Rent imaginært tal

... (valgt fragment gentages på ubestemt tid)
i −3 = i
i -2 = -1
i −1 = − i
i 0 = 1
i 1 = i
i 2 = −1
i 3 = − i
i 4 = 1
i 5 = i
i 6 = −1
i n = i m hvor m ≡ n mod 4

Et rent imaginært tal er et komplekst tal med nul reel del . Nogle gange kaldes kun sådanne tal imaginære tal, men udtrykket bruges også til at henvise til vilkårlige komplekse tal med en imaginær del, der ikke er nul [1] . Udtrykket "imaginært tal" blev foreslået i det 17. århundrede af den franske matematiker René Descartes [2] , oprindeligt havde dette udtryk en nedsættende betydning, da sådanne tal blev betragtet som fiktive eller ubrugelige, og først efter værker af Leonhard Euler og Carl Gauss vandt dette koncept anerkendelse i det videnskabelige samfund.

Definitioner

Lade være et komplekst tal, hvor og er reelle tal . Tal eller og eller kaldes henholdsvis reelle og imaginære (svarende til engelsk reelle, imaginære ) dele . $z=x+iy$ $x$ $y$ $x=\Re(z)$ $\operatørnavn {Re}~z$ $y=\Im (z)$ $\operatørnavn {Im}~z$ $z$

Hvis , så kaldes et rent imaginært tal. $x=0$ $z$
Hvis , så er et reelt tal . $y=0$ $z$

Historie

Den antikke græske matematiker og ingeniør Heron of Alexandria [3] [4] var den første til at nævne imaginære tal i sine værker , men reglerne for udførelse af aritmetiske operationer (især multiplikation ) på dem blev indført af Raphael Bombelli i 1572 . Bombellis koncept går forud for lignende arbejde af Gerolamo Cardano . I det 16.-17. århundrede blev imaginære tal af det meste af det videnskabelige samfund betragtet som fiktive eller ubrugelige (svarende til hvordan begrebet nul blev opfattet i sin tid ). Især Rene Descartes, der nævner imaginære tal i sit grundlæggende værk " Geometry ", brugte udtrykket "imaginært" i en nedsættende betydning [5] [6] . Brugen af imaginære tal blev ikke udbredt før Leonhard Eulers (1707-1783) og Carl Friedrich Gauss (1777-1855) arbejde. Den geometriske betydning af komplekse tal som punkter på et plan blev først beskrevet af Kaspar Wessel (1745-1818) [7] .

I 1843 udvidede den irske matematiker William Hamilton ideen om en akse af imaginære tal i planet til et firedimensionalt quaternion -rum , hvor tre dimensioner er analoge med de imaginære tal i et komplekst felt.

Med udviklingen af begrebet ringen af polynomier i teorien om faktorringe , fik begrebet et imaginært tal mere mening og blev videreudviklet i begrebet j - bikomplekse tal , hvis kvadrat er lig med +1 . Denne idé dukkede op i et papir fra 1848 af den engelske matematiker James Cockle 8] .

Geometrisk fortolkning

I det komplekse talplan er de imaginære tal på en lodret akse vinkelret på den reelle talakse . En måde at fortolke imaginære tal geometrisk på er at overveje standard tallinjen , hvor positive tal er til højre og negative tal er til venstre. Gennem punktet 0 på x -aksen kan y -aksen tegnes med den "positive" retning opad; "positive" imaginære tal stiger i størrelse opad, mens "negative" imaginære tal stiger i størrelse nedad. Denne lodrette akse kaldes ofte den "imaginære akse" og betegnes i ℝ , , eller ℑ . $\scriptstyle \mathbb {I}$

I denne repræsentation svarer multiplikation med -1 til en rotation på 180 grader fra origo. Multiplikation med i svarer til en 90 graders rotation i den "positive" retning (dvs. mod uret), og ligningen i 2 = −1 tolkes til at sige, at hvis vi anvender to 90 graders rotationer om origo, er resultatet en rotation 180 grader. Men en 90 graders drejning i den "negative" retning (dvs. med uret) opfylder også denne fortolkning. Dette afspejler det faktum, at − i også er en løsning til ligningen x 2 = −1 . Generelt er multiplikation med et komplekst tal analogt med at rotere omkring oprindelsen af argumentet for det komplekse tal og derefter skalere efter dets størrelse.

Kvadratrødder af negative tal

Man skal være forsigtig, når man arbejder med imaginære tal, som er de vigtigste værdier af kvadratrødderne af negative tal . For eksempel sådan matematisk sofisme : [9]

6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)))\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)( 3i)=6i^{2}=-6.

Nogle gange er det skrevet sådan:

-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (sofisme) }}{=}}{\sqrt {(- 1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.

En lignende matematisk sofisme opstår, når variablerne i lighed ikke har de tilsvarende begrænsninger. I dette tilfælde svigter ligheden, fordi begge tal er negative. Dette kan vises som ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

{\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}} {\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},

hvor både x og y er ikke-negative reelle tal.

Se også

Noter

↑ Kompleks tal // " Mathematical Encyclopedia " / Chefredaktør I. M. Vinogradov. - M . : "Sovjetisk Encyklopædi", 1982. - T. 3. - S. 708. - 1183 s. - (51 [03] M34).
↑ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe. Matematisk analyse : Approksimation og diskrete processer . — illustreret. - Springer Science & Business Media , 2004. - S. 121. - ISBN 978-0-8176-4337-9 . Uddrag af side 121
↑ Hargittai, István. Femdobbelt symmetri (neopr.) . — 2. - World Scientific , 1992. - S. 153. - ISBN 981-02-0600-3 .
↑ Roy, Stephen Campbell. Komplekse tal : gittersimulering og zetafunktionsapplikationer . - Horwood, 2007. - S. 1. - ISBN 1-904275-25-7 .
↑ René Descartes, Discourse de la Méthode ... (Leiden, (Holland): Jan Maire, 1637), citeret bog: Geometry , bog 3, s. 380. Fra side 380: “Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Ligning; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." ("Desuden er både sande rødder og falske [rødder] ikke altid rigtige; men nogle gange er der kun imaginære [tal]; det vil sige, i hver ligning kan man altid repræsentere så mange, som jeg sagde; men nogle gange er der ikke en sådan størrelsesorden , hvilket svarer til, hvad man kan forestille sig, ligesom i denne [ligning], x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, hvor kun én rod er reel og er lig med 2, og i forhold til de to andre, selvom en stiger, eller reducerer eller multiplicerer dem på den måde, jeg lige har forklaret, ingen kan gøre dem anderledes end de imaginære [værdier].")
↑ Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8 .
↑ Rozenfeld, Boris Abramovich. Kapitel 10 // En historie om ikke-euklidisk geometri: udvikling af begrebet et geometrisk rum (engelsk) . - Springer, 1988. - S. 382. - ISBN 0-387-96458-4 .
↑ Cockle, James (1848) "On Certain Functions Simple Quaternions and on a New Imaginary in Algebra", London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine , serie 3, 33:435-9 og Cockle (1849) "On a New Imaginary in Algebra ”, Filosofisk Tidsskrift 34:37-47
↑ Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of "i" [kvadratroden af minus en ] . - Princeton University Press , 2010. - S. 12. - ISBN 978-1-4008-3029-9 . Uddrag af side 12

Litteratur

Fikhtengolts G.M. Forløb af differential- og integralregning. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. 2. - 810 s.
Nahin, Paul. En imaginær fortælling: historien om kvadratroden af −1 (engelsk) . - Princeton: Princeton University Press , 1998. - ISBN 0-691-02795-1 .

Links

Hvordan kan man vise, at imaginære tal virkelig eksisterer? (Engelsk)
I vor tid : Fantasifulde tal
5-talsprogram 4
Hvorfor bruge imaginære tal? (Engelsk)

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4588957-0