Zonogon

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. juni 2022; verifikation kræver 1 redigering .

En zonogon er en centralt symmetrisk konveks polygon .

Tilsvarende definitioner

En zonogon er en konveks polygon med et lige antal sider, som kan opdeles i par af lige og parallelle . Faktisk er det nok at kræve sandheden af begge betingelser for alle par af sider, bortset fra én - for det vil betingelsen allerede være en konsekvens, hvilket er let at bevise ved induktion på antallet af sider af polygonen. Et sidepar, hvis parallelitet og lighed ikke er postuleret, skal dog nødvendigvis være ens for begge forhold, ellers er polygonen ikke længere nødvendigvis en zonogon: et eksempel på en polygon, der ikke er en zonogon, hvor de modsatte sider af kun et par er ikke parallelle og de modsatte sider er kun ét par er ikke ens, vist på figuren til højre.
En zonogon er en konveks polygon med et lige antal sider, hvor alle modstående sider og vinkler er lige store.
En zonogon er Minkowski summen af et endeligt antal segmenter i et plan. Antallet af sider af den resulterende zonogon er lig med det dobbelte af antallet af segmenter.
En zonogon er projektionsgrænsen for en hyperkube af en eller anden dimension på planet . Denne definition kan fås fra den foregående ved at bruge det faktum, at en hyperkube er Minkowski-summen af dens kanter, der kommer ud fra et toppunkt, og det faktum, at projektionen af Minkowski-summen af segmenter (som alle andre mængder) er Minkowski-summen af deres fremskrivninger. For dimensionen af en hyperkube har den resulterende zonogon nøjagtigt sider i det generelle tilfælde og højst sider under alle omstændigheder. Det er vigtigt, at en dimensionshyperkube ikke skal projiceres fra -dimensionelt rum på et plan indeholdt i dette rum: for eksempel kan man projicere en terning med en kant fra tredimensionelt rum på et plan indeholdt i det, figur med en diameter mindre end , da dette er diameteren af den indskrevne kugle af terningen, hvis projektion er en cirkel med diameter og er indeholdt inde i projektionen af selve terningen ved enhver af dens positioner, men den ortogonale projektion af en terning af samme størrelse med hjørner fra femdimensionelt rum til et plan, der er dannet af alle punkter i formen, består overhovedet af ét punkt - . Denne forfining påvirker ikke kun størrelsen af de resulterende zonogoner - nogle zonogoner, op til lighed , kan kun opnås ved at projicere en hyperkube på et plan fra et rum af en højere dimension end dimensionen af hyperkuben selv. $n$ $2n$ $2n$ $n$ $n$ $2$ $2$ $2$ $(0,0,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ $(x,y,0,0,0)$ $(0,0,0,0,0)$

Særlige tilfælde

Et parallelogram er en firkant , der er en zonogon. Især zonogonerne er romben , rektanglet og firkanten .
En regulær polygon med et lige antal sider er en zonogon.

Egenskaber

En generalisering af Monskys sætning : ingen zonogon kan skæres i et ulige antal trekanter med lige stort areal . Dette faktum blev bevist af den samme Paul Monsky efter hovedsætningen [1] [2] .

Det maksimale antal par af hjørner, der kan være i samme afstand i en zonogon med sider er . Der er zonogoner med antallet af sådanne par lig med (se "O" stor og "o" lille ) [3] . $n$ $2n-3$ $2n-O({\sqrt {n)))$

Enhver strengt konveks zonogon med sider kan opdeles i parallelogrammer, og blandt dem vil der altid være nøjagtig et parallelogram med de samme sideretninger for hvert par mulige retninger af zonogonens sider [4] . Antallet af sådanne mulige partitioner for zonogoner med et hvilket som helst antal sider er givet af sekvensen A006245 i OEIS . $2n$ ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$

For enhver opdeling af en vilkårlig zonogon i parallelogrammer (i et hvilket som helst muligt antal af dem), er der mindst tre zonogon-spidser, som hver kun hører til et af parallelogrammerne [5] .

Måder at reducere antallet af sider på

Disse metoder kan anvendes i induktion på antallet af sider af zonogonen for at bevise ovenstående ækvivalente definitioner og egenskaber.

Hjørnepunkter beskæring - ved hjælp af det er det for eksempel let at bevise ækvivalensen af hoveddefinitionen til den anden definition fra afsnittet med tilsvarende definitioner.
Klipning af strimler af parallelogrammer - blandt andet kan det bruges til at bevise egenskaberne ovenfor, relateret til opdelingen af zonogoner i parallelogrammer fuldstændigt.

Tiling af flyet med zonogoner

Alle zonogoner med mere end fire hjørner i flisebelægningerne nedenfor kan opdeles i zonogoner med færre spidser ved at skære parallelogramlagene vist i en af figurerne ovenfor. Disse parallelogrammer kan også fjernes fra flisebelægningen, hvilket vil være ensbetydende med at "kollapse" zonogonerne i en eller anden retning.

Fliselægning med én type zonogoner

Firkanter og sekskanter , som er zonogoner, er også parallelagoner og tillader fliselægning af flyet med deres egne kopier, kun opnået ved hjælp af parallel oversættelse .

Belægning af flyet med én type zonogoner
Flisebelægning med firkantede zonogoner	Flisebelægning med sekskantede zonogoner

Flisebelægninger med to typer zonogoner

Disse flisebelægninger er en slags trunkering af flisebelægningen af planet ved hjælp af parallelogrammer (firkantede zonogoner) langs henholdsvis kanterne og langs hjørnerne.

Fliselægning af flyet med to typer zonogoner
Flisebelægning med firkantede og sekskantede zonogoner	Tessellation med firkantede og ottekantede zonogoner

Nogle andre tesselleringer

Fliselægning af et fly med flere typer zonogoner, herunder ottekantede, der er opnået ved fliselægning af et fly med én type zonogoner
Tessellation med firkantede og ottekantede zonogoner	Flisebelægning med firkantede, sekskantede og ottekantede zonogoner
Rammer

Tesselleringer

I det generelle tilfælde definerer en ottekantet zonogon to sådanne fliser.	I det generelle tilfælde definerer en ottekantet zonogon fire sådanne fliser.

Flisedeling af planet ved firkantede, sekskantede og ottekantede zonogoner opnået fra flisebelægningerne i den foregående tabel
En flisebelægning opnået fra en flisebelægning med firkantede og ottekantede zonogoner	En flisebelægning opnået fra en flisebelægning med firkantede, sekskantede og ottekantede zonogoner
Rammer

Tesselleringer

I det generelle tilfælde definerer en ottekantet zonogon fire lignende fliser (der er to måder at forbinde selve ottekanterne på, og på yderligere to måder, for hver placering af ottekanterne, grupper de resterende dele af planet i firkanter og sekskanter).	I det generelle tilfælde definerer en ottekantet zonogon fire lignende flisebelægninger, som i tilfældet til venstre. I denne flisebelægning, i modsætning til den til venstre, falder de firkanter, der er involveret i udfyldning af huller i "ringene" af otte ottekanter sammen med firkanterne, der fylder huller i "ringene" af fire ottekanter - dette faktum illustrerer muligheden for dobbelt udfyldning "ringene" " på otte ottekanter (i den anden version ville deres firkanter falde sammen med firkanterne fra "ringene" på seks ottekanter).

Nogle måder at "skubbe" tessellationer fra hinanden

Flisebelægningerne kan "spredes fra hinanden" langs de periodiske snit mellem polygonerne, og de resulterende mellemrum kan udfyldes med striberne vist nedenfor. I den første tabel i det foregående afsnit blev den højre flisebelægning opnået fra den venstre vha

Metoder med ensartet skift af sider
Periode 1
Periode 2
Periode 3
Periode 4		Med denne strimmel kan venstre flisebelægning fra det første bord i forrige afsnit omdannes til højre flisebelægning af samme bord.

Måder med parter, der mødes på forskellige frekvenser
Periode 4		På grænsen af en given strimmel forekommer en type side dobbelt så ofte som en af de to andre.

Generaliseringer

Et zonohedron (zonotop) er et polyhedron , som er en generalisering af en zonogon for tredimensionelt rum og rum af højere dimension . Nogle gange betyder et zonohedron kun et tredimensionelt polyeder, og en zonotop er et polyeder af vilkårlig dimension.
Man kan overveje en centralt symmetrisk polygon, der ikke er konveks eller endda ikke-selv-skærende. I dette tilfælde vil kun de to første definitioner fra afsnittet "Tilsvarende definitioner" være sande for det, med konveksitetskravene fjernet i overensstemmelse hermed. På en måde vil sådanne polygoner med få sider stadig tillade plane tesselleringer.

Noter

↑ Monsky, Paul (1990), A conjecture of Stein on plane dissections , Mathematische Zeitschrift T. 205 (4): 583–592 , DOI 10.1007/BF02571264
↑ Stein, Sherman & Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry , vol. 25, Carus Mathematical Monographs, Cambridge University Press, s. 130 , ISBN 9780883850282
↑ Young, John Wesley & Schwartz, Albert John (1915), Plane Geometry , H. Holt, s. 121 , < https://books.google.com/books?id=PzEAAAAAYAAJ&pg=PA121 > Arkiveret 18. marts 2022 på Wayback Machine
↑ Beck, József (2014), Probabilistic Diophantine Approximation: Randomness in Lattice Point Counting , Springer, s. 28, ISBN 9783319107417 , < https://books.google.com/books?id=4fawBAAAQBAJ&pg=PA28 > Arkiveret 18. marts 2022 på Wayback Machine
↑ Andreescu, Titu & Feng, Zuming (2000), Mathematical Olympiads 1998-1999: Problems and Solutions from Around the World , Cambridge University Press, s. 125, ISBN 9780883858035 , < https://books.google.com/books?id=T0CnqnoKu6QC&pg=PA125 > Arkiveret 18. marts 2022 på Wayback Machine