Udstiller

Eksponenten er en eksponentiel funktion , hvor er Euler-tallet . $f(x)=\exp(x)=e^{x}$ $e\approx 2{,}718$

Definition

Den eksponentielle funktion kan defineres på forskellige ækvivalente måder. For eksempel gennem Taylor-serien :

e^{x}=1+\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2! }+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots

eller over grænsen :

e^{x}=\lim _{{n\højrepil \infty }}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

Her er et hvilket som helst komplekst tal . $x$

Begrebets oprindelse

Ordet udstiller kommer af lat. " exponere", som oversættes som " fremstillet; vise ", som igen kommer fra lat. præfikser " ex-" ("forud") og lat. ordene " ponere" ("sætte, arrangere"); [1] Betydningen af at bruge et sådant ord for eksponenten er, at eksponentens tegn er "placeret uden for" den sædvanlige skrivelinje (lidt over og til højre for det sted, hvor figuren normalt skal placeres). $a^{x}$

Egenskaber

$(e^{x})'=e^{x}$ , og i særdeleshed er eksponentialet den eneste løsning af en differentialligning med initialdata . Derudover er de generelle løsninger af homogene differentialligninger udtrykt i form af eksponential . $y'=y$ $y(0)=1$
Eksponenten er defineret på hele den reelle akse. På den stiger eksponenten overalt og er strengt taget større end nul.
Eksponenten er en konveks funktion .
Den omvendte funktion til det er den naturlige logaritme . $(\ln x)$
Fourier-transformationen af eksponenten er en generaliseret funktion , nemlig Dirac delta-funktionen .
Laplace-transformationen af eksponentialet er defineret i domænet . $e^{ax}$ $\operatørnavn {Re} (x)<a$
Den afledte ved nul er , så tangenten til eksponenten på dette punkt passerer i en vinkel eller . $en$ ${\displaystyle 45^{\circ ))$ ${\frac {\pi }{4))$
Eksponentens hovedfunktionelle egenskab såvel som enhver eksponentiel funktion: $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$ .
- En kontinuerlig funktion med denne egenskab er enten identisk lig med eller har formen , hvor er en konstant. $0$ $\exp(cx)$ $c$

$e^{x}=\operatørnavn {sh} x+\operatørnavn {ch} x$ , hvor og er hyperbolsk sinus og cosinus . $\operatørnavn {sh}$ $\operatørnavn {ch}$

Kompleks eksponent

Den komplekse eksponent er en matematisk funktion givet af relationen , hvor er et komplekst tal . Den komplekse eksponent er defineret som den analytiske fortsættelse af eksponenten af en reel variabel : $f(z)=e^{z}$ $z$ $f(x)=e^{x}$ $x$

Lad os definere et formelt udtryk

e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}\cdot e^{{iy}}

Udtrykket defineret på denne måde på den reelle akse vil falde sammen med den klassiske reelle eksponent. For fuldstændig korrekthed af konstruktionen er det nødvendigt at bevise funktionens analyticitet , det vil sige at vise, at den udvider sig til nogle serier, der konvergerer til denne funktion. Lad os vise det: $e^{z}$ $e^{z}$

f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{{iy}}=e^{{iy}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\ frac {x^{n}}{n!}}

Konvergensen af denne serie er let bevist:

\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}\right|\leq \left|\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac { x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{ | x|}

Serien konvergerer absolut overalt , det vil sige, den konvergerer overalt generelt, således vil summen af denne serie på hvert specifikt punkt bestemme værdien af den analytiske funktion . Ifølge unikhedssætningen vil den resulterende udvidelse være unik, derfor er funktionen på det komplekse plan overalt defineret og analytisk. $f(z)=e^{z}$ $e^{z}$

Egenskaber

Den komplekse eksponent er en hel holomorf funktion på hele det komplekse plan . På intet tidspunkt forsvinder det.
$e^{z}$ er en periodisk funktion med hovedperioden 2 π i : . I kraft af periodicitet er den komplekse eksponent uendelig -arkformet . Som sin univalensregion kan du vælge en hvilken som helst vandret strimmel med en højde på . $e^{{i\varphi }}=e^{{i(\varphi +2\pi )}}$ $2\pi$
$e^{z}$ - den eneste funktion op til en konstant faktor, hvis afledte (og følgelig antiafledte ) falder sammen med den oprindelige funktion.
Algebraisk kan eksponenten af et komplekst argument defineres som følger: $z=x+iy$ $e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}e^{{iy}}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)$ ( Eulers formel ).
- Især Euler-identiteten har : $e^{i\pi }+1=0.$

Variationer og generaliseringer

På samme måde er eksponenten defineret for et element i en vilkårlig associativ algebra . I et bestemt tilfælde kræves der også bevis for, at disse grænser eksisterer.

Matrixeksponent

Eksponenten af en kvadratisk matrix (eller en lineær operator ) kan formelt defineres ved at substituere matrixen i den passende række:

\exp A=\sum _{{k=0}}^{{\infty }}{\frac {A^{k}}{k!}}.

Serien defineret på denne måde konvergerer for enhver operator med en afgrænset norm, da den er domineret af en række for normens eksponent . Derfor er eksponenten af en matrix altid defineret og er i sig selv en matrix. $EN$ $A\colon$ $\exp\|A\|.$ $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$

Ved hjælp af matrixeksponenten er det let at specificere formen for løsningen af en lineær differentialligning med konstante koefficienter : ligningen med startbetingelsen har sin løsning ${\dot x}=Ax,~~~x\in {\mathbb R}^{n}$ $x(0)=x_{0}$ $x(t)=\exp(At)x_{0}.$

h -eksponent

Introduktionen af -eksponenten er baseret på den anden bemærkelsesværdige grænse : $h$

e_{{h}}(x)=(1+h)^{{\frac {x}{h}}}.

Ved , opnås den sædvanlige eksponent [2] . $h\ til 0$

Invers funktion

Den inverse funktion til den eksponentielle funktion er den naturlige logaritme . Udpeget : $\ln x$

\ln x=\log _{{e}}x.

Se også

Noter

Litteratur

Lavrent'ev M. A., Shabat B. V. Metoder til teorien om funktioner af en kompleks variabel. - 5. udgave, revideret. — M.: Nauka, 1987. — 688 s.
Khaplanov M. G. Teori om funktionen af en kompleks variabel (kort forløb). - 2. udgave, revideret. - M .: Uddannelse, 1965. - 209 s.

Udstiller

Definition

Begrebets oprindelse

Egenskaber

Kompleks eksponent

Egenskaber

Variationer og generaliseringer

Matrixeksponent

h -eksponent

Invers funktion

Se også

Noter

Litteratur

Links