Banach plads

Et Banach-rum er et normeret vektorrum , komplet med hensyn til den metrik , der genereres af normen . Hovedobjektet for undersøgelse af funktionel analyse .

Det er opkaldt efter den polske matematiker Stefan Banach (1892-1945), som systematisk studerede disse rum fra 1922.

Eksempler

Nogle eksempler på Banach-rum (herefter et af felterne eller er angivet med ): $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Euklidiske rum med den euklidiske norm defineret som Banach-rum. $K^n$ $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ $\|x\|={\sqrt {\sum |x_{i}|^{2}}}$
Rummet for alle kontinuerte funktioner defineret på et lukket interval vil være et Banach-rum, hvis vi definerer dets norm som . En sådan funktion ville være en norm, da kontinuerte funktioner på et lukket interval er afgrænset. Et rum med en sådan norm er komplet, og det resulterende Banach-rum er betegnet som . Dette eksempel kan generaliseres til rummet for alle kontinuerte funktioner , hvor er et kompakt rum , eller til rummet for alle afgrænsede kontinuerte funktioner , hvor er ethvert topologisk rum , eller endda til rummet for alle afgrænsede funktioner , hvor er ethvert sæt . I alle disse eksempler kan vi multiplicere funktioner, mens vi forbliver i det samme rum: alle disse eksempler er Banach-algebraer . $f\kolon [a,\;b]\til K$ $[a,\;b]$ $\|f\|=\sup\{|f(x)|\kolon x\i [a,\;b]\}$ $C[a,b]$ $C(X)$ $X\ til K$ $x$ $X\ til K$ $x$ $B(X)$ $X\ til K$ $x$
Hvis er et reelt tal, så er rummet af alle uendelige sekvenser af elementer fra sådan, at rækken konvergerer Banach med hensyn til normen lig med magtroden af summen af denne række, og er betegnet med . $p\geqslant 1$ $(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;\ldots )$ $K$ $\sum |x_{i}|^{p}$ $s$ $l^{p}$
Banach rum består af alle afgrænsede sekvenser af elementer fra ; normen for en sådan sekvens er defineret som den nøjagtige øvre grænse for de absolutte værdier (moduler) af elementerne i sekvensen. $l^{\infty }$ $K$
Igen, hvis er et reelt tal, kan vi overveje alle funktioner, der er Lebesgue-integrerbare (og graden af deres modul kan også summeres). Roden af graden af dette integral af den th grad af modulets funktion er defineret som en seminorm . Dette sæt er ikke et Banach-rum, da der er funktioner, der ikke er nul, hvis norm vil være lig med nul. Vi definerer en ækvivalensrelation som følger: og er ækvivalente, hvis og kun hvis forskellen seminorm er lig med nul. Sættet af ækvivalensklasser med hensyn til denne relation er allerede et Banach-rum; det er betegnet som . Det er vigtigt at bruge Lebesgue-integralet , ikke Riemann-integralet , da Riemann-integralet ikke genererer et komplet rum. Disse eksempler kan generaliseres. Se for eksempel L p -mellemrum . $p\geqslant 1$ $s$ $s$ $s$ $f$ $f$ $g$ $fg$ $L^{p}[a,\;b]$
Hvis og er Banach-rum, så kan vi sammensætte deres direkte sum , som igen er et Banach-rum. Man kan også generalisere dette eksempel til en direkte sum af et vilkårligt stort antal Banach-rum. $x$ $Y$ $X\plus Y$
Hvis er et lukket underrum af et Banach-rum , så er kvotientrummet igen et Banach-rum. $M$ $x$ $X/M$
Ethvert Hilbert-rum er også et Banach-rum. Det omvendte er ikke sandt.
Hvis og er Banach-mellemrum over ét felt , så er sættet af kontinuerlige -lineære afbildninger angivet med . Bemærk, at i uendelig-dimensionelle rum er ikke alle lineære afbildninger automatisk kontinuerlige. er et vektorrum, og, hvis normen er givet som , er det også et Banach-rum. $V$ $W$ $K$ $K$ $A\kolon V\til W$ $L(V,\;W)$ $L(V,\;W)$ $\|A\|=\sup\{\|Ax\|\kolon x\i V,\;\|x\|\leqslant 1\}$
- Rummet er en
enhedsbaseret Banach-algebra ; operationen af multiplikation i det er defineret som en sammensætning af lineære afbildninger. $L(V)=L(V,\;V)$

Typer af Banach mellemrum

Litteratur

I. M. Vinogradov. Banach space // Mathematical Encyclopedia. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1977-1985. (Russisk)// Matematisk encyklopædi / Kap. udg. I. M. Vinogradov. - M .: Soviet Encyclopedia, 1977-1985.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	J9U : 987007282589705171 LCCN : sh85011441 NDL : 00560500 NKC : ph117384