkt af kroppen ligevægtsligningerne:

\sigma _{ji,j}+F_{i}=0\,\!

For eksempel, for en hydrostatisk væske under ligevægtsforhold, antager spændingstensoren formen:

{\sigma _{ij}}=-p{\delta _{ij}}),\

hvor er det hydrostatiske tryk og betegner Kronecker-symbolet. $s$ ${\delta _{ij))\$

Samtidig kræver ligevægt, at summen af momenter omkring et vilkårligt punkt er lig med nul, hvilket fører til den konklusion, at spændingstensoren skal være symmetrisk, dvs.

\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,\!

Men i momentteorier, det vil sige i nærværelse af momenter pr. volumenenhed, er spændingstensoren ikke symmetrisk. Dette gælder også, når Knudsen-tallet er tæt på 1 , eller for medier såsom en ikke-newtonsk væske, som kan føre til en rotationsmæssigt ikke-invariant væske såsom en polymer. $K_{n}\højrepil 1\,\!$

Hovedspændinger og stressinvarianter

På hvert punkt i et stresset legeme er der mindst tre planer, kaldet hovedplaner , med normale vektorer , kaldet principalretninger , hvor den tilsvarende spændingsvektor er vinkelret på planet, dvs. parallel med eller i samme retning som normalvektor og hvor der ikke er normale forskydningsspændinger . De tre spændinger, der er normale på disse hovedplaner, kaldes hovedspændinger . $\mathbf {n} \,\!$ $\mathbf {n} \,\!$ $\tau _{\mathrm {n} }\,\!$

Spændingstensorens komponenter afhænger af orienteringen af koordinatsystemet på det betragtede punkt. Men selve stresstensoren er en fysisk størrelse og er som sådan uafhængig af det koordinatsystem, der er valgt til at repræsentere den. Hver tensor er forbundet med visse invarianter, som heller ikke afhænger af det valgte koordinatsystem. For eksempel er en vektor en simpel tensor af første rang. I tre dimensioner har den tre komponenter. Værdien af disse komponenter vil afhænge af det koordinatsystem, der er valgt til at repræsentere vektoren, men størrelsen af vektoren er en fysisk størrelse (skalar) og uafhængig af det kartesiske koordinatsystem. Tilsvarende har hver andenrangstensor (såsom spænding og belastningstensorer) tre uafhængige invariante størrelser forbundet med sig. Et sæt af sådanne invarianter er de vigtigste spændinger af stresstensoren, som er egenværdier af stresstensormatricen. Deres retningsvektorer er hovedretninger eller egenvektorer. $\sigma _{ij}\,\!$

Spændingsvektoren parallel med enhedsnormalvektoren : $\mathbf {n} \,\!$

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} \,\!

hvor er proportionalitetskonstanten, som i dette særlige tilfælde svarer til værdierne af vektorerne for normale spændinger eller hovedspændinger. $\lambda \,\!$ $\sigma _{\mathrm {n} }\,\!$

I betragtning af det og , kan vi skrive: $T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}\,\!$ $n_{i}=\delta _{ij}n_{j}\,\!$

{\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\ sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\ \\end{aligned}}\,\!

Det er et homogent system, det vil sige et system af tre lineære ligninger med ukendte lig nul. For at opnå en ikke-triviel (ikke-nul) løsning for determinanterne, skal matrixen sammensat af koefficienterne være lig med nul, det vil sige, at systemet skal være ental. På denne måde: $n_{j}\,\!$ $n_{j}\,\!$

\left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33 }-\lambda \\\end{vmatrix}}=0\,\!

At skrive determinanten fører til den karakteristiske ligning :

\left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0\,\!

hvor

{\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}\\I_{2 }&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{ vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11 }&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{ 31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right )\\I_{3}&=\det(\sigma _{ij})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\ sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{ 31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}\,\!

Den karakteristiske ligning har tre reelle rødder på grund af stresstensorens symmetri. , og er de vigtigste spændinger afhængigt af egenværdierne . Hovedspændinger er unikke for en given stresstensor. Ud fra den karakteristiske ligning har koefficienterne , og , kaldet henholdsvis den første, anden og tredje invariant af spændingstensoren, altid den samme værdi uanset koordinatsystemets orientering. $\lambda _{i}\,\!$ $\sigma _{1}=max\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)\,\!$ $\sigma _{3}=min\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)\,\!$ $\sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}\,\!$ $\lambda _{i}\,\!$ $I_{1}\,\!$ $I_{2}\,\!$ $I_{3}\,\!$

For hver egenværdi er der en ikke-triviel løsning til ligningssystemet . Disse løsninger har betydningen af hovedretninger eller egenvektorer, der definerer det plan, hvori hovedspændingerne virker. Hovedspændinger og hovedretninger karakteriserer spændingen i et punkt og er uafhængige af orientering. $n_{j}\,\!$ $\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0\,\!$

I et koordinatsystem med akser orienteret langs hovedretningerne, hvilket betyder, at normale spændinger er hovedspændinger, er spændingstensoren repræsenteret af en diagonal matrix af formen:

\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}\, \!

Spændingstensorinvarianterne , , og kan udtrykkes i form af hovedspændinger. Især den første og tredje invariant er sporet og determinanten af stresstensormatrixen: $I_{1}\,\!$ $I_{2}\,\!$ $I_{3}\,\!$

{\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\ sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2 }\sigma _{3}\\\end{aligned}}\,\!

På grund af sin enkelhed er koordinatsystemet forbundet med hovedspændinger ofte nyttigt, når man overvejer et elastisk mediums tilstand på et bestemt punkt. Hovedspændinger bruges ofte i den følgende ligning til at evaluere spændinger i x- og y- retningerne eller aksiale og bøjningsspændinger i en del [17] . De primære normalspændinger bruges derefter til at beregne von Mises-spændingerne og i sidste ende sikkerhedsfaktoren og sikkerhedsfaktoren.

\sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\ frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!

Ved kun at bruge dele af udtrykket under kvadratroden kan du få den maksimale (for plus) og minimum (for minus) forskydningsspænding. Dette er skrevet som:

\tau _{max},\tau _{min}=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right )^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!

Maksimale og minimale forskydningsspændinger

Den maksimale forskydningsspænding eller maksimale hovedforskydningsspænding er lig med halvdelen af forskellen mellem de største og mindste hovedspændinger og virker i et plan, der halverer vinklen mellem retningerne af den største og mindste af hovedspændingerne, det vil sige den maksimale forskydning spænding er orienteret i en vinkel θ fra de vigtigste spændingsplaner. Den maksimale forskydningsspænding er udtrykt som $45^{\cirkel }$

\tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\mathrm {max} }-\sigma _{\mathrm {min} }\right |\,\!

Går da ud fra: $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}\,\!$

\tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|\,\!

Den normale komponent af spændingen, der virker på planet for maksimal forskydningsspænding, er ikke lig med nul og er lig med

$\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right)\,\!$

Spændingsafvigerens tensor

Spændingstensoren kan repræsenteres som to spændingstensorer: $\sigma _{ij}\,\!$

den gennemsnitlige hydrostatiske spændingstensor eller den gennemsnitlige normale spændingstensor , som er forbundet med en ændring i volumen af et belastet legeme; såvel som $\pi \delta _{ij}\,\!$
deviator komponent, kaldet stress deviator tensor, , som er relateret til forvrængning af den første. $s_{ij}\,\!$

I en matematisk formulering

\sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},\,

hvor er den gennemsnitlige stress defineret som $\pi\,\!$

\pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3} }={\tfrac {1}{3}}I_{1}.\,

Tryk ( ) er normalt defineret som den negative tredjedel af sporet af spændingstensoren minus enhver spænding, der er bidraget af hastighedsdivergens, dvs. $s$

p=\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi =\sum _{k}\lambda \,{\frac {\partial u_{k)){\partial x_{k))}-\pi ,

hvor er proportionalitetskonstanten, er nabla-operatoren , er den k'te kartesiske koordinat, er hastigheden og er den k'te komponent af hastigheden i kartesiske koordinater. $\lambda$ $\nabla$ $x_k$ ${\vec {u}}$ $u_{k}$ ${\vec {u}}$

Den deviatoriske spændingstensor kan opnås ved at trække den hydrostatiske spændingstensor fra Cauchy spændingstensoren:

{\begin{aligned}\ s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk)){3))\delta _{ij},\,\\\ venstre[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\\ \end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\ sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\højre]-\venstre[{ \begin{matrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \\\end{matrix}}\right]\\&=\venstre[{\begin{matrix}\sigma _{11}- \pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}& \sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \\\end{matrix}}\right].\\\end{aligned}}

Stress deviator tensor invarianter

Da dette er en andenrangstensor, har spændingsafvigertensoren også et sæt invarianter, der kan opnås ved hjælp af den samme procedure, som vi brugte til at beregne spændingstensorinvarianterne. Det kan vises, at hovedretningerne af spændingsafvigertensoren falder sammen med spændingstensorens hovedretninger . Således har dens karakteristiske ligning formen $s_{ij}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$

\left|s_{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=\lambda ^{3}-J_{1}\lambda ^{2}-J_{2}\lambda -J_{ 3}=0,\,

hvor , og er den første, anden og tredje invarianter af henholdsvis stressafvigertensoren. Deres værdier er de samme (faste) uanset orienteringen af det valgte koordinatsystem. Disse invarianter af spændingsafvigertensoren udtrykkes som funktioner af komponenterne eller dens hovedværdier , , og , eller på lignende måde som funktioner af eller dens hovedværdier , , og . Ja $J_{1}\,\!$ $J_{2}\,\!$ $J_{3}\,\!$ $s_{ij}\,\!$ $s_{1}\,\!$ $s_{2}\,\!$ $s_{3}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$ $\sigma _{1}\,\!$ $\sigma _{2}\,\!$ $\sigma _{3}\,\!$

{\begin{aligned}J_{1}&=s_{kk}=0,\,\\J_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ ji}\\&={\tfrac {1}{2}}(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2})\\&={\ tfrac {1}{6}}\venstre[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2} +(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{ 31}^{2}\\&={\tfrac {1}{6}}\venstre[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2} -\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\&={\tfrac {1}{3}}I_ {1}^{2}-I_{2},\,\\J_{3}&=\det(s_{ij})\\&={\tfrac {1}{3}}s_{ij}s_ {jk}s_{ki}\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\tfrac {2}{27}}I_{1}^{3}-{\tfrac { 1}{3}}I_{1}I_{2}+I_{3}.\,\end{aligned}}

Siden svarer spændingsafvigerens tensor til den rene forskydningstilstand. $s_{kk}=0\,\!$

En mængde kaldet ækvivalent spænding eller von Mises spænding er almindeligt anvendt i fast mekanik. Det er defineret som

\sigma _{\mathrm {e} }={\sqrt {3~J_{2))}={\sqrt ({\tfrac {1}{2))~\venstre[(\sigma _{ 1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1}) ^{2}\right]}}\,.

Oktaedriske spændinger

I betragtning af hovedretningerne som koordinatakser kaldes et plan, hvis normalvektor danner lige store vinkler med hver af hovedakserne (det vil sige har retningscosinus lig med ) et oktaedrisk plan . Der er i alt otte oktaedriske planer (fig. 6). Normal- og forskydningskomponenterne af spændingstensoren på disse planer kaldes henholdsvis oktaedriske normalspændinger og oktaedriske forskydningsspændinger . $|1/{\sqrt {3}}|\,\!$ $\sigma _{\mathrm {okt} }\,\!$ $\tau _{\mathrm {okt} }\,\!$

Da spændingstensoren i punktet O (fig. 6) i hovedakserne er lig med

\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}\, \!

så er spændingsvektoren på det oktaedriske plan givet ved:

{\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {okt} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _ {j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _ {3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1} +\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}\,\!

Den normale komponent af spændingsvektoren i punktet O, forbundet med det oktaedriske plan, er lig med

{\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {okt} }&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_ {j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3 }\\&={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\tfrac {1}{3}}I_{ 1}\end{aligned}}\,\!

som viser sig at være lig med den gennemsnitlige normalspænding eller hydrostatiske spænding. Denne værdi er den samme for alle otte oktaedriske planer. Forskydningsspændingen i det oktaedriske plan er da lig med

{\begin{aligned}\tau _{\mathrm {okt} }&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{ \mathrm {n} }^{2}}}\\&=\venstre[{\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2 }+\sigma _{3}^{2})-{\tfrac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2} \right]^{1/2}\\&={\tfrac {1}{3}}\venstre[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _ {2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}={\tfrac {1 }{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned} }\,\!

Alternative måder at repræsentere spændinger på

Andre nyttige måder at repræsentere stress på inkluderer den første og anden Piola-Kirchhoff-spændingstensor, Biot-spændingstensoren og Kirchhoff-spændingstensoren.

Piola-Kirchhoff stresstensor

I tilfælde af endelige spændinger udtrykker Piola-Kirchhoff spændingstensorerne spændingen med hensyn til en eller anden referencekonfiguration. Dette er i modsætning til Cauchy-spændingstensoren, som udtrykker spændingen i forhold til den aktuelle konfiguration. For infinitesimale deformationer og rotationer er Cauchy-tensorerne og Piola-Kirchhoff-tensoren identiske.

Cauchy-spændingstensoren relaterer spændingerne i den aktuelle konfiguration, tøjningsgradienten og tøjningstensoren beskrives ved at sammenligne et legemes bevægelse med en referencekonfiguration; således er ikke alle tensorer, der beskriver materialets tilstand, i reference- eller aktuelle konfiguration. At beskrive spændinger, tøjninger og tøjninger i en reference- eller strømkonfiguration ville forenkle definitionen af konstitutive modeller (for eksempel er Cauchy-spændingstensoren en variant af ren rotation, mens tøjningstensoren er invariant; derfor opstår der problemer med at definere en konstitutiv model, der relaterer en skiftende tensor med hensyn til at være invariant under ren rotation; da konstitutive modeller pr. definition skal være invariante under rene rotationer). Den 1. Piola-Kirchhoff stresstensor, en af de mulige løsninger på dette problem. Den definerer en familie af tensorer, der beskriver konfigurationen af et legeme i dets nuværende eller referencetilstand. ${\boldsymbol {\sigma ))$ ${\boldsymbol {P}}$

Den 1. Piola-Kirchhoff spændingstensor relaterer kræfter i den nuværende ("rumlige") konfiguration til områder i reference ("materiale") konfiguration. ${\boldsymbol {P}}$

{\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}~{\boldsymbol {F}}^{-T}~

hvor er stammegradienten og er Jacobi- determinanten . ${\boldsymbol {F}}$ $J=\det {\boldsymbol {F}}$

Med hensyn til komponenter med hensyn til en ortonormal basis er den første Piola-Kirchhoff spændingstensor givet af

P_{iL}=J~\sigma _{ik}~F_{Lk}^{-1}=J~\sigma _{ik}~{\cfrac {\partial X_{L)){\partial x_{k}}}~\,\!

Fordi den forbinder forskellige koordinatsystemer, er den første Piola-Kirchhoff spændingstensor en topunktstensor. Generelt er det symmetrisk. Den første Piola-Kirchhoff spændingstensor er en tredimensionel generalisering af det endimensionelle ingeniørspændingskoncept.

Hvis mediet roterer uden at ændre spændingstilstanden (stiv rotation), så vil komponenterne i 1. Piola-Kirchhoff spændingstensor ændre sig afhængigt af mediets orientering.

Den anden Piola-Kirchhoff stresstensor

Mens 1. Piola-Kirchhoff spændingstensor relaterer kræfterne i den aktuelle konfiguration til regionerne i referencekonfigurationen, relaterer 2. Piola-Kirchhoff spændingstensor kræfterne i referencekonfigurationen til regionerne i referencekonfigurationen. Kraften i referencekonfigurationen beregnes gennem en kortlægning, der bevarer det relative forhold mellem kraftens retning og normalen af området i referencekonfigurationen. ${\bold symbol {S}}$

{\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~ .

I indeksnotation med hensyn til ortonormal basis

S_{IL}=J~F_{Ik}^{-1}~F_{Lm}^{-1}~\sigma _{km}=J~{\cfrac {\partial X_{I)) {\partial x_{k))}~{\cfrac {\partial X_{L)){\partial x_{m))}~\sigma _{km}\!\,\!

Dette er en symmetrisk etpunkts tensor.

Hvis mediet roterer uden at ændre spændingstilstanden (stiv rotation), så forbliver komponenterne i den 2. Piola-Kirchhoff spændingstensor konstant, uanset materialets orientering.

Litteratur

Ameen, Mohammed. Beregningselasticitet: teori om elasticitet og endelige og grænseelementmetoder . - Alpha Science Int'l Ltd., 2005. - S. 33–66. — ISBN 1-84265-201-X .
Atanackovic, Teodor M. Teori om elasticitet for videnskabsmænd og ingeniører . - Springer, 2000. - S. 1-46. — ISBN 0-8176-4072-X .
Øl, Ferdinand Pierre. Mekanik af materialer . - McGraw-Hill Professional, 1992. - ISBN 0-07-112939-1 .
Brady, BHG Stenmekanik til underjordisk minedrift . - Tredje. - Kluwer Academic Publisher, 1993. - S. 17–29. - ISBN 0-412-47550-2 .
Chadwick, Peter. Kontinuummekanik: kortfattet teori og problemer . - 2. - Dover Publications, 1999. - S. 90-106. — ISBN 0-486-40180-4 .
Chakrabarty, J. Teori om plasticitet . - 3. - Butterworth-Heinemann, 2006. - S. 17–32. - ISBN 0-7506-6638-2 .
Chatterjee, Rabindranath. Matematisk teori om kontinuummekanik . - Alpha Science Int'l Ltd., 1999. - S. 111-157. — ISBN 81-7319-244-8 .
Chen, Wai-Fah. Plasticitet for konstruktionsingeniører / Wai-Fah Chen, Da-Jian Han. - J. Ross Publishing, 2007. - S. 46-71. — ISBN 1-932159-75-4 .
Chou, Pei Chi. Elasticitet: tensor, dyadiske og ingeniørmæssige tilgange . - Dover Publications, 1992. - S. 1-33. - ISBN 0-486-66958-0 .
Davis, R. O. Elasticitet og geomekanik . - Cambridge University Press, 1996. - S. 16-26. - ISBN 0-521-49827-9 .
Dieter, G.E. (3 udgave). (1989). Mekanisk metallurgi . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8 .
Fung, Yuan-cheng. Klassisk og beregningsmæssig solid mekanik . — World Scientific, 2001. — S. 66–96. - ISBN 981-02-4124-0 .
Hamrock, Bernard. Grundlæggende om maskinelementer . - McGraw-Hill, 2005. - S. 58-59. — ISBN 0-07-297682-9 .
Hjelmstad, Keith D. Fundamentals of structural mechanics . - 2. - Springer, 2005. - S. 103-130. — ISBN 0-387-23330-X .
Holtz, Robert D. En introduktion til geoteknisk teknik . - Prentice-Hall, 1981. - ISBN 0-13-484394-0 .
Irgens, Fridtjov. Kontinuum mekanik . — Springer, 2008. — S. 42–81. — ISBN 3-540-74297-2 .
Jaeger, John Conrad. Grundlæggende om bjergmekanik . — Fjerde. - Wiley-Blackwell, 2007. - S. 9-41. — ISBN 0-632-05759-9 .
Jones, Robert Millard. Deformationsteori om plasticitet . - Bull Ridge Corporation, 2008. - S. 95–112. - ISBN 0-9787223-1-0 .
Jumikis, Alfreds R. Teoretisk jordmekanik: med praktiske anvendelser til jordmekanik og funderingsteknik . - Van Nostrand Reinhold Co., 1969. - ISBN 0-442-04199-3 .
Landau, LD og EMLifshitz. (1959). Teori om elasticitet .
Love, A.E.H. (4 udgave). (1944). Afhandling om den matematiske teori om elasticitet . New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9 .
Liu, I-Shih. Kontinuum mekanik . - Springer, 2002. - S. 41-50. — ISBN 3-540-43019-9 .
Lubliner, Jacob. Plasticitetsteori (revideret udgave) . - Dover Publications, 2008. - ISBN 0-486-46290-0 . Arkiveret31. marts 2010 påWayback Machine
Mase, George E. Kontinuummekanik . - McGraw-Hill, 1970. - S. 44-76. — ISBN 0-07-040663-4 .
Mase, G. Thomas. Kontinuummekanik for ingeniører . - Sekund. - CRC Press, 1999. - S. 47-102. — ISBN 0-8493-1855-6 .
Marsden, JE Mathematical Foundations of Elasticity . - Dover Publications, 1994. - S. 132-142. — ISBN 0-486-67865-2 .
Parry, Richard Hawley Grey. Mohr-cirkler, stressstier og geoteknik . - 2. - Taylor & Francis, 2004. - S. 1–30. - ISBN 0-415-27297-1 .
Prager, William. Introduktion til mekanik af continua . - Dover Publications, 2004. - S. 43-61. — ISBN 0-486-43809-0 .
Rees, David. Basic Engineering Plasticity - En introduktion til ingeniør- og fremstillingsapplikationer . — Butterworth-Heinemann, 2006. — S. 1–32. — ISBN 0-7506-8025-3 .
Smith, Donald Ray. En introduktion til kontinuumsmekanik - efter Truesdell og Noll . - Springer, 1993. - ISBN 0-7923-2454-4 .
Timoshenko , Stephen P. Elasticitetsteori. - Tredje. - McGraw-Hill International Editions, 1970. - ISBN 0-07-085805-5 .
Timoshenko, Stephen P. Materialernes styrkehistorie: med en kort redegørelse for historien om elasticitetsteori og strukturteori. - Dover Publications, 1983. - ISBN 0-486-61187-6 .
Wu, Han-Chin. Kontinuummekanik og plasticitet . — CRC Press, 2005. — S. 45–78. — ISBN 1-58488-363-4 .
C. Truesdell og R.A. Topin. De klassiske feltteorier // Encyclopaedia of Physics. - Berlin : Springer-Verlag, 1960. - Vol. III/I.