Bernoullis ulighed

Bernoullis ulighed siger [1] : hvis , så $x>-1$

(1+x)^{n}\geqslant 1+nx

for alle naturlige

n\geqslant 1.

Bevis

Beviset for uligheden udføres ved metoden matematisk induktion på n . For n = 1 er uligheden åbenbart sand. Lad os sige, at det er sandt for n , lad os bevise, at det er sandt for n +1:

(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geqslant (1+x)(1+nx)\geqslant (1+nx)+x =1+(n+1)x

h.t.d.

Generaliseret Bernoulli ulighed

Den generaliserede Bernoulli-ulighed siger [1] at for og : $x > -1 \!\$ $n\in\mathbb{R}$

hvis , så $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$ $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
hvis , så $n\in(0;1) \!\$ $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$
mens ligestilling opnås i to tilfælde: $\venstre[\begin{matrix} \forall x\neq -1, n=0, n=1 \\ \forall n\neq 0, x=0 \end{matrix}\right.$

Bevis

Overvej , og . Afledt ved , fordi . Funktionen er to gange differentierbar i et punkteret område af punktet . Derfor . Vi får: $f(x)=(1+x)^n-nx \!\$ $x>-1,n \neq 0, n \neq 1 \!\$
$f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0 \!\$ $x=x_0=0 \!\$ $n \nev 0 \!\$
$f\!\$ $x_0 \!\$ $f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2} \!\$

$f''(x)>0 \!\$ ⇒ kl $f(x)\geqslant f(x_{0})\!\$ $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$
$f''(x)<0 \!\$ ⇒ kl $f(x)\leqslant f(x_{0})\!\$ $n\in(0;1) \!\$

Værdien af funktionen , derfor er følgende udsagn sande: $f(x_0)=1 \!\$

hvis , så $n\in(-\infty ;0)\cup[1;+\infty )$ $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
hvis , så $n\in(0;1] \!\$ $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$

Det er let at se, at for de tilsvarende værdier af eller , funktionen . I dette tilfælde, i den endelige ulighed, forsvinder begrænsningerne på , givet i begyndelsen af beviset, da lighed gælder for dem. ■ $x_0=0 \!\$ $n=0, n=1 \!\$ $f(x)=f(x_0) \!\$ $n\!\$

Noter

Uligheden er også gyldig for (at ), hvis vi udelukker tilfældet, hvor nul opnås i potensen nul . Beviset for sagen kan udføres ved den samme metode til matematisk induktion: $x\geqslant-2$ $n\in\mathbb{N}_0$ $x\i\venstre[-2,-1\højre)$

(1+x)^{n+1}+(1+x)^{n}=(1+x)^{n}(1+x+1)\geqslant (1+nx)(1 +x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x).

Siden hvornår er tilfreds , så . $x\i\venstre[-2,-1\højre)$ $(1+x)^{n}\leqslant 1\leqslant 1+nx(1+x)$ $(1+x)^{n+1}\geqslant 1+(n+1)x$

Noter

↑ 1 2 Bronstein, Semendyaev, 1985 , s. 212.

Litteratur

Bronshtein IN , Semendyaev KA Håndbog i matematik for ingeniører og gymnasieelever . - udg. 13. - M. : Nauka, 1985. - 544 s.