Mohrs Kreds

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. maj 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Mohr-cirklen er en grafisk fremstilling af normale spændinger og forskydningsspændinger udviklet af professor Otto Mohr (1835-1918). [1] .

Mohr-cirklen kan også bruges til at finde hovedplanerne og hovedspændingerne i den grafiske repræsentation, og dette er en af de nemmeste måder at gøre dette på. [2]

Historie

Den første person til at skabe en grafisk spændingsrepræsentation for de langsgående og tværgående spændinger af en bøjelig vandret bjælke var Karl Kuhlmann . Mohrs bidrag er at bruge denne tilgang til plan- og bulkspændingstilstande og at definere et styrkekriterium baseret på spændingscirklen [3] .

Fysisk betydning

Interne kræfter opstår mellem partiklerne i et kontinuerligt deformerbart legeme som en reaktion på påførte ydre kræfter: overflade og volumen . Denne reaktion er i overensstemmelse med Newtons anden lov anvendt på partikler af materielle genstande. Størrelsen af intensiteten af disse indre kræfter kaldes mekanisk spænding . Da kroppen betragtes som solid, fordeles disse indre kræfter kontinuerligt over hele volumen af det pågældende objekt.

I teknik bestemmes fordelingen af spændinger i et objekt gennem analysen af dets spændings-belastningstilstand for at opnå spændingsværdier ved hvert materialepunkt på objektet. Ifølge Cauchy er spændingen på ethvert punkt af et fast materialelegeme fuldstændig bestemt af de ni spændingskomponenter i spændingstensoren , : $\sigma_{ij}$ ${\boldsymbol {\sigma ))$

{\boldsymbol {\sigma }}=\venstre[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}& \sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \venstre [{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\ \\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}& \tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy} &\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]

Når spændingsfordelingen er blevet bestemt i forhold til koordinatsystemet , kan det være nødvendigt at bestemme komponenterne af spændingstensoren ved et bestemt materialepunkt i forhold til det roterede koordinatsystem , det vil sige spændingerne, der virker på et sted med forskellige orienteringer, der passerer gennem punktet af interesse for os. Det kan fx være nødvendigt at finde den maksimale normalspænding eller den maksimale forskydningsspænding og i hvilken retning de virker. For at løse dette problem er det nødvendigt at transformere stresstensoren. Den grafiske repræsentation af denne spændingstensortransformation er Mohr-cirklen. $(x,y)$ $P$ $(x',y')$

Mohrs cirkelligninger

For at opnå Mohr-cirkelligningen for en plan spændingstilstand betragtes et todimensionelt infinitesimalt materialelegeme, placeret omkring et materialepunkt med en enhedsareal i en retning parallelt med planet - , det vil sige vinkelret på beskueren. $P$ $y$ $z$

Baseret på ligevægtsbetingelserne for et uendeligt lille materialelegeme er værdierne for normal spænding og forskydningsspænding lig med: ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} ))$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} ))$

\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}} (\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +{\frac {1}{2}}\tau _{xy}\sin 2\theta

\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +{\frac { 1}{2}}\tau _{xy}\cos 2\theta

Disse to ligninger er en parametrisk repræsentation af Mohr-cirklen.

Afledning af de parametriske ligninger for Mohr-cirklen

Overvej ligevægtsbetingelserne for et trekantet prisme dannet ved at skære et elementært parallelepipedum med en skrå platform. Den normale stress virker på et område af området . Fra ligheden af projektionerne af kræfter på aksen ( akse ) får vi: ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} ))$ $dA$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} ))$ $x'$

\ {\begin{aligned}\sum F_{x'}&=\sigma _{\mathrm {n} }dA-\sigma _{x}dA\cos ^{2}\theta -\sigma _ {y}dA\sin ^{2}\theta -\tau _{xy}dA\cos \theta \sin \theta -\tau _{xy}dA\sin \theta \cos \theta =0\\\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma _{x}\cos ^{2}\theta +\sigma _{y}\sin ^{2}\theta +2\tau _{xy}\sin \ theta \cos \theta \\\end{aligned}}

Det er kendt , at

\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2)),\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\ theta }{2}},\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta

Så kan du få

\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}} (\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta

Forskydningsspænding virker også på et sted med et areal på . Fra ligheden af projektionerne af kræfter på aksen ( akse ) får vi: ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} ))$ $dA$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} ))$ $y'$

\ {\begin{aligned}\sum F_{y'}&=\tau _{\mathrm {n} }dA+\sigma _{x}dA\cos \theta \sin \theta -\sigma _{ y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau _{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau _ {\mathrm {n} }&=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\ theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{aligned}}

Det er kendt, at

\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta ,\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta

Så kan du få

\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{ xy}\cos 2\theta

Noter

↑ Keaton JR (2018) Mohr Circle. I: Bobrowsky PT, Marker B. (red) Encyclopedia of Engineering Geology. Encyclopedia of Earth Sciences-serien. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-73568-9_206
↑ Hovedspænding og hovedplan . www.engineeringapps.net . Hentet 25. december 2019. Arkiveret fra originalen 25. december 2019. (ubestemt)
↑ Parry, Richard Hawley Grey. Mohr-cirkler, stressstier og geoteknik . - 2. - Taylor & Francis , 2004. - S. 1-30. - ISBN 0-415-27297-1 .