Kegle (topologi)

En kegle i topologi er et topologisk rum opnået fra det oprindelige rum ved at trække et underrum af dets cylinder ( ) sammen til et punkt, det vil sige et kvotientrum . Keglen over rummet er betegnet med . $x$ $X\ gange\{0\}$ $X\ gange[0, 1]$ $(X \ gange [0, 1])/(X \ gange \{0\})$ $x$ $\mathrm CX$

Hvis er en kompakt delmængde af det euklidiske rum , så er keglen over homøomorf til foreningen af segmenterne fra til et fornemt punkt i rummet, det vil sige, at definitionen af en topologisk kegle er i overensstemmelse med definitionen af en geometrisk kegle . Den topologiske kegle er dog en mere generel konstruktion. $x$ $x$ $x$

Eksempler

En kegle over et punkt på den reelle linje er et interval , en kegle over et interval på den reelle linje er en fyldt trekant (2-simplex), en kegle over en polygon er en pyramide med base . Keglen over cirklen er den klassiske kegle (med interiør); en kegle over en cirkel er sidefladen af en klassisk kegle: $s$ $\{p\}\ gange[0,1]$ $P$ $P$

\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = z^2 \wedge 0\leqslant z\leqslant 1\}

homøomorf til en cirkel .

Generelt er en kegle over en hypersfære homøomorf til en lukket -dimensionel kugle . En kegle over en -simplex er en -simplex. $(n+1)$ $n$ $(n+1)$

Egenskaber

Keglen kan konstrueres som en konstant afbildningscylinder [ 1] . $\mathrm CX$ $X \til \{0\}$

Alle kegler er baneforbundne , da ethvert punkt kan forbindes til et toppunkt. Desuden er enhver kegle kontraherbar til toppunktet ved hjælp af homotopien givet af formlen . $h_t(x, s) = (x, (1-t)s)$

Hvis er kompakt og Hausdorff , så kan keglen repræsenteres som rummet af linjestykker, der forbinder hvert punkt med et enkelt punkt; hvis ikke er kompakt eller Hausdorff, så er det ikke, da topologien på kvotientrummet generelt vil være tyndere end sættet af linjestykker, der forbinder til et punkt. $x$ $\mathrm CX$ $x$ $x$ $\mathrm CX$ $x$

I algebraisk topologi er kegler meget brugt, fordi de repræsenterer rum som indlejringer i et sammentrækbart rum; i denne forbindelse er følgende resultat også vigtigt: et rum kan trækkes sammen, hvis og kun hvis det er en tilbagetrækning af sin kegle. $x$

Konisk funktion

Kortlægningen genererer en konisk funktor , en endofunctor over kategorien topologiske rum . $X\mapto \mathrm CX$ $\mathrm C:\mathbf{Top} \to \mathbf{Top}$ $\mathbf {Top}$

Reduceret kegle

Den reducerede kegle er en konstruktion over et punkteret mellemrum [2] : $(X,x_{0})$

\mathrm C (X, x_0) = \big( X\gange [0,1] \big) / \big( (X\gange \venstre\{0\højre\}) \kop (\venstre\{x_0\ højre\}\ gange [0,1]) \big)

Naturlig indlejring giver os mulighed for at betragte ethvert spidst rum som en lukket delmængde af dens reducerede kegle [3] . $x\mapsto(x,1)$

Se også

Tilføjelse (topologi)
Kortlægningskegle (topologi)
Kortlægningskegle (homologisk algebra)
Deltag (topologi)

Noter

↑ Spanien, 1971 , s. 77.
↑ Schweiz, 1985 , s. 13.
↑ Spanien, 1971 , s. 469.

Litteratur

Allen Hatcher. Algebraisk topologi. - Moskva: MTsNMO Publishing House, 2011. - ISBN 978-5-940-57-748-5 .
R. M. Switzer. Algebraisk topologi - homotopi og homologi. - Moskva: "Nauka", Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, 1985.
E. Spanier. Algebraisk topologi. - Moskva: Mir, 1971.