Matematisk sofisme

Matematisk sofisme (fra græsk σόφισμα - et trick, en snedig opfindelse, et puslespil [1] ) er en fejlagtig matematisk udsagn opnået ved hjælp af ræsonnementer, der virker korrekte, men i virkeligheden indeholder en eller anden fejl [2] . Årsagerne til fejlen kan variere - brugen af handlinger forbudt i matematik (for eksempel division med nul ), unøjagtig brug af matematiske love eller brug uden for zonen for deres anvendelighed, logiske fejl osv.

Matematisk sofisme er et særligt tilfælde af sofisme . Yderligere i denne artikel taler vi kun om matematiske sofismer, som for korthedens skyld blot vil blive kaldt sofismer. Sofismer må ikke forveksles med videnskabelige paradokser (for eksempel Zenos aporier , fødselsdagsparadokset eller Banach-Tarski-paradokset ), som ikke indeholder fejl og ofte har betydelig videnskabelig værdi [2] .

Analysen af sofismer, søgen efter fejl i dem er ekstremt værdifulde i undervisningen i matematik [3] , de hjælper elever og studerende med at danne en klar forståelse af matematiske og logiske love og advarer også mod mulige typiske fejl i applikationen af disse love [2] [4] .

Historie

Proclus Diadochus (5. århundrede e.Kr.) sagde i sine kommentarer til Euklids "principper" , at selv Euklid i det 3. århundrede f.Kr. e. udarbejdet en samling af matematiske sofismer for at hjælpe elever i geometri; samlingen hed " Pseudariya " og har ikke overlevet den dag i dag. Formålet med sofismer er ifølge Proclus at lære eleverne at opdage fejl i ræsonnementet og undgå dem i fremtiden [4] .

I fremtiden, frem til i dag, inkluderer pædagogisk litteratur såvel som samlinger af underholdende matematik ofte sofismer med opgaven "find fejlen", på grundlag af hvilke matematiske regler forklares og læsernes viden kontrolleres.

Klassifikation af sofismer

Der er flere muligheder for at gruppere sofismer - nogle forfattere grupperer dem efter typen af matematiske emner, andre efter typen af fejl i ræsonnementet, og andre kombinerer begge tilgange i en eller anden form.

Den russiske lærer V. I. Obreimov foreslog at opdele sofismer efter typen af fejlagtigt resultat [5] :

De uliges lighed.
Liges ulighed.
Mindre overstiger mere.
Geometriske uoverensstemmelser.
Det imaginære er reelt (fejl i ræsonnement om komplekse tal ).
Uløselige ligninger.

Denne klassifikation er blevet kritiseret for det faktum, at materialet samler forskellige dele af matematikken for den samme fejl, hvilket er metodisk forkert, og desuden er klassifikationsegenskaberne ikke signifikante nok [6] .

Den tyske matematiker Hermann Schubert overvejede fire typer sofismer ("Matematisk underholdning og spil", 1897) [6] :

Division med nul .
Kvadratrodens flertydighed .
Fejl i geometriske konstruktioner.
Forkert arbejde med uendelighed.

Bogen af V. M. Bradis og andre bemærker den åbenlyse ufuldstændighed af denne liste og tilbyder sin egen [7] :

Forkert tale.
Udvidelse til ekstraordinære tilfælde (f.eks. division med nul).
Tildeling af egenskaber for en bestemt art til hele slægten. For eksempel kan begge sider af en ulighed reduceres med en fælles positiv faktor, men hvis faktoren er negativ, er det vigtigt at huske at vende fortegnet på uligheden.
Forkert anvendelse af princippet om øjeblikkelig slutning ved konvertering. For eksempel indebærer ligheden af tal ligheden af deres kvadrater, men det omvendte er ikke sandt.
Substitution af nøjagtige definitioner med geometrisk intuition.
bygge fejl,
Fejl som følge af den bogstavelige fortolkning af den forkortede (betingede) formulering af nogle geometriske udsagn.
Overtrædelse af betydningen af betingede optegnelser.
Afhandling unddragelse , dvs. bevise en anden påstand end den oprindeligt anførte.

Selve materialet af sofismer i Bradis og andres bog præsenteres strengt efter emne: aritmetik, algebra, geometri, trigonometri , omtrentlige beregninger . Denne artikel overholder også den tematiske opdeling af materialet som det mest bekvemme for lærere og elever.

Elementær matematik

Algebra

Division med nul

Sofisme . Lad være vilkårlige tal. Vi betegner deres forskel med et bogstav , det vil sige, Vi multiplicerer denne lighed med Åbn parenteserne: Dernæst grupperer vi monomierne som følger: eller: $a,b$ $c,$ $ab=c.$ $ab\colon \quad (ab)^{2}=c(ab).$ $a^{2}-2ab+b^{2}=ca-cb.$ $a^{2}-ab-ac=ab-b^{2}-bc,$

a(abc)=b(abc).

Reducerer med får vi: det vil sige, at alle tal er lige store. $abc,$ $a=b,$

Årsag til fejlen : da vi ikke har ret til at reducere med , fordi dette udtryk er lig med nul, og det er umuligt at reducere (det vil sige dividere) med nul [8] . $ab=c,$ $abc,$

Division med nul er en af de mest almindelige algebraiske fejl, og denne division kan for eksempel skjules ved at reducere den fælles faktor. For eksempel ved at reducere ligningen til at vi mister roden . En anden sofisme er ligningen: $9x^{2}=x$ $x,$ $x=0.$

{\sqrt {x-5}}\cdot x=4{\sqrt {x-5}}.

Ved at reducere med mister vi ikke blot den eneste rod af ligningen, men undervejs får vi en ekstra rod , der ikke er inkluderet i rækken af acceptable værdier af det ukendte, da det radikale udtryk for bliver negativt [9] . ${\sqrt {x-5)),$ $x=5,$ $x=4,$ $x=4$

Uligheder

Sofisme 1 . Lad være vilkårlige positive tal, og multiplicerer denne ulighed med og trækker fra begge dens dele , får vi: Faktorering: $a,b$ $a>b.$ $b$ $a^{2},$ $ab-a^{2}>b^{2}-a^{2}.$

a(ba)>(b+a)(ba)

Reducerer vi med (ved betingelse er det ikke lig med nul), får vi uligheden: Træk resultatet fra begge dele : Det vil sige, at ethvert positivt tal også er negativt på samme tid. $ba$ $a>b+a.$ $en,$ $0>b.$ $b$

Årsag til fejlen : begge dele af uligheden kan reduceres med en fælles ikke-nul faktor, men hvis denne faktor er negativ, så skal fortegnet på uligheden vendes. Dette er præcis tilfældet, da vi efter reduktionen får: fejlen er elimineret [10] . $ba<0.$ $a<b+a,$

Udpakning af roden

Sofisme 1 . Korrekt lighed: kan skrives som: Trækker vi kvadratroden ud , får vi: hvorfra: $1-3+{\frac {9}{4}}=4-6+{\frac {9}{4}}$ $\left(1-{\frac {3}{2}}\right)^{2}=\left(2-{\frac {3}{2}}\right)^{2}.$ $1-{\frac {3}{2}}=2-{\frac {3}{2)),$ $1=2.$

Årsag til fejlen : fra ligheden af kvadraterne af mængderne følger ligheden af størrelserne selv kun, hvis de har samme fortegn. Korrekt udtrækning af roden giver et resultat med en absolut værdi : og så opstår fejlen ikke [11] . $\left|1-{\frac {3}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|,$

Sofisme 2 . I gymnasiet defineres hævning af et tal ikke kun til et heltal, men også til en brøkpotens : Overvej en sofisme, der beviser, at . $a^{m/n}=({\sqrt[{n}]{a)))^{m}.$ $-1=1$

-1=(-1)^{\frac {2}{2}}=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\venstre({( -1)^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}={\color {blå}{\sqrt {\color {sort }1}}}=1

Fejlårsag : Forhøjelse til en brøkpotens defineres kun for ikke-negative tal [12] .

Sofisme 3 . Man skal være forsigtig, når man hæver værdierne af trigonometriske funktioner til en brøkpotens . Det forekommer dog indlysende, at når vi får en fejlagtig lighed: Det er allerede blevet forklaret ovenfor, at den aritmetiske rod af kvadratet af et tal er lig med tallets absolutte værdi, så den korrekte notation er som følger [13] : $(\cos ^{2}x)^{3/2}=\cos ^{3}x,$ $x=\pi$ $1^{3/2}=-1.$ $(\cos ^{2}x)^{3/2}=|\cos x|^{3}.$

Forkerte betingelser for problemet

Sofisme 1 . Vi løser ligningen: $3{\sqrt {x}}+x+2=0.$

3{\sqrt {x}}=-(x+2);\quad 9x=x^{2}+4x+4;\quad x^{2}-5x+4=0

x_{1}=4;\quad x_{2}=1

Tjek: substitution af den første rod i ligningen giver lighed ; substitution af den anden giver: $12=0,$ $6=0.$

Fejlårsag : Den oprindelige ligning har ingen løsninger. Dette kan ses af det faktum, at venstre side er strengt taget større end nul , da den er under roden). Ved kvadrering dukkede to uvedkommende rødder op, men kontrollen afviste dem [14] . $(x\geqslant 0,$

Sofisme 2 . Lad os løse ligningen: hvor er et vilkårligt reelt tal . $x^{2}-ax=-{\frac {1}{3}}a^{2},$ $-en$

Ved at gange begge sider af ligningen med og derefter lægge til dem, transformerer vi ligningen til formen: Efter at have udtrukket terningroden, får vi ligningen hvorfra: det vil sige, at alle tal er lig nul. $(-3a)$ $x^{3}-a^{3},$ $(xa)^{3}=x^{3}.$ $xa=x,$ $a=0,$

Årsag til fejlen : vi behandlede det ukendte som et reelt tal, men som du nemt kan se, har den oprindelige ligning ikke reelle rødder (undtagen kun tilfældet ), fordi dens diskriminant Hvis vi betragter ligningen i kompleksets system tal , så er al ræsonnementet før udtræk af kubiske rødder korrekt, men den komplekse terningrod har tre værdier, så ligheden af kuberne indebærer ikke ligheden af selve størrelserne [15] . $x$ $a=0$ $D=-a^{2}/3\leqslant 0.$

Geometri

Sofisme 1 . Lad os skære trekanten i fire dele, som vist i den øverste del af figuren, og derefter danne en ny trekant af samme størrelse af disse dele, som vist i den nederste del af figuren. Fra omarrangering af dele ændres det samlede areal med én celle!

Årsag til fejlen : linjen, som ser ud til at være hypotenusen af trekanten, er faktisk en brudt linje, det vil sige, at den pågældende figur ikke er en trekant, men en firkant . Dette er let at udlede af, at i den røde trekant er forholdet mellem benene 3:8, og i den blå er det 2:5, som er lidt større. Det betyder, at den stiplede linje i den øverste figur er let konkav, den nederste figur er let konveks, og forskellen i areal giver blot en "ekstra" celle [16] .

Denne sofisme har mange muligheder, hvoraf den ene er vist i figuren: ved at flytte dele af et rektangel med et areal får vi et rektangel med et areal . Årsagen er den samme: et hul med et knogleareal celle strækkes langs diagonalen af det andet rektangel. $24\cdot 9=216,$ $31\cdot 7=217.$

Sofisme 2 . Vi vil stole på tegnet : to trekanter er ens, hvis de har to lige store sider og en af vinklerne. Trekanter ABC og ABC' har en lige stor vinkel og to sider (en fælles side, ) og dermed er trekanterne ens, hvilket modsiger konstruktionen i figuren (vinkler og er ikke lig med 90°, så punkt C og C' gør ikke sammenfald). $\beta$ $c$ $b=b'$ $\gamma$ $\gamma '$

Fejlårsag : skødesløs og derfor fejlagtig formulering af kriteriet for trekanters lighed, korrekt: " to trekanter er lige, hvis de har to lige store sider og vinklen mellem dem ." Faktisk kan denne sofisme betragtes som en overbevisende tilbagevisning af et fejlagtigt tegn [17] .

Sofisme 3 : "alle trekanter er ligebenede" (ofte tilskrevet Lewis Carroll [18] ) [19] . Overvej en vilkårlig trekant ABC (se figur). Halveringspunktet for vinkel A og vinkelret på midtpunktet af side BC skærer hinanden på et tidspunkt O. Lad os slippe vinkelrette OR (til side AB) og OQ (til side AC) fra punkt O, og også forbinde O med toppunkter B og C ..

De retvinklede trekanter RAO og QAO er kongruente, fordi de har samme side (AO) og vinkel (∠RAO = ∠QAO). Retvinklede trekanter ROB og QOC er også ens, fordi de har to lige sider: BO = OC og RO = OQ. Men så er AR = AQ, RB = QC, og siden AB = AR + RB = AQ + QC = AC en ligebenet trekant.

Fejlårsag : bevidst forvrænget tegning. Hvis det gøres omhyggeligt, vil punktet O ikke være indenfor, men uden for trekanten (på den omskrevne cirkel omkring trekanten ). I dette tilfælde er et af punkterne R og Q på siden af trekanten, og det andet er på fortsættelsen af den anden side: hvis siden , så er R inde, er Q udenfor, ellers omvendt. I det første tilfælde - minus i stedet for plus; det andet tilfælde analyseres på samme måde [20] . $AB>AC$ $AB=AR+RB;AC=AQ-QC$

Trigonometri

Sofisme . Overvej den velkendte trigonometriske identitet : I enhver trekant er summen af vinklerne derfor lig, på den ene side ved identitet, og på den anden side er vinklerne derfor også ens: Træk denne lighed fra identiteten: vi får: eller Konklusion: enhver trekant er retvinklet . $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .$ $\alpha +\beta +\gamma =\pi ,$ $\sin(\pi -(\alpha +\beta ))$ $\sin(\alpha +\beta )$ $\sin \gamma .$ $\alpha +\beta =\gamma .$ $\alpha +\beta +\gamma =\pi ,$ $2\gamma =\pi ,$ $\gamma =\pi /2.$

Årsag til fejlen : lighed finder i virkeligheden sted for enhver trekant, men vinklernes lighed følger ikke af den - dette er også vist ved formlen . Ved vilkårlige to vinkler, der komplementerer hinanden til sinus, er de samme [21] . $\sin(\alpha +\beta )=\sin \gamma$ $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .$ $\pi,$

Bevis ved induktion

Sofisme . Lad os bevise, at alle heste er af samme kulør. Beviset er ved induktion på antallet af heste. Når påstanden er triviel. Lad alle flokkene af heste af samme farve; bevise for en flok heste. Lad os fjerne én hest; alle tilbageværende har samme farve ifølge induktionshypotesen. Vi sender hesten tilbage til flokken og tager en anden hest. Så viser den tidligere adskilte hest sig at være af samme kulør. $N$ $N=1$ $N$ $N+1$

Årsag til fejlen : anden del af beviset virker ikke, når man går fra til (tricket med adskillelse af hesten beviser da ingenting) [22] . $N=1$ $N=2$

Denne vittige sofisme har en interessant variation: et bevis på påstanden om, at alle heltal er lige. Lad os bevise ved induktion på længden af et segment af naturlige tal . Når der kun er ét tal i segmentet, og udsagnet er sandt. Lad udsagnet være sandt for de første tal, lad os bevise for Lad os tage to vilkårlige tal Ved den induktive antagelse, men så ■ Fejlen her ligner den foregående: for et segment med længde 2 går værdien ud over den induktive antagelse, ødelægger bevisets logik [23] . $N$ $1,2,3,\dots ,N$ $N=1$ $N$ $N+1.$ $1\leqslant a,b\leqslant N+1.$ $a-1=b-1,$ $a=b$ $a=1,b=2$ $a-1$

Højere matematik

Komplekse tal

Sofisme 1 . Den imaginære enhed er defineret som så Men det viser sig, at ${\sqrt {-1}),$ $i^{2}=-1.$ $i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)))={\sqrt {1 }}=1.$ $1=-1.$

Årsag til fejlen : I systemet med komplekse tal skal du være forsigtig med rødderne. Den aritmetiske rod , betegnet med det radikale tegn , er kun defineret for positive reelle tal, og de komplekse kvadratrødder af negative tal er to-værdifulde. Derfor bør lighed erstattes af og så sker der ingen fejl [24] . ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=\pm 1,$

Sofisme 2 . Lad os hæve den kendte identitet til magten . Til venstre vil det naturligvis vise sig til højre, 1. Som et resultat: hvilket, som det er nemt at kontrollere, er forkert. $e^{2\pi i}=1$ $jeg.$ $e^{-2\pi },$ $e^{-2\pi }=1,$

Fejlårsag : at hæve til en kompleks potens giver et resultat med flere værdier, så reglen gælder ikke her, du skal bruge den generelle definition (se Kompleks potens ); Omhyggelig anvendelse af formlerne til at bestemme den komplekse grad giver til venstre og til højre, herfra kan det ses, at roden til fejlen er forvirringen af værdierne af dette udtryk for og for ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc))$ $e^{-2\pi k};$ $k=0$ $k=1.$

Grænser for funktioner

Sofisme 1 . Lad os finde grænsen for udtrykket, når Hvis vi først aspirerer , så er grænsen (uanset værdien ), og hvis vi starter fra så er grænsen Det viser sig, at ethvert tal er lig med dets inverse. ${\frac {ax+y}{x+ay)),$ $x,y\to \infty .$ $x\to \infty ,$ $-en$ $y$ $y,$ $1/a.$

Årsag til fejlen : faktisk er fejlen kun i det endelige output. Permutation af rækkefølgen af partielle grænser , generelt set, kan ændre resultatet [25] .

Handlinger med uendelige rækker

Sofisme 1 . Overvej en uendelig række for den naturlige logaritme , opnået fra Mercator-serien med $\ln 2$ $x=1\colon$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5 }}-{\frac {1}{6}}\dots

Lad os samle udtryk med de samme tegn:

\ln 2=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\dots \right)-\left({\frac {1}{2 }}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \right)=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac { 1}{5}}\dots \right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \ højre)-2\venstre({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \right)

Ved at kombinere de to første parenteser og tilføje en faktor på 2 inde i den tredje parentes får vi forskellen på to identiske værdier, det vil sige nul, selvom det ikke er lig med nul: $\ln 2$

\ln 2=\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\dots \right)- \left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\dots \right)=0

Årsag til fejlen : ikke enhver omarrangering af seriemedlemmer er tilladt, den er kun gyldig for absolut konvergerende serier . Især er repræsentationen af en konvergent begyndelsesrække som forskellen mellem to divergerende rækker forkert. Serien kaldes " harmonisk ", og den adskiller sig, selvom den kun adskiller sig fra den oprindelige i termernes tegn [26] . $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\ prikker$

Integration

Ubestemt integral

Sofisme . Vi integrerer to identiteter:

{\frac {d}{dx}}\sin ^{2}x=2\sin x\cos x;\quad {\frac {d}{dx}}\cos ^{2}x=- 2\sin x\cos x.

Resultater:

\int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x;\quad \int {\sin x\cos xdx}=-{\frac { 1}{2}}\cos ^{2}x

Hvis vi trækker den anden fra den første ligning, får vi:

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=0,

mens højre skal være 1.

Årsag til fejlen : de glemte at inkludere integrationskonstanter i værdierne af ubestemte integraler [27] :

\int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x+C_{1};\quad \int {\sin x\cos xdx}= -{\frac {1}{2}}\cos ^{2}x+C_{2}

Bestemt integral

Sofisme 1 . Lad os finde integralet af en positiv funktion ved hjælp af Newton-Leibniz formlen :

\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{- 1}^{1}=-1-1=-2.

Integralet af en positiv funktion viste sig at være negativt ("D'Alemberts paradoks", 1768) [28] .

Årsag til fejlen : integranden er diskontinuerlig (og ikke begrænset) ved nul, så Newton-Leibniz-formlen er ikke anvendelig på den.

Sofisme 2 . Lad os finde integralet af en positiv funktion ved ændring af variabel metode :

I=\int \limits _{-1}^{1}x^{2}dx

Lad os introducere en ny variabel ; integrationssegmentet for vil gå ind i segmentet for : $y=x^{2};dy=xdx$ $[-1;1]$ $x$ $[1;1]$ $y$

I=\int \limits _{1}^{1}{\sqrt {y}}dy=0.

Rigtigt svar:

I={\frac {2}{3)).

Årsag til fejlen : ved udskiftning af en variabel skal de gamle og nye variable være i en-til-en overensstemmelse , ellers er den inverse funktion ikke defineret [29] ; i sofismen er denne regel overtrådt. $x=x(y)$

Anden sofistik

Et par yderligere eksempler på sofismer og paradoksale konklusioner, der forårsagede en livlig diskussion i det videnskabelige samfund:

Noter

↑ Sofisme // Soviet Encyclopedic Dictionary. - 2. udg. - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - S. 1241. - 1600 s.
↑ 1 2 3 Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 3-4.
↑ Sergeeva L. V. Brugen af matematiske sofismer i matematiktimerne . Hentet: 7. marts 2020. (Russisk)
↑ 1 2 Bradis et al., 1959 , s. 7-11.
↑ Obreimov, 1889 .
↑ 1 2 Bradis et al., 1959 , s. 11-14.
↑ Bradis et al., 1959 .
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 9.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 65-66.
↑ Bradis et al., 1959 , s. 89-90.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 6.
↑ Mordkovich A. G. Algebra og begyndelsen af analysen. Lærebog for klassetrin 10-11, del 1. - udg. 4. - M .: Mnemozina, 2003. - S. 253-255. — 376 s.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 16.
↑ Bradis et al., 1959 , s. 58.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 7-8, 66-67.
↑ Curry Triangle Paradox . Hentet 31. august 2019. Arkiveret fra originalen 31. august 2019. (ubestemt)
↑ For en analyse af problemet med at konstruere en trekant på to sider og en vinkel ikke mellem dem, se artiklen Solving triangles eller i opslagsbogen: Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics. - M . : Nauka, 1978. - S. 294.
↑ Faktisk blev sofismen først udgivet i bogen: Ball WWR Mathematical Recreations and Essays (1892), hvorfra Carroll tog den.
↑ Robin Wilson (2008), Lewis Carroll i Numberland , Penguin Books, s. 169-170, ISBN 978-0-14-101610-8
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 21-23, 81-82.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 45-46, 66-67.
↑ Poya, D. Mathematics and Plausible Reasoning. - Ed. 2., rettet. - M . : Nauka, 1975. - S. 140.
↑ Fedin S. N. Matematikere spøger også . - 4. udg. — M .: URSS , 2012. — S. 274. — 216 s. - ISBN 978-5-397-02435-8 .
↑ Bradis et al., 1959 , s. 81-82.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 17, 76.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 15, 73-75.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , s. 39, 94.
↑ Markov S. N. Matematisk historiekursus: Lærebog . - Irkutsk: Irkutsk University Publishing House, 1995. - S. 167 . — 248 s. — ISBN 5-7430-0496-X .
↑ Schneider V. E. et al. Et kort kursus i højere matematik. Proc. godtgørelse for videregående uddannelsesinstitutioner . - M . : Højere skole, 1972. - 640 s.

Litteratur

Bradis V. M. Minkovsky V. L., Kharcheva A. K. Fejl i matematisk ræsonnement. - 2. udg. - M. : Uchpedgiz, 1959. - 177 s.
- 3. udgave: M.: Oplysning, 1967. - 191 s.
Gardner, Martin . Geometriske fejlslutninger (kapitel 6) // Tic-Tac-Toe. — M .: Mir, 1988. — 325 s. — ISBN 5-03-001234-6 .
Gardner, Martin . Matematiske sofismer (kapitel 13) // Matematiske puslespil og underholdning. — M .: Mir, 1971. — 511 s.
Dvoryaninov SV Undervisning i matematik og sofisme // Matematisk uddannelse. - 2007. - Nr. 1 (41).
Madera A. G. , Madera D. A. Matematiske sofismer. Plausible ræsonnementer, der fører til fejlagtige udsagn / En bog for elever i 7.-11. - M . : Uddannelse, 2003. - 112 s. — ISBN 5-09-010795-5 .
Nagibin F. F., Kanin E. S. Matematiske sofismer // Matematisk kiste. Studiehjælp. — Udgave 4. - M . : Uddannelse, 1984.
Obreimov V. I. Matematiske sofismer. - 2. udg. - Sankt Petersborg. : F. Pavlenkov, 1889. - 79 s.
Perelman Ya. I. To gange to - fem! (Matematiske sofismer) . - L . : DZN, 1839. - 16 s.
Furre, Emil. Geometriske gåder og paralogismer . - Odessa: Mathesis, 1912. - 52 s.
Flok, Bryan. Matematiske fejlslutninger og paradokser . - Dover Publications, 1997. - 240 s. — (Dover Bøger om Matematik). — ISBN 978-0486296647 .