Ulighed

Ulighed i matematik er en relation, der forbinder to tal eller andre matematiske objekter ved hjælp af et af tegnene anført nedenfor [1] .

Strenge uligheder

$a<b$ betyder mindre end $-en$ $b.$
$a>b$ betyder mere end $-en$ $b.$

Ulighederne er ækvivalente . De siger, at tegnene og er modsatte ; for eksempel betyder udtrykket "ulighedstegnet er blevet omvendt", at det er blevet erstattet af eller omvendt. $a>b$ $b<a$ $>$ $<$ $<$ $>$

Ikke-strenge uligheder

$a\leqslant b$ betyder mindre end eller lig med $-en$ $b.$
$a\geqslant b$ betyder større end eller lig med $-en$ $b.$

Den russisksprogede tradition med at skrive tegnene ⩽ og ⩾ svarer til den internationale standard ISO 80000-2 . I udlandet bruges tegnene ≤ og ≥ eller ≦ og ≧ nogle gange. Tegnene ⩽ og ⩾ siges også at være modsatte .

Andre former for uligheder

$a\neq b$ - betyder ikke lig med . $-en$ $b$
$a\gg b$ betyder, at værdien er meget større end $-en$ $b.$
$a\ll b$ betyder, at værdien er meget mindre end $-en$ $b.$

Yderligere i denne artikel refererer begrebet ulighed, medmindre andet er angivet, til de første 4 typer.

I elementær matematik studeres numeriske uligheder (rationelle, irrationelle, trigonometriske, logaritmiske, eksponentielle). Generelt betragtes algebra , analyse , geometri , uligheder også mellem objekter af ikke-numerisk karakter.

Relaterede definitioner

Uligheder med de samme tegn kaldes uligheder af samme navn (nogle gange bruges udtrykket "samme betydning" eller "samme betydning").

En dobbelt eller endda multipel ulighed er tilladt, ved at kombinere flere uligheder til én. Eksempel:

a<b<c

er en stenografi for et par uligheder: og

a<b

b<c.

Numeriske uligheder

Numeriske uligheder indeholder reelle tal ( sammenligning for mere eller mindre er ikke defineret for komplekse tal ) og kan også indeholde symboler for ukendte . Numeriske uligheder, der indeholder ukendte størrelser, opdeles (på samme måde som ligninger ) i algebraiske og transcendentale. Algebraiske uligheder er til gengæld opdelt i uligheder af første grad, anden grad, og så videre. For eksempel er uligheden algebraisk af første grad, uligheden er algebraisk af tredje grad, uligheden er transcendental [2] . $(x,y,\dots ).$ $18x<414$ $2x^{3}-7x+6>0$ $2^{x}>x+4$

Egenskaber

Egenskaberne ved numeriske uligheder er i nogle henseender tæt på egenskaberne for ligninger [1] :

Du kan tilføje det samme tal til begge sider af uligheden.
Du kan trække det samme tal fra begge sider af uligheden. Følge: som for ligninger, kan ethvert led i uligheden overføres til en anden del med det modsatte fortegn. Det følger f.eks $a+b<c$ $a<cb.$
Begge sider af uligheden kan ganges med det samme positive tal.
Uligheder af samme navn kan tilføjes: hvis, for eksempel, og derefter Uligheder med modsatte fortegn kan på samme måde trækkes fra led for led. $a<b$ $c<d,$ $a+c<b+d.$
Hvis alle fire dele af to uligheder er positive, så kan ulighederne ganges.
Hvis begge dele af uligheden er positive, så kan de hæves til samme (naturlige) styrke, og også logaritmisk med en hvilken som helst base (hvis logaritmens basis er mindre end 1, så skal fortegnet for uligheden vendes) .

Andre ejendomme

Transitivitet : hvis og derefter og tilsvarende for andre tegn. $a<b$ $b<c,$ $a<c$
Hvis begge dele af uligheden ganges eller divideres med det samme negative tal, vil ulighedens fortegn ændres til det modsatte: større end mindre end , større end eller lig med mindre end eller lig med , osv.

Løsning af uligheder

Hvis uligheden indeholder symbolerne for de ukendte, betyder løsningen af den at finde ud af spørgsmålet om, hvilke værdier af de ukendte uligheden er opfyldt. Eksempler:

x^{2}<4

udført kl

-2<x<2.

x^{2}>4

udføres hvis eller

x>2

x<-2.

x^{2}<-4

aldrig udført (ingen løsninger).

x^{2}>-4

gælder for alle ( identitet ).

x

Bemærk : Hvis du hæver en ulighed, der indeholder ukendte, til en jævn styrke, kan "ekstra" løsninger dukke op. Eksempel: hvis uligheden er kvadreret: så vil der komme en fejlløsning, som ikke opfylder den oprindelige ulighed. Derfor bør alle løsninger opnået på denne måde verificeres ved substitution til den oprindelige ulighed. $x>3$ $x^{2}>9,$ $x<-3,$

Uligheder af første grad

Uligheden i den første grad har et generelt format: eller hvor (arbejder med tegn og ligner). For at løse det skal du dividere uligheden med og vende ulighedstegnet [3] . Eksempel: $ax>b$ $ax<b,$ $a\neq 0$ $\geqslant$ $\leqslant$ $-en$ $a<0,$

5x-11>8x+1.

Her er lignende udtryk: eller

-3x>12,

x<-4.

Systemer af uligheder af første grad

Hvis den samme ukendte indgår i mere end én ulighed, skal man løse hver ulighed for sig og derefter sammenligne disse løsninger, som skal udføres sammen.

Eksempel 1 . Fra systemet får vi to løsninger: for den første ulighed for den anden: Ved at kombinere dem får vi svaret: ${\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases))$ $x<2,$ $x>{2 \over 3}.$ ${2 \over 3}<x<2.$

Eksempel 2 . Løsninger: og den anden opløsning absorberer den første, så svaret er: ${\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases))$ $x<2$ $x<{2 \over 3}.$ $x<{2 \over 3}.$

Eksempel 3 . Løsninger: og de er inkompatible, så det originale system har ingen løsninger. ${\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases))$ $x>2$ $x<{2 \over 3},$

Uligheder af anden grad

Den generelle form for anden grads ulighed (også kaldet den kvadratiske ulighed ):

x^{2}+px+q>0

eller

x^{2}+px+q<0.

Hvis andengradsligningen har reelle rødder , kan uligheden reduceres til henholdsvis formen: $x^{2}+px+q=0$ $x_{1},x_{2},$

(x-x_{1})(x-x_{2})>0

eller

(x-x_{1})(x-x_{2})<0.

I det første tilfælde, og skal have de samme tegn, i det andet - forskellige. Til det endelige svar skal følgende enkle regel anvendes [4] . ${\displaystyle x-x_{1))$ ${\displaystyle x-x_{2))$

Et kvadratisk trinomium med forskellige reelle rødder er negativt i intervallet mellem rødderne og positivt uden for dette interval. $x^{2}+px+q$

Hvis det viste sig, at ligningen ikke har nogen reelle rødder, så bevarer dens venstre side det samme fortegn for alle. Derfor er den oprindelige ulighed af anden grad enten en identitet eller har ingen løsninger (se eksempler nedenfor [5] ). $x^{2}+px+q=0$ $x.$

Eksempel 1 . Ved at dividere med bringer vi uligheden til formen: Efter at have løst andengradsligningen får vi rødderne , derfor svarer den oprindelige ulighed til dette: Ifølge ovenstående regel, som er svaret. $-2x^{2}+14x-20>0.$ $-2,$ $x^{2}-7x+10<0.$ $x^{2}-7x+10=0,$ $x_{1}=2;x_{2}=5,$ $(x-2)(x-5)<0.$ $2<x<5,$

Eksempel 2 . På samme måde opnår vi det og har de samme tegn, det vil sige ifølge reglen, eller $-2x^{2}+14x-20<0.$ $x-2$ $x-5$ $x<2,$ $x>5.$

Eksempel 3 . Ligningen har ingen reelle rødder, så dens venstre side bevarer sit fortegn for alle For venstre side er positiv, så den oprindelige ulighed er en identitet (sand for alle ). $x^{2}+6x+15>0.$ $x^{2}+6x+15=0$ $x.$ $x=0$ $x$

Eksempel 4 . Som i det foregående eksempel er venstre side her altid positiv, så uligheden har ingen løsninger. $x^{2}+6x+15<0.$

Tilsvarende kan man ved factoring løse uligheder af højere grader. En anden måde er at bygge en graf over venstre side og bestemme hvilke tegn den har i forskellige intervaller [6] .

Andre uligheder

Der er også fraktioneret rationelle, irrationelle, logaritmiske og trigonometriske uligheder.

Nogle velkendte uligheder

Nedenfor er praktisk nyttige uligheder, som er identisk opfyldt, hvis de ukendte falder inden for de specificerede grænser [7] .

$a+{1 \over a}\geqslant 2,$ hvor Ligestilling kun gælder for $a>0.$ $a=1.$
${\sqrt {ab}}\leqslant {a+b \over 2},$ hvor Betydning: den geometriske middelværdi af to tal ikke overstiger deres aritmetiske middelværdi . Ligestilling finder kun sted når $a,b>0.$ $a=b.$
Ulighed om midler
Bernoullis ulighed :

(1+x)^{n}\geqslant 1+nx,

hvor er et positivt tal større end 1.

x\geqslant -1,n

|a+b|\leqslant |a|+|b|

Se artiklen Absolut værdi for konsekvenserne af denne ulighed .

Ulighedstegn i programmeringssprog

"Ikke lige"-symbolet er skrevet forskelligt på forskellige programmeringssprog .

symbol	Sprog
!=	C , C++ , C# , Java , JavaScript , Perl , PHP , Python , Wolfram Language
<>	Basic , Pascal , 1C
~=	Lua
/=	Haskell , Fortran , Ada
#	Modula-2 , Oberon

Ulighedstegnkoder

symbol	billede	Unicode		russisk navn	HTML			LaTeX
symbol	billede	koden	titel	russisk navn	hexadecimal	decimal	mnemonics	LaTeX
<	$<$	U+003C	Mindre end tegn	Mindre	<	<	<	<, \tekstløs
>	$>$	U+003E	Større end tegn	Mere	>	>	>	>, \tekststørre
⩽	$\leqslant$	U+2A7D	Mindre end eller skrå lig med	Mindre eller lige	⩽	⩽	Ingen	\leqslant
⩾	$\geqslant$	U+2A7E	Større end eller skrå lig med	Mere eller lige	⩾	⩾	Ingen	\geqslant
≤	$\leq$	U+2264	Mindre end eller lig med	Mindre eller lige	≤	≤	≤	\le, \leq
≥	$\geq$	U+2265	Større end eller lig med	Mere eller lige	≥	≥	≥	\ge, \geq
≪	$\ll$	U+226A	Meget mindre end	Meget mindre	≪	≪	Ingen	\ll
≫	$\gg$	U+226B	Meget større end	Meget mere	≫	≫	Ingen	\gg

Se også

Sammenligning (programmering)

Noter

↑ 1 2 Uligheder // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 999.
↑ Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 177.
↑ Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 178.
↑ Elementær matematik, 1976 , s. 217-222.
↑ Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 180-181.
↑ Elementær matematik, 1976 , s. 212-213, 219-222.
↑ Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 174-176.

Litteratur

Beckenbach E.F. Uligheder. — M .: Mir, 1965.
Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik . — M .: Nauka, 1978.
- Genudgivelse: M.: AST , 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 s.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Hardy G. G., Littlewood D. I., Polia D. Uligheder. - M . : Udenlandsk litteratur, 1948.

Matematiske tegn

Plus ( + )
Minus ( - )
Multiplikationstegn ( · eller × )
Divisionstegn ( : eller / )
Obelus ( ÷ )
Rodtegn ( √ )
Faktoriel ( ! )
Integraltegn ( ∫ )
Nabla ( ∇ )
Lighedstegn ( = , ≈ , ≡ osv. )
Ulighedstegn ( ≠ , > , < osv. )
Proportionalitet ( ∝ )
Klameparenteser ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Lodret streg ( | )
Skråstreg, skråstreg ( / )
Omvendt skråstreg, omvendt skråstreg ( \ )
Uendelighedstegn ( ∞ )
Gradtegn ( ° )
Slagtilfælde ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Stjerne ( * )
Procent ( % )
Ppm ( ‰ )
Tilde ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflex ( ˆ)
Plus-minus ( ± )
Minus-plus tegn ( ∓ )
Decimalseparator ( , eller . )
Slut på bevistegn ( ∎ )