Symmetrisk monoidal kategori

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. september 2021; verifikation kræver 1 redigering .

I kategoriteori er en symmetrisk monoidal kategori en monoidal kategori , hvor tensorproduktoperationen er "så kommutativ som muligt". I en symmetrisk monoidal kategori vælges en isomorfi for alle objekter , og alle disse isomorfier danner tilsammen en naturlig familie. $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$

Formel definition

En symmetrisk monoidal kategori er en monoidal kategori , hvor en isomorfi er valgt for to vilkårlige objekter , og og følgende sekskantede diagram pendler også : $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$ $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}=Id$

Eksempler

Enhver kartesisk lukket kategori er en symmetrisk lukket monoidal kategori. Dette giver eksempler som Sæt og Kat (kategorien af sæt og kategorien af små kategorier).
Vektorrum over et fast felt k med tensorprodukt danner en monoidal kategori. Kortlægningen , defineret på nedbrydelige elementer af formen og udvidet med linearitet, definerer naturligvis strukturen af en symmetrisk monoidal kategori på den. $V\otimes W\to W\otimes V$ $v\otimes w$

Monoidale kategorier med binding

Den knyttede monoide kategori er en generalisering af den symmetriske monoide kategori; det kræver det ikke længere . Men i stedet for kommutativiteten af et sekskantet diagram, skal man kræve kommutativiteten af to: $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id))$

I det symmetriske tilfælde pendler begge disse diagrammer også, men kommutativiteten af den ene af dem følger af kommutativiteten af den anden og egenskaben . $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id))$

Navnet flettet monoidal kategori kommer fra flettegruppen . Faktisk er disse begreber dybt sammenflettet. For en monoidal kategori med binding, såvel som for en almindelig monoidal kategori, er kohærenssætningen sand, der angiver, at ethvert diagram på pilene, hvoraf kompositioner og inverser er skrevet, er kommutative. Mere præcist hedder det, at i en monoidal bindingskategori B er to naturligt isomorfe funktorer fra B n til B konstrueret fra applikationer til argumenter og parenteser naturligt isomorfe på en unik , kanonisk måde. Hver pil, som transformationen er skrevet på, sammensat af ovenstående symboler, kan associeres med et element i flettegruppen (for eksempel er transformationen forbundet med "vridning" af to tråde, det er let at se det ) . Det viser sig, at to sådanne funktioner er naturligt isomorfe, hvis de svarer til det samme element i flettegruppen. $\gamma ,\alpha ,\lambda ,\rho ,e,\otimes ,{\text{Id))$ $\ nogle gange$ $\gamma$ $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}\neq {\text{Id))$

Symmetriske monoide funktorer

En monoidal funktion F mellem symmetriske monoide kategorier C og D kaldes symmetrisk, hvis den tilsvarende naturlige transformation pendler med , det vil sige for enhver A , B i kategori C pendler følgende diagram: $\phi$ $\lambda$

Symmetriske monoide naturlige transformationer

En monoid naturlig transformation mellem monoide funktioner og mellem monoide kategorier: er en naturlig transformation , således at følgende to diagrammer pendler: $(F,\Phi,\phi )$ $(G,\Gamma ,\gamma )$ $C\to D$ $\alpha :C\to D$

Symmetriske monoide naturlige transformationer kræver ingen yderligere betingelser ud over, at de virker mellem symmetriske monoide funktorer.

Monoid ækvivalens

C og D er symmetrisk monoidalt ækvivalente kategorier, hvis der er symmetriske monoide funktorer , og symmetriske monoide naturlige isomorfier og . $F:C\to D$ $G:D\to C$ $FG\Leftarrow 1_{C}$ $GF\Leftarrow 1_{D}$

MacLane beviste et teorem om, at enhver symmetrisk monoidal kategori er monoidalt (symmetrisk) ækvivalent med en streng monoidal (og symmetrisk) kategori.

Ligesom 2-kategorien af små kategorier er defineret, kan man definere 2-kategorier af små monoide kategorier og små symmetriske monoide kategorier med passende funktorer og naturlige transformationer.

Noter og links

Kelly, GM "Basic Concepts of Enriched Category Theory" , London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (CUP, 1982)
Joyal, Andre ; Street, Ross (1993). Flettede tensorkategorier. Fremskridt i matematik 102 , 20-78.
John C. Baez , [ http://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2004/definitions.pdf Nogle definitioner, som alle bør kende]
Symmetriske monoide kategorier på nLab