Minkowskis konvekse kropssætning

Minkowski-sætningen om et konveks legeme er en af talgeometriens sætninger , som tjente som grundlag for at adskille tallenes geometri i et afsnit af talteorien . Formuleret af Hermann Minkowski i 1896.

Ordlyd

Lade være en lukket konveks krop , symmetrisk med hensyn til oprindelsen af koordinater , -dimensionelle euklidiske rum , der har volumen . Så er der et heltalspunkt forskelligt fra . $S$ $O$ $n$ $\geqslant 2^{n}$ $S$ $O$

Bevis

Nedenfor er beviset for Minkowskis sætning for det særlige tilfælde L = ℤ 2 . Det kan generaliseres til vilkårlige dimensioner.

Overvej kortlægningen

f:S\to \mathbb {R} ^{2}\qquad (x,y)\mapsto (x{\bmod {2}},y{\bmod {2}})

Intuitivt skærer denne kortlægning kroppen i 2 gange 2 firkanter, som er stablet oven på hinanden. Naturligvis er arealet f ( S ) ≤4 . Hvis afbildningen f var injektiv , så ville de dele af S , der blev skåret ud af kvadrater, passe sammen uden at overlappe hinanden. Da f bevarer fragmenternes lokale områder, ville denne ikke-skæringsegenskab gøre kortet f til at bevare hele S , således at arealet af f ( S ) ville være det samme som S - numerisk større end 4. Hvis dette ikke er tilfældet, så er f ikke injektiv , og derfor er f ( p 1 ) = f ( p 2 ) for et par punkter p 1 , p 2 ∈ S . Desuden ved vi ved definitionen af f , at p 2 = p 1 + (2 i , 2 j ) for nogle heltal i og j , hvor mindst en af dem er ikke-nul.

Da S er symmetrisk i forhold til oprindelsen, er − p 1 også inkluderet i S . Da S er konveks, ligger segmentet mellem − p 1 og p 2 fuldstændigt i S . Midten af dette segment

{\tfrac {1}{2}}\left(-p_{1}+p_{2}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(-p_{1}+p_ {1}+(2i,2j)\right)=(i,j)

ligger i S. ( i , j ) er et heltal og er ikke oprindelsen ( i og j kan ikke begge være nul). Dermed har vi fundet det ønskede punkt.

Variationer og generaliseringer

En generalisering af Minkowskis sætning til ikke-konvekse mængder er Blichfeldts sætning .
I 2007 viste Nikolai Durov, at Minkowski-sætningen kan opfattes som en variant af Riemann-Roch-sætningen for det færdige spektrum [1] $\mathbb {Z}$ .

Noter

↑ Ny tilgang til Arakelov-geometrien . Hentet 20. august 2014. Arkiveret fra originalen 26. marts 2015. (ubestemt)