Atomar funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. december 2016; checks kræver 6 redigeringer .

En atomfunktion er en endelig løsning af en funktionel-differentialligning af formen

L\,y(x)=\sum _{k=1}^{M}c_{k}y(ax-b_{k}),

hvor er en lineær differentialoperator med konstante koefficienter; koefficienter , og [1] [2] . $L$ $a,b_{k},c_{k}\in \mathbb {R}$ $|a|>1$

Atomfunktion op( x )

Den enkleste atomfunktion (læs: "en fra " [3] ) er en endelig uendeligt differentierbar løsning af den funktionelle differentialligning $\operatørnavn {op} (x)$ $x$

{\frac {1}{2}}\,y'(x)=y(2x+1)-y(2x-1)

med støtte , der opfylder normaliseringsbetingelsen (det er bevist, at denne løsning eksisterer og er unik under den specificerede normalisering) [4] . $\operatørnavn {supp} \operatørnavn {up} (x)=(-1,1),$ $\operatorname {up} (0)=1$

Fouriertransformationen af funktionen har formen $\operatørnavn {op} (x)$

{\hat {\operatørnavn {up} }}(t)=\prod _{k=1}^{\infty }\operatørnavn {sinc} {\frac {t}{2^{k}}} ,

hvor er sinc-funktionen . $\operatornavn {sinc} =\sin {x}/x$

Funktionen er lige, øges på intervallet , falder på intervallet, og dens graf begrænser enhedsarealet over x-aksen. Desuden kl . Heltalsforskydninger danner således en partition af enhed : $\operatørnavn {op} (x)$ $[-1,\;0]$ $[0,\;1],$ $\operatørnavn {op} (1-x)=1-\operatørnavn {op} (x)$ $x\in [0,\;1]$ $\operatørnavn {op} (x)$

\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatørnavn {up} (xj)\equiv 1.

Værdier ved dyadiske rationelle punkter i formen er rationelle tal . Funktionen er ikke analytisk på noget tidspunkt, hvor den understøttes. For at beregne det, kan du ikke bruge Taylor-serien , men der er specielle typer af hurtigt konvergerende serier tilpasset sådanne beregninger. Udvidelser i Fourier-serien , serier i form af Legendre , Bernstein -polynomier osv. bruges også. $\operatørnavn {op} (x)$ $2^{-n}k$ $\operatørnavn {op} (x)$ $\operatørnavn {op} (x)$

Atomfunktioner er uendeligt delbare, det vil sige, de kan repræsenteres som en lineær kombination af skift-kompressioner af endelige funktioner med en vilkårlig længde af støtte (fraktionelle komponenter), og kan betragtes som analoger til B-splines med uendelig glathed, som såvel som wavelets ' ideologiske forgængere . Gode approksimative egenskaber for funktionen er baseret på det faktum, at man ved at bruge en lineær kombination af skift-sammentrækninger kan repræsentere et algebraisk polynomium af enhver grad. $\operatørnavn {op} (x)$ $\operatørnavn {op} (x)$

Atomfunktioner h a ( x ), perfekte splines

Atomfunktioner (for ) er en generalisering af funktionen . De tilsvarende funktionelle differentialligninger har formen $\operatørnavn {h} _{a}(x)$ $a>1$ $\operatørnavn {op} (x)$

{\frac {2}{a^{2}}}y'(x)=y(ax+1)-y(ax-1).

Fourier-transformationen af en funktion har således formen $\operatørnavn {op} (x)\equiv \operatørnavn {h} _{2}(x).$ $\operatørnavn {h} _{a}(x)$

{\hat {\operatørnavn {h} _{a}}}(t)=\prod _{n=1}^{\infty }\operatørnavn {sinc} {\frac {t}{a^{ n}}},

derfor er funktionerne uendelige foldninger af de karakteristiske funktioner af intervaller ( rektangulære funktioner ), hvis bredder aftager eksponentielt . Hvis vi i det sidste udtryk begrænser os til et begrænset antal led af det uendelige produkt , opnår vi Fourier-transformationen af perfekte splines med et tilbagevendende funktionelt-differentiel udtryk $\operatørnavn {h} _{a}(x)$ $M$ $\operatørnavn {h} _{a,M}(x)$

{\frac {2}{a^{2}}}\operatørnavn {h} '_{a,M}(x)=\operatørnavn {h} _{a,M-1}(ax+1 )-\operatørnavn {h} _{a,M-1}(ax-1).

Generaliseret Kotelnikovs teorem

Nullerne i Fourier-transformationerne af funktionerne er placeret på en regelmæssig måde ved punkterne . I denne henseende kan enhver kontinuerlig funktion med et begrænset spektrum udvides til en serie $\operatørnavn {h} _{a}(x)$ $a\pi n$ $(n\neq 0)$ $f(x)$ $(\operatørnavn {supp} {\hat {f}}=[-\Omega ,\Omega ])$

f(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k\Delta ){\hat {\operatørnavn {h} _{a))}\venstre[{\frac {a\pi }{\Delta }}(xk\Delta )\right],

hvor [5] . $a>2,\ 0<\Delta \leq \pi (a-2)/\Omega (a-1)$

Denne formel generaliserer Kotelnikovs velkendte teorem [5] ; det blev først foreslået af V. F. Kravchenko og V. A. Rvachev [6] , og senere udviklet af E. G. Zelkin , V. F. Kravchenko og M. A. Basarab [7] .

Historie og udvikling

Atomfunktioner blev først introduceret i [8] i 1971. Omstændighederne for funktionens fremkomst er relateret til det problem, der blev stillet i 1967 af V. L. Rvachev og løst af V. A. Rvachev : at finde en så finit differentierbar funktion, at dens graf ville ligne en "pukkel" med et stignings- og et faldsegment, og grafen dens afledte ville bestå af en "pukkel" og en "pit", og sidstnævnte ville ligne "pukkelen" af selve funktionen, dvs. ville repræsentere - op til en skalafaktor - en forskudt og komprimeret kopi af grafen for den oprindelige funktion [9] . $\operatørnavn {op} (x)$

Resultaterne af den indledende fase af udviklingen af teorien om atomfunktioner er præsenteret i arbejdet af V. A. Rvachev "Atomfunktioner og deres anvendelse" [10] . Den giver en detaljeret gennemgang af værker om teorien om atomfunktioner, bragt op til 1984, en liste over uløste problemer i teorien om atomfunktioner, som i vid udstrækning bestemte retningen for yderligere forskning.

På nuværende tidspunkt er atomfunktioner meget udbredt inden for tilnærmelsesteori , numerisk analyse , digital signalbehandling , wavelet-analyse og andre områder. En stor cyklus af værker om teori og anvendelser af atomare funktioner i forskellige fysiske anvendelser blev udgivet af V. F. Kravchenko og repræsentanter for hans videnskabelige skole [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [ 18] [19] [20] [21] [22] [23] .

Se også

Noter

↑ Rvachev og Rvachev, 1979 , s. 110.
↑ Kravchenko, 2003 , s. 17.
↑ Tikhomirov, 1987 , s. 202-203.
↑ Rvachev V. L. . Teori om R -funktioner og nogle af dens anvendelser. - Kiev: Naukova Dumka , 1982. - S. 383. - 552 s.
↑ 1 2 Kravchenko, 2003 , s. 90-92.
↑ Kravchenko V. F., Rvachev V. A. Anvendelse af atomære funktioner i interpolationsproblemer // Elektromagnetiske bølger og elektroniske systemer. - 1998. - V. 3, nr. 3 . - S. 16-26 .
↑ Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Basarab M. A. Interpolation af signaler med et begrænset spektrum ved hjælp af Fourier-transformationer af atomfunktioner og dets anvendelse i antennesynteseproblemer // Radioteknik og elektronik. - 2002. - T. 47, nr. 4 . - S. 461-468 .
↑ Rvachov V. L., Rvachov V. O. Om en endelig funktion // DAN URSR. Ser. A. - 1971. - Nr. 8 . - S. 705-707 .
↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V., Pustovoit V. I., Churikov D. V. Atomfunktioner og WA -systemer og funktioner i moderne problemer med radiofysik og teknologi // Elektromagnetiske bølger og elektroniske systemer. - 2011. - T. 16, nr. 9 . - S. 7-32 .
↑ Rvachev V. A. . Atomfunktioner og deres anvendelser // Stoyan Yu. G., Protsenko V. S., Manko G. P. et al. Teori om R -funktioner og faktiske problemer i anvendt matematik. - Kiev: Naukova Dumka , 1986. - S. 45-65. — 264 s.
↑ Basarab M. A., Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Yakovlev V. P. . Digital signalbehandling baseret på Whittaker-Kotelnikov-Shannon-sætningen. - M . : Radioteknik, 2004. - 72 s. — ISBN 5-93108-064-3 .
↑ Kravchenko V. F., Rvachev V. L. . Algebra af logik, atomfunktioner og wavelets i fysiske applikationer. — M .: Fizmatlit , 2006. — 416 s. — ISBN 5-9221-0752-6 .
↑ Digital signal- og billedbehandling i radiofysiske applikationer / Red. V. F. Kravchenko. — M .: Fizmatlit , 2007. — 544 s. - ISBN 978-5-9221-0871-3 .
↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. . Metoder til modellering og digital signalbehandling i gyroskopi. — M .: Fizmatlit , 2008. — 248 s. — ISBN 978-5-9221-0809-6 .
↑ Volosyuk V.K., Kravchenko V.F. . Statistisk teori om radiotekniske systemer til fjernmåling og radar / Ed. V. F. Kravchenko. — M .: Fizmatlit , 2008. — 704 s. - ISBN 978-5-9221-0895-9 .
↑ Kravchenko V. F., Labunko O. S., Lerer A. M., Sinyavsky G. P. . Beregningsmetoder i moderne radiofysik / Ed. V. F. Kravchenko. — M .: Fizmatlit , 2009. — 464 s. — ISBN 978-5-9221-1099-0 .
↑ Volosyuk V. K., Gulyaev Yu. - 2014. - T. 59, nr. 2 . - S. 109-131 .
↑ Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V. Anvendelse af familier af atomare, WA -systemer og R - funktioner i moderne problemer inden for radiofysik. Del I // Radioteknik og elektronik. - 2014. - T. 59, nr. 10 . - S. 949-978 .
↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V., Pustovoit V. I., Churikov D. V., Yurin A. V. Anvendelse af familier af atomare, WA -systemer og R - funktioner i moderne problemer inden for radiofysik. Del II // Radioteknik og elektronik . - 2015. - T. 60, nr. 2 . - S. 109-148 .
↑ Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V. Anvendelse af familier af atomare, WA -systemer og R - funktioner i moderne problemer inden for radiofysik. Del III // Radioteknik og elektronik. - 2015. - T. 60, nr. 7 . - S. 663-694 .
↑ Kravchenko V. F., Konovalov Ya. Yu., Pustovoit V. I. Familier af atomfunktioner cha n (x) og fup n (x) i digital signalbehandling // Dokl. - 2015. - T. 462, nr. 1 . - S. 35-40 .
↑ Kravchenko V. F., Churikov D. V. Digital signalbehandling ved atomfunktioner og wavelets. - M .: Technosphere, 2019. Yderligere udgave. 182 s. ISBN 978-5-94836-506-0 .
↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V. Konstruktive metoder til algebra af logik, atomfunktioner, wavelets, fraktaler i problemer med fysik og teknologi. — M.: Technosfera, 2018. 696 s. ISBN 978-5-94836-518-3 .

Litteratur

Rvachev VL , Rvachev VA Ikke-klassiske metoder til tilnærmelsesteori i grænseværdiproblemer. - Kiev: Naukova Dumka , 1979. - 196 s.
Stoyan Yu. G., Protsenko V. S., Manko G. P. et al. Teori om R -funktioner og faktiske problemer i anvendt matematik. - Kiev: Naukova Dumka , 1986. - 264 s.
Tikhomirov V. M. Tilnærmelsesteori // Moderne matematikproblemer. grundlæggende retninger. - M. : VINITI AN SSSR , 1987. - T. 14. - 272 s. - S. 103-260.
Kravchenko VF Forelæsninger om teorien om atomfunktioner og nogle af deres anvendelser. - M . : Radioteknik, 2003. - 512 s. — ISBN 5-93108-019-8 .