Inertimoment

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. december 2020; checks kræver 6 redigeringer .

Inertimoment
$J=\int \limits _{(m)}r^{2}\mathrm {d} m$
Dimension	L 2 M
Enheder
SI	kg m² _ _
GHS	g cm² _ _

Inertimomentet er en skalar fysisk størrelse , et mål for inerti i rotationsbevægelse omkring en akse, ligesom massen af et legeme er et mål for dets inerti i translationel bevægelse. Det er karakteriseret ved fordelingen af masser i kroppen: inertimomentet er lig med summen af produkterne af elementære masser og kvadratet af deres afstande til basissættet (punkt, linje eller akse).

Måleenhed i det internationale enhedssystem (SI ) : kg m² .

Betegnelse : I eller J.

Der er flere inertimomenter - afhængig af hvilken type basesæt, som afstandene fra elementære masser måles til.

Aksialt inertimoment

Inertimomentet for et mekanisk system i forhold til en fast akse ("aksialt inertimoment") er værdien af J a , lig med summen af produkterne af masserne af alle n materialepunkter i systemet og kvadraterne af deres afstande til aksen [1] :

J_{a}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2},

hvor:

m i er massen af det i - te punkt,
r i er afstanden fra det i -te punkt til aksen.

Det aksiale inertimoment for kroppen Ja er et mål for kroppens inerti i rotationsbevægelse omkring aksen, ligesom massen af et legeme er et mål for dets inerti i translationel bevægelse .

J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,

hvor:

dm = ρ dV er massen af et element med lille volumen i kroppen dV , ρ er tætheden, r er afstanden fra element dV til akse a .

Hvis kroppen er homogen, det vil sige, at dens tæthed er den samme overalt, så

J_{a}=\rho \int \limits _{(V)}r^{2}dV.

Huygens-Steiners sætning

Træghedsmomentet for et stivt legeme i forhold til en hvilken som helst akse afhænger af kroppens masse , form og størrelse, såvel som af kroppens position i forhold til denne akse. Ifølge Huygens-Steiners sætning er inertimomentet for et legeme J om en vilkårlig akse lig med summen af dette legemes inertimoment J c om en akse, der går gennem legemets massecenter parallelt med betragtet akse, og produktet af kropsmassen m gange kvadratet af afstanden d mellem akserne [1] :

J=J_{c}+md^{2},

hvor m er kroppens samlede masse.

For eksempel er inertimomentet for en stang omkring en akse, der passerer gennem dens ende:

J=J_{c}+md^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^ {2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.

Aksiale inertimomenter for nogle legemer

Inertimomenter af homogene legemer af den enkleste form omkring nogle rotationsakser

Beskrivelse	en -akse position	Inertimoment J a
Materialepunkt med masse m	I en afstand r fra punktet, fast	$hr^{2}$
Hul tyndvægget cylinder eller ring med radius r og masse m	Cylinder akse	$hr^{2}$
Massiv cylinder eller skive med radius r og masse m	Cylinder akse	${\frac {1}{2}}mr^{2}$
Hul tykvægget cylinder med massen m med ydre radius r 2 og indre radius r 1	Cylinder akse	$m{\frac {r_{2}^{2}+r_{1}^{2}}{2}}$ [Komm 1]
Massiv cylinder med længde l , radius r og masse m	Aksen er vinkelret på cylinderens generatrix og passerer gennem dens massecentrum	${1 \over 4}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}$
Hul tyndvægget cylinder (ring) af længden l , radius r og masse m	Aksen er vinkelret på cylinderen og passerer gennem dens massecentrum	${1 \over 2}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}$
Lige tynd stang af længden l og massen m	Aksen er vinkelret på stangen og passerer gennem dens massecenter	${\frac {1}{12}}ml^{2}$
Lige tynd stang af længden l og massen m	Aksen er vinkelret på stangen og passerer gennem dens ende	${\frac {1}{3}}ml^{2}$
Tyndvægget kugle med radius r og masse m	Aksen passerer gennem midten af kuglen	${\frac {2}{3}}mr^{2}$
Kugle med radius r og masse m	Aksen passerer gennem midten af bolden	${\frac {2}{5}}mr^{2}$
Kegle med radius r og masse m	kegleakse	${\frac {3}{10}}mr^{2}$
Ligebenet trekant med højde h , basis a og masse m	Aksen er vinkelret på trekantens plan og passerer gennem toppunktet (i højden)	${\frac {1}{24}}m(a^{2}+12t^{2})$
Regulær trekant med side a og masse m	Aksen er vinkelret på trekantens plan og passerer gennem massecentret	${\frac {1}{12}}ma^{2}$
Firkant med side a og masse m	Aksen er vinkelret på kvadratets plan og passerer gennem massecentret	${\frac {1}{6}}ma^{2}$
Rektangel med siderne a og b og masse m	Aksen er vinkelret på rektanglets plan og passerer gennem massecentret	${\frac {1}{12}}m(a^{2}+b^{2})$
Regulær n-gon med radius r og masse m	Aksen er vinkelret på planet og passerer gennem massecentret	${\frac {mr^{2}}{6}}\left[1+2\cos(\pi /n)^{2}\right]$
Torus (hul) med ledecirkelradius R , generatrixradius r og masse m	Aksen er vinkelret på planet for torus guidecirkel og passerer gennem massemidtpunktet	$I=m\left({\frac {3}{4}}\,r^{2}+R^{2}\right)$

Afledning af formler

Tyndvægget cylinder (ring, bøjle)

Formel afledning

Et legemes inertimoment er lig med summen af inertimomentet for dets bestanddele. Lad os opdele en tyndvægget cylinder i elementer med masse dm og inertimomenter dJ i . Derefter

J=\sum dJ_{i}=\sum R_{i}^{2}dm.\qquad (1).

Da alle elementer i en tyndvægget cylinder er i samme afstand fra rotationsaksen, konverteres formel (1) til formen

J=\sum R^{2}dm=R^{2}\sum dm=mR^{2}.

Tykvægget cylinder (ring, bøjle)

Formel afledning

Lad der være en homogen ring med ydre radius R , indre radius R 1 , tykkelse h og tæthed ρ . Lad os dele det i tynde ringe af tykkelse dr . Massen og inertimomentet af en tynd ring med radius r vil være

dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^{2}dm=2\pi \rho hr^{3}dr.

Vi finder inertimomentet for en tyk ring som et integral

J=\int _{R_{1}}^{R}dJ=2\pi \rho h\int _{R_{1}}^{R}r^{3}dr=

=2\pi \rho h\left.{\frac {r^{4}}{4}}\right|_{R_{1}}^{R}={\frac {1}{2 }}\pi \rho h\left(R^{4}-R_{1}^{4}\right)={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{2 }-R_{1}^{2}\right)\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right).

Da volumen og massen af ringen er ens

V=\pi \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h;\qquad m=\rho V=\pi \rho \left(R^{2}-R_{1 }^{2}\right)h,

får vi den endelige formel for ringens inertimoment

J={\frac {1}{2}}m\venstre(R^{2}+R_{1}^{2}\højre).

Homogen skive (solid cylinder)

Formel afledning

I betragtning af cylinderen (skiven) som en ring med nul indre radius ( R 1 = 0 ), får vi formlen for inertimomentet for cylinderen (skiven):

J={\frac {1}{2}}mR^{2}.

solid kegle

Formel afledning

Lad os opdele keglen i tynde skiver af tykkelsen dh vinkelret på keglens akse. Radius af sådan en disk er

r={\frac {Rh}{H}},

hvor R er radius af keglens bund, H er højden af keglen, h er afstanden fra toppen af keglen til skiven. Massen og inertimomentet for en sådan disk vil være

dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;

dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}} \pi \rho \left({\frac {Rh}{H}}\right)^{4}dh;

Integrering, får vi

{\begin{aligned}J=\int _{0}^{H}dJ={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right) ^{4}\int _{0}^{H}h^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right )^{4}\venstre.{\frac {h^{5}}{5}}\right|_{0}^{H}=={\frac {1}{10}}\pi \rho R ^{4}H=\venstre(\rho \cdot {\frac {1}{3}}\pi R^{2}H\right){\frac {3}{10}}R^{2}= {\frac {3}{10}}mR^{2}.\end{aligned}}

Solid uniformsbold

Formel afledning

Lad os opdele kuglen i tynde skiver af tykkelsen dh vinkelret på rotationsaksen. Radius af en sådan disk, placeret i en højde h fra midten af kuglen, kan findes ved formlen

r={\sqrt {R^{2}-h^{2}}}.

Massen og inertimomentet for en sådan disk vil være

dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;

dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}} \pi \rho \left(R^{2}-h^{2}\right)^{2}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{4}- 2R^{2}h^{2}+h^{4}\højre)dh.

Kuglens inertimoment findes ved integration:

{\begin{aligned}J&=\int _{-R}^{R}dJ=2\int _{0}^{R}dJ=\pi \rho \int _{0}^{R}\venstre (R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^{4}h-{ \frac {2}{3}}R^{2}h^{3}+{\frac {1}{5}}h^{5}\right)\right|_{0}^{R}= \pi \rho \left(R^{5}-{\frac {2}{3}}R^{5}+{\frac {1}{5}}R^{5}\right)={\ frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}=\\&=\left({\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \right)\cdot { \frac {2}{5}}R^{2}={\frac {2}{5}}mR^{2}.\end{aligned}}

tyndvægget kugle

Formel afledning

For at udlede, bruger vi formlen for inertimomentet for en homogen kugle med radius R :

J_{0}={\frac {2}{5}}MR^{2}={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}.

Lad os beregne, hvor meget kuglens inertimoment vil ændre sig, hvis dens radius ved en konstant tæthed ρ øges med en uendelig lille værdi dR .

{\begin{aligned}J&={\frac {dJ_{0}}{dR}}dR={\frac {d}{dR}}\left({\frac {8}{15}}\ pi \rho R^{5}\right)dR=\\&={\frac {8}{3}}\pi \rho R^{4}dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ {2}dR\right){\frac {2}{3}}R^{2}={\frac {2}{3}}mR^{2}.\end{aligned}}

Tynd stang (aksen går gennem midten)

Formel afledning

Lad os opdele stangen i små fragmenter af længden dr . Massen og inertimomentet for et sådant fragment er

dm={\frac {mdr}{l));\qquad dJ=r^{2}dm={\frac {mr^{2}dr}{l)).

Integrering, får vi

J=\int _{-l/2}^{l/2}dJ=2\int _{0}^{l/2}dJ={\frac {2m}{l))\int _{0} ^{l/2}r^{2}dr={\frac {2m}{l}}\venstre.{\frac {r^{3}}{3}}\right|_{0}^{l /2}={\frac {2m}{l}}{\frac {l^{3}}{24}}={\frac {1}{12}}ml^{2}.

Tynd stang (aksen går gennem enden)

Formel afledning

Når rotationsaksen flyttes fra midten af stangen til dens ende, bevæger stangens tyngdepunkt sig i forhold til aksen med en afstand l ⁄ 2 . Ifølge Steiner-sætningen vil det nye inertimoment være lig med

J=J_{0}+mr^{2}=J_{0}+m\venstre({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}} ml^{2}+{\frac {1}{4}}ml^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.

Dimensionsløse inertimomenter af planeter og deres satellitter [2] [3] [4]

Dimensionsløse inertimomenter af planeter og satellitter

Af stor betydning for studier af planeters indre struktur og deres satellitter er deres dimensionsløse inertimomenter. Det dimensionsløse inertimoment for et legeme med radius r og masse m er lig med forholdet mellem dets inertimoment om rotationsaksen og inertimomentet for et materialepunkt med samme masse omkring en fast rotationsakse placeret ved en afstand r (lig med mr 2 ). Denne værdi afspejler fordelingen af masse i dybden. En af metoderne til at måle det for planeter og satellitter er at bestemme Doppler-forskydningen af radiosignalet, der transmitteres af AMS , der flyver rundt om en given planet eller satellit. For en tyndvægget kugle er det dimensionsløse inertimoment lig med 2/3 (~0,67), for en homogen kugle er det 0,4, og generelt er jo mindre, jo større masse af kroppen er koncentreret i dens centrum. For eksempel har Månen et dimensionsløst inertimoment tæt på 0,4 (lig med 0,391), så det antages, at den er relativt homogen, dens tæthed ændrer sig lidt med dybden. Jordens dimensionsløse inertimoment er mindre end for en homogen kugle (lig med 0,335), hvilket er et argument for eksistensen af en tæt kerne [5] [6] .

Centrifugalt inertimoment

Centrifugale inertimomenter af et legeme i forhold til akserne i et rektangulært kartesisk koordinatsystem er følgende størrelser [1] [7] :

J_{xy}=\int \limits _{(m)}xydm=\int \limits _{(V)}xy\rho dV,

J_{xz}=\int \limits _{(m)}xzdm=\int \limits _{(V)}xz\rho dV,

J_{yz}=\int \limits _{(m)}yzdm=\int \limits _{(V)}yz\rho dV,

hvor x , y og z er koordinaterne for et lille element af legemet med volumen dV , tæthed ρ og masse dm .

Aksen OX kaldes kroppens hovedinertiakse , hvis de centrifugale inertimomenter J xy og J xz samtidigt er lig nul. Tre hovedinertiakser kan trækkes gennem hvert punkt på kroppen. Disse akser er gensidigt vinkelrette på hinanden. Kroppens inertimomenter i forhold til de tre hovedinertimomenter tegnet i et vilkårligt punkt O i kroppen kaldes dette legemes hovedinertimomenter [ 7] .

De vigtigste inertiakser, der passerer gennem kroppens massecenter , kaldes kroppens hovedinertiakser , og inertimomenterne omkring disse akser kaldes dets vigtigste centrale inertimomenter . Et homogent legemes symmetriakse er altid en af dets vigtigste centrale inertiakser [7] .

Geometriske inertimomenter

Det geometriske inertimoment af volumenet i forhold til aksen er kroppens geometriske karakteristika, udtrykt ved formlen [8] :

J_{Va}=\int \limits _{(V)}r^{2}dV,

hvor r som før er afstanden fra elementet dV til aksen a .

Dimensionen af J Va er længden til femte potens ( ), henholdsvis SI-enheden er m 5 . $\mathrm {dim} J_{Va}=\mathrm {L^{5}}$

Områdets geometriske inertimoment i forhold til aksen er kroppens geometriske karakteristika, udtrykt ved formlen [8] :

J_{Sa}=\int \limits _{(S)}r^{2}dS,

hvor integration udføres over overfladen S og dS er et element af denne overflade.

Dimensionen af J Sa er længden til fjerde potens ( ), henholdsvis SI-enheden er m 4 . I konstruktionsberegninger, litteratur og sortimenter af valset metal er det ofte angivet i cm 4 . $\mathrm {dim} J_{Sa}=\mathrm {L^{4}}$

Gennem områdets geometriske inertimoment udtrykkes snitmodstanden :

W={\frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.

Her er r max den maksimale afstand fra overfladen til aksen.

Geometriske inertimomenter af arealet af nogle figurer
Rektangel højde og bredde : $h$ $b$	$J_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}$ $J_{z}={\frac {hb^{3}}{12}}$
Rektangulært kassesnit med højde og bredde langs de ydre konturer og , og langs den indre og hhv. $H$ $B$ $h$ $b$	$J_{z}={\frac {BH^{3}}{12}}-{\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(BH^{3 }-bh^{3})$ $J_{y}={\frac {HB^{3}}{12}}-{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(HB^{3 }-hb^{3})$
Cirkel diameter $d$	$J_{y}=J_{z}={\frac {\pi d^{4}}{64}}$

Inertimoment om et fly

Inertimomentet for et stivt legeme i forhold til et bestemt plan kaldes en skalarværdi lig med summen af produkterne af massen af hvert punkt i kroppen og kvadratet på afstanden fra dette punkt til det pågældende plan [9 ] .

Hvis vi tegner koordinatakser gennem et vilkårligt punkt , så vil inertimomenterne i forhold til koordinatplanerne , og blive udtrykt ved formlerne: $O$ $x,y,z$ $xOy$ $yOz$ $zOx$

J_{xOy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2}\ ,

J_{yOz}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2}\ ,

J_{zOx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}^{2}\ .

I tilfælde af et fast legeme erstattes summering af integration.

Centralt inertimoment

Det centrale inertimoment ( inertimoment om punktet O, inertimoment om polen, polært inertimoment ) er en størrelse defineret af udtrykket [9] : $J_{O}$

J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,

hvor:

$dm=\rho dV$ er massen af et lille volumen element i kroppen , $dV$
$\rho$ - massefylde,
$r$ er afstanden fra elementet til punkt O. $dV$

Det centrale inertimoment kan udtrykkes gennem de vigtigste aksiale inertimomenter, såvel som gennem inertimomenterne i forhold til planerne [9] :

J_{O}={\frac {1}{2}}\left(J_{x}+J_{y}+J_{z}\right),

J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.

Inerti-tensoren og inerti-ellipsoiden

Et legemes inertimoment omkring en vilkårlig akse, der passerer gennem massecentret og har en retning givet af en enhedsvektor, kan repræsenteres som en kvadratisk (bilineær) form : ${\vec {s}}=\left\Vert s_{x},s_{y},s_{z}\right\Vert ^{T},\left\vert {\vec {s}}\ højre\vert=1$

I_{s}={\vec {s}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\vec {s}},\qquad

(en)

hvor er inertietensoren . Inertiensormatrixen er symmetrisk, har dimensioner og består af centrifugalmomentkomponenter: ${\hat {J}}$ $3 gange 3$

{\hat {J}}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}\\-J_{yx}&J_{yy }&-J_{yz}\\-J_{zx}&-J_{zy}&J_{zz}\end{array}}\right\Vert ,

J_{xy}=J_{yx},\quad J_{xz}=J_{zx},\quad J_{zy}=J_{yz},\quad

J_{xx}=\int \limits _{(m)}(y^{2}+z^{2})dm,\quad J_{yy}=\int \limits _{(m)} (x^{2}+z^{2})dm,\quad J_{zz}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+y^{2})dm.

Ved at vælge et passende koordinatsystem kan matrixen af inertietensoren reduceres til en diagonal form. For at gøre dette skal du løse egenværdiproblemet for tensormatricen : ${\hat {J}}$

{\hat {J}}_{d}={\hat {Q}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\hat {Q}},

{\hat {J}}_{d}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{X}&0&0\\0&J_{Y}&0\\0&0&J_{Z}\end{array }}\right\Vert ,

hvor er den ortogonale overgangsmatrix til inertietensorens egenbasis. På sit eget grundlag er koordinatakserne rettet langs inerti-tensorens hovedakser og falder også sammen med inerti-tensorellipsoidens hoved-halvakser. Mængderne er de vigtigste inertimomenter. Udtryk (1) i sit eget koordinatsystem har formen: ${\hat {Q}}}$ ${\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z))$

I_{s}=J_{X}\cdot s_{x}^{2}+J_{Y}\cdot s_{y}^{2}+J_{Z}\cdot s_{z}^{ 2},

hvorfra ligningen for ellipsoiden i egenkoordinater er opnået. At dividere begge sider af ligningen med $I_{s}$

\left({s_{x} \over {\sqrt {I_{s))))\right)^{2}\cdot J_{X}+\left({s_{y} \over {\ sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{Y}+\left({s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2 }\cdot J_{Z}=1

og foretage udskiftningerne:

\xi ={s_{x} \over {\sqrt {I_{s)))),\eta ={s_{y} \over {\sqrt {I_{s)))),\zeta = {s_{z} \over {\sqrt {I_{s)))),

vi får den kanoniske form af ellipsoideligningen i koordinater : $\xi \eta \zeta$

\xi ^{2}\cdot J_{X}+\eta ^{2}\cdot J_{Y}+\zeta ^{2}\cdot J_{Z}=1.

Afstanden fra midten af ellipsoiden til nogle af dens punkter er relateret til værdien af kroppens inertimoment langs en lige linje, der går gennem midten af ellipsoiden og dette punkt:

r^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\left({s_{x} \over {\sqrt {I_{s))} }\right)^{2}+\left({s_{y} \over {\sqrt {I_{s))))\right)^{2}+\left({s_{z} \over {\ sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}={1 \over I_{s}}.

Se også

Kommentarer

↑ Den korrekte brug af "+"-tegnet i denne formel kan verificeres ved at sammenligne inertimomenterne for en hul tykvæggede og massive cylindere med samme masser. Faktisk er massen af den første af disse cylindere i gennemsnit koncentreret længere fra aksen end den anden, og derfor skal inertimomentet for denne cylinder være større end for en fast. Det er dette forhold mellem inertimomenter, der giver "+" tegnet. På den anden side, i grænsen, da r 1 har en tendens til r 2 , bør formlen for en tykvægget hul cylinder have samme form som formlen for en tyndvægget hul cylinder. Det er klart, at en sådan overgang kun forekommer, når du bruger en formel med et "+"-tegn.

Noter

↑ 1 2 3 Targ S. M. Inertimoment // Physical Encyclopedia / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M .: Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3. - S. 206-207. — 672 s. - 48.000 eksemplarer. — ISBN 5-85270-019-3 .
↑ Planetarisk faktaark . Hentet 31. august 2010. Arkiveret fra originalen 14. marts 2016. (ubestemt)
↑ Showman, Adam P.; Malhotra, Renu. De galilæiske satellitter // Videnskab . - 1999. - Bd. 286 , nr. 5437 . - S. 77-84 . - doi : 10.1126/science.286.5437.77 . — PMID 10506564 .
↑ Margot, Jean-Luc; et al. Merkurs inertimoment fra spin- og tyngdekraftsdata // Journal of Geophysical Research : journal. - 2012. - Bd. 117 . - doi : 10.1029/2012JE004161 .
↑ Galkin I.N. Udenjordisk seismologi. — M .: Nauka , 1988. — S. 42-73. — 195 s. — ( Planeten Jorden og Universet ). — 15.000 eksemplarer. — ISBN 502005951X .
↑ Panteleev V. L. Jordens og planeternes fysik. Ch. 3.4 - Planetens gravitationsfelt . Hentet 31. august 2010. Arkiveret fra originalen 3. oktober 2013. (ubestemt)
↑ 1 2 3 Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik. - M . : " Højere Skole ", 1995. - S. 269-271. — 416 s. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 Buchholz N. N. Den teoretiske mekaniks hovedforløb. - 4. udg. - M . : " Nauka ", 1966. - T. 2. - S. 131.
↑ 1 2 3 Yablonsky A. A. Dynamics // Kursus i teoretisk mekanik. - 3. udg. - M . : " Højere Skole ", 1966. - T. II. - S. 102-103. — 411 s.

Litteratur

Matveev. A. N. Mekanik og relativitetsteorien. Moskva: Højere skole, 1986
Trofimova T. I. Fysik kursus. - 7. udg. - M .: Højere skole, 2001. - 542 s.
Aleshkevich V. A., Dedenko L. G., Karavaev V. A. Rigid Body Mechanics. Forelæsninger. Arkiveksemplar dateret 7. januar 2014 på Wayback Machine Publishing House ved Det Fysiske Fakultet ved Moscow State University, 1997.
Pavlenko Yu. G. Forelæsninger om teoretisk mekanik. M.: FIZMATLIT, 2002. - 392s.
Yavorsky B. M. , Detlaf A. A. Fysik for gymnasieelever og dem, der går ind på universiteter: en lærebog - M .: Bustard, 2002, 800s. ISBN 5-7107-5956-3
Sivukhin DV Almen kursus i fysik. I 5 bind Bind I. Mekanik. 4. udg. Moskva: FIZMATLIT; MIPT Publishing House, 2005. - 560 s.
Belyaev N. M. Materialernes styrke. Hovedudgaven af den fysiske og matematiske litteratur fra forlaget "Nauka", 1976. - 608 s.

Links

Bestemmelse af inertimomentet for legemer af en simpel form .

Tematiske steder	Laboratorie
Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Stor russer Brockhaus og Efron Ny V. Dahl Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4127020-4 J9U : 987007541141405171 LCCN : sh85086657 NKC : ph554023