Enhed opdelt

Opdeling af en enhed er en konstruktion, der bruges i topologi for at gøre det nemmere at arbejde med en manifold som med et sæt kort .

Partitioneringsenhed bruges til at definere især integralet af en differentialform på en manifold.

Konstruktion

Lad en åben afdækning af et topologisk rum med åbne sæt gives . En partition af enhed underordnet en dækning er et sæt af ikke-negative kontinuerlige reelle funktioner på , som har følgende egenskaber: $M$ $D_{\alpha }$ $\{D_{\alpha }}\}$ ${\displaystyle f_{\beta ))$ $M$

$0\leqslant f_{\beta }\leqslant 1.$
Bæreren for hver af funktionerne er fuldstændig indeholdt i et af sættene . ${\displaystyle f_{\beta ))$ $D_{\alpha }$
For ethvert punkt , vi har (det vil sige for ethvert for højst et tælleligt sæt funktioner , rækken , hvor konvergerer til 1, er også forskellig fra nul . Denne serie konvergerer absolut, så summen af rækken afhænger ikke af rækkefølgen af vilkårene). $x\i M$ ${\displaystyle \sum _{\beta }{f_{\beta }(x)=1))$ $x\i M$ $f_{\beta }(x)$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{f_{\beta _{i}}(x)))$ ${\displaystyle \{\beta _{1},\beta _{2},...\}=\{\beta :f_{\beta}(x)\neq 0\))$

Hvis der på et eller andet tidspunkt eksisterer et kvarter , således at skæringspunktet ikke er tomt for højst et endeligt antal indekser , så siges en sådan enhedsdeling at være lokalt endelig . $x\i M$ $W\ni x$ ${\displaystyle W\cap \mathrm {supp} \,f_{\beta ))$ $\beta$

Egenskaber

For ethvert åbent dæksel af et parakompakt T 1 -rum eksisterer der en lokalt begrænset partition af enhed underordnet den. Omvendt, hvis der for en åben dækning af et -rum eksisterer en enhedsdeling underordnet det, så er dette rum parakompakt. $T_{1}$
For ethvert åbent dækselmanifold eksisterer der en endelig eller tællig lokalt finit partition af enhed underordnet dækslet, bestående af funktioner i klassen . $C^\infty$ $C^\infty$

Litteratur

Engelking R. Generel topologi / oversat af M.Ya.Antonovsky og A.V.Arkhangelsky. — M .: Mir, 1986. — 752 s.

J. de Ram. Differentierbare manifolder / oversættelse af D.A. Vasilkov. - M . : udenlandsk litteratur, 1956. - 250 s.