Pell nummer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 10. december 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Pell-tallet er et heltal , der optræder som en nævner i en uendelig rækkefølge af konvergenter for kvadratroden af 2 . Denne sekvens af tilnærmelser begynder som følger: , det vil sige, de første Pell-tal er 1, 2, 5, 12 og 29. Tællerne i den samme sekvens af tilnærmelser er halvdelen af de ledsagende Pell-tal eller Pell-Luc-tal - en uendelig sekvens, der starter med 2, 6, 14, 34 og 82. ${\frac {1}{1)),{\frac {3}{2)),{\frac {7}{5)),{\frac {17}{12)),{\frac {41}{29}},\dots$

Begge sekvenser, Pell-tallene og de medfølgende Pell-tal, kan beregnes med en gentagelsesrelation , svarende til formlerne for Fibonacci-tal , og begge talsekvenser vokser eksponentielt i forhold til styrken af sølvsektionen . $1+{\sqrt 2}$

Ud over at bruge tilnærmelser til kvadratroden af to i fortsatte brøker, kan Pell-tal bruges til at finde kvadratiske trekanttal og til at løse nogle kombinatoriske opregningsproblemer [1] .

Rækkefølgen af Pell-numre har været kendt siden oldtiden. Ligesom Pells ligning tilskrives Pell-tal fejlagtigt af Leonhard Euler til John Pell . Pell-Luc-numrene er opkaldt efter Eduard Luc , som studerede disse sekvenser. Både Pell-numrene og de ledsagende Pell-numre er specielle tilfælde af Lucas-sekvenser .

Pell numre

Pell-numre er givet ved en lineær gentagelsesrelation :

P_n=\begin{cases}0, n=0;\\1, n=1 \\2P_{n-1}+P_{n-2}, n>1 \end{cases}

og er et specialtilfælde af Lucas-sekvensen .

De første par Pell-numre

0 , 1 , 2 , 5 , 12 , 29 , 70 , 169 , 408, 985, 2378, … ( OEIS -sekvens A000129 ).

Pell-tal kan udtrykkes med formlen

P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.

For store værdier af n dominerer udtrykket dette udtryk, så Pell-tal er nogenlunde proportionale med potenser af sølvsektionen , ligesom Fibonacci-tal er nogenlunde proportionale med potenser af det gyldne snit . $\scriptstyle (1+\sqrt 2)^n$ $\scriptstyle (1+\sqrt 2)$

En tredje definition er også mulig - i form af en matrixformel

{\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end {pmatrix}}^{N-1}.

Mange identiteter kan bevises ud fra disse definitioner, såsom en identitet analog med Cassini-identiteten for Fibonacci-numre,

P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{N-1},

som en umiddelbar konsekvens af matrixformlen (erstatning af matrixdeterminanter til venstre og højre) [2] .

Tilnærmelse til kvadratroden af to

Pell-tal stammer historisk fra rationelle tilnærmelser til kvadratroden af 2 . Hvis to store heltal giver x og y en løsning til Pells ligning

\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1,

så deres forhold giver en tæt tilnærmelse til . Rækkefølgen af tilnærmelser af denne art $\tfrac{x}{y}$ $\scriptstyle\sqrt 2$

1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots

hvor nævneren for hver brøk er Pell-tallet, og tælleren er summen af Pell-tallet og dets forgænger i sekvensen. Således er tilnærmelserne af formen . $\tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}$

Tilnærmelse

\sqrt 2\approx\frac{577}{408}

denne type var kendt af matematikere i Indien i det tredje eller fjerde århundrede f.Kr. [3] . Græske matematikere fra det femte århundrede f.Kr. var også opmærksomme på denne tilnærmelse [4] . Platon omtaler tællerne som rationelle diametre [5] . I det andet århundrede e.Kr. brugte Theon af Smyrna udtrykkene side og diameter til at beskrive nævneren og tælleren for denne sekvens [6] .

Disse tilnærmelser kan udledes af den fortsatte fraktion : $\scriptstyle\sqrt 2$

\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots\, }}}}}}.

Den endelige del af den fortsatte brøk giver en tilnærmelse i form af Pell-tal. For eksempel,

\frac{577}{408} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2}}}}}}}.

Som Knuth (1994) skrev, gør kendsgerningen af tilnærmelse ved Pell-tal det muligt at bruge dem til en rationel tilnærmelse til en regulær ottekant med toppunktskoordinater og . Alle hjørner af denne ottekant er i samme afstand fra centrum og danner næsten de samme vinkler. Også punkterne , og danner en ottekant, hvis toppunkter er næsten lige langt fra midten og danner de samme vinkler. $\scriptstyle\sqrt 2$ $(\pm P_i,\pm P_{i+1})$ $(\pm P_{i+1},\pm P_i)$ $(\pm(P_i+P_{i-1}),0)$ $(0,\pm(P_i+P_{i-1}))$ $(\pm P_i,\pm P_i)$

Simples og firkanter

Et primtal er et primtal, der også er primtal . Flere første Pell-primer

2, 5, 29, 5741, … (sekvens A086383 i OEIS )

Som med Fibonacci-tal kan et Pell-tal kun være primtal, hvis n selv er primtal. $P_{n}$

Der er kun tre Pell-tal, som er firkanter, terninger og andre højere potenser - disse er 0, 1 og 169 = 13 2 [7] .

På trods af at der er så få kvadrater og andre potenser blandt Pell-tal, har de et tæt forhold til kvadratiske trekanttal [8] . Disse tal stammer fra følgende identitet:

\bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+ P_k)^2-(-1)^k\højre)}{2}.

Den venstre side af denne identitet giver et kvadrattal , mens højre side giver et trekantet tal , så resultatet er et kvadratisk trekantet tal.

Santana og Diaz-Barrero (2006) beviste en anden identitet, der relaterer Pell-tal til kvadrater ved at vise, at summen af Pell-tal op til altid er et kvadrat: $P_{4n+1}$

\sum_{i=0}^{4n+1} P_i = \left(\sum_{r=0}^n 2^r{2n+1\vælg 2r}\right)^2 = (P_{2n}+ P_{2n+1})^2.

For eksempel er summen af Pell-tal op til , , kvadratet af . $P_5$ $0+1+2+5+12+29=49$ $P_2+P_3=2+5=7$

De tal , der danner kvadratrødderne af sådanne summer, $P_{2n}+P_{2n+1}$

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (sekvens A002315 i OEIS ),

kendt som Newman-Shanks-Williams primtal .

Pythagoras tripler

Hvis en retvinklet trekant har siderne a , b , c (ifølge Pythagoras sætning a 2 + b 2 = c 2 ), så er ( a , b , c ) kendt som Pythagoras tripler . Martin (1875) skriver, at Pell-tal kan bruges til at danne pythagoræiske tripletter, hvor a og b adskiller sig med én, svarende til en næsten ligebenet retvinklet trekant. Hver sådan tripel har formen

(2P_{n}P_{n+1}, P_{n+1}^2 - P_{n}^2, P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1} ).

Sekvensen af Pythagoras tripler opnået på denne måde

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Pell-Luc numre

De tilknyttede Pell-numre eller Pell-Luc-numre er defineret af den lineære gentagelsesrelation :

Q_n=\begin{cases}2, n=0\\2, n=1\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}, n>1\end{cases}

Det vil sige, at de to første tal i rækkefølgen er 2, og alle de øvrige er dannet som summen af det dobbelte af det foregående Pell-Luc-tal og det forudgående tal, eller tilsvarende ved at tilføje det næste Pell-tal og det forrige tal. . Således er ledsageren for 82 tallet 29, og 82 = 2 34 + 14 = 70 + 12.

De medfølgende Pell-numre danner en sekvens:

2 , 2 , 6 , 14 , 34 , 82 , 198 , 478 , … ( OEIS -sekvens A002203 )

De medfølgende Pell-tal kan udtrykkes med formlen:

Q_n=(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n.

Alle disse tal er lige, hver af dem er en dobbelttæller i tilnærmelsen af rationelle tal til . $\scriptstyle\sqrt 2$

Databehandling og kommunikation

Følgende tabel viser de første par grader af sølvsektionen og de tilhørende . $\delta=\delta_S=1+\sqrt2$ $\bar{\delta}=1-\sqrt{2}$

$n$	$(1+\sqrt{2})^n$	$(1-\sqrt{2})^n$
0	$1+0\sqrt{2}=1,0$	$1-0\sqrt{2}=1,0$
en	$1+1\sqrt{2}=2,41421\ldots$	$1-1\sqrt{2}=-0,41421\ldots$
2	$3+2\sqrt{2}=5,82842\ldots$	$3-2\sqrt{2}=0,17157\ldots$
3	$7+5\sqrt{2}=14.07106\ldots$	$7-5\sqrt{2}=-0,07106\ldots$
fire	$17+12\sqrt{2}=33.97056\ldots$	$17-12\sqrt{2}=0,02943\ldots$
5	$41+29\sqrt{2}=82.01219\ldots$	$41-29\sqrt{2}=-0,01219\ldots$
6	$99+70\sqrt{2}=197,9949\ldots$	$99-70\sqrt{2}=0,0050\ldots$
7	$239+169\sqrt{2}=478.00209\ldots$	$239-169\sqrt{2}=-0,00209\ldots$
otte	$577+408\sqrt{2}=1153.99913\ldots$	$577-408\sqrt{2}=0,00086\ldots$
9	$1393+985\sqrt{2}=2786.00035\ldots$	$1393-985\sqrt{2}=-0,00035\ldots$
ti	$3363+2378\sqrt{2}=6725.99985\ldots$	$3363-2378\sqrt{2}=0,00014\ldots$
elleve	$8119+5741\sqrt{2}=16238.00006\ldots$	$8119-5741\sqrt{2}=-0,00006\ldots$
12	$19601+13860\sqrt{2}=39201.99997\ldots$	$19601-13860\sqrt{2}=0,00002\ldots$

Koefficienterne er halvdelen af de ledsagende Pell-tal og Pell-tallene , som er ikke-negative løsninger til ligningen . $H_n$ $P_{n}$ $H^2-2P^2=\pm1$

Et kvadratisk trekanttal er et tal , der både er det -th trekantet tal og det -th kvadrattal. Næsten ligebenede Pythagoras tripler er heltalsløsninger , hvor . $N=\frac{t(t+1)}{2}=s^2$ $t$ $s$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a+1=b$

Følgende tabel viser dekomponeringen af ulige tal i to næsten identiske halvdele, hvilket giver et kvadratisk trekantet tal, når n er lige og en næsten ligebenet pythagoras trippel, når n er ulige. $H_n$

$n$	$H_n$	$P_n$	t	t+1	s	-en	b	c
0	en	0	0	0	0
en	en	en				0	en	en
2	3	2	en	2	en
3	7	5				3	fire	5
fire	17	12	otte	9	6
5	41	29				tyve	21	29
6	99	70	49	halvtreds	35
7	239	169				119	120	169
otte	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
ti	3363	2378	1681	1682	1189
elleve	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Definitioner

Halvdelene af de medfølgende Pell-numre og Pell-numrene kan fås på flere ækvivalente måder: $H_n$ $P_{n}$

Eksponentiering :

(1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt{2}

(1-\sqrt2)^n=H_n-P_n\sqrt{2}.

Hvor kommer det fra:

H_n=\frac{(1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n}{2}.

P_n\sqrt2=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2}.

Par gentagelsesrelationer :

H_n=\begin{cases}1, n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1}, n>0\end{cases}

P_n=\begin{cases}0, n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}, n>0\end{cases}

eller i matrixform :

\begin{pmatrix} H_n \\ P_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} H_{n-1} \\ P_{n- 1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.

På denne måde

\begin{pmatrix} H_n & 2P_n \\ P_n & H_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n .

Approksimationer

Forskellen mellem og er lig med , som hurtigt har en tendens til nul. Så meget tæt på . $H_n$ $P_n\sqrt2$ $(1-\sqrt2)^n \ca. (-0,41421)^n$ $(1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt2$ $2H_{n}$

Det følger af denne observation, at forholdet mellem heltal nærmer sig hurtigt, mens og nærmer sig hurtigt . $\frac{H_n}{P_n}$ ${\sqrt 2}$ ${\frac {H_{n}}{H_{n-1}}}$ ${\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}$ $1+{\sqrt {2}}$

H 2 − 2 P 2 = ± 1

Da det er irrationelt, kan vi ikke få , dvs. Det bedste vi kan få er enten eller . ${\sqrt 2}$ ${\frac {H}{P}}=2$ ${\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}$ ${\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}$ $\frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2+1}{P^2}$

De ikke- negative løsninger er parrene med lige n , og løsningerne er parrene med n ulige. $H^{2}-2P^{2}=1$ $H_n, P_n$ $H^{2}-2P^{2}=-1$ $H_n, P_n$

For at forstå dette, bemærk

H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=(H_{n}+2P_{n})^{2}-2(H_{n}+P_{ n})^{2}=-(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2})

så starter med tegnet veksler ( ). Bemærk nu, at enhver positiv løsning kan opnås fra en løsning med et mindre indeks på grund af ligheden . $H_{0}^{2}-2P_{0}^{2}=1$ $elleve$ $(2P-H)^{2}-2(HP)^{2}=-(H^{2}-2P^{2})$

Firkantede trekantede tal

Den krævede lighed svarer til , hvilket bliver ved substituering og . Derfor vil den n'te løsning være og ${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}$ $4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1$ $H^2=2P^2+1$ $H=2t+1$ $P=2s$ $t_n=\frac{H_{2n}-1}{2}$ $s_n=\frac{P_{2n}}{2}.$

Bemærk, at og er relativt primtal, så det er kun muligt, når de er tilstødende heltal, at det ene er et kvadrat og det andet er et dobbelt kvadrat . Da vi kender alle løsninger til ligningen, får vi $t$ $t+1$ ${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}$ $H^2$ $2P^2$

t_n=\begin{cases}2P_n^2&n \equiv 0\pmod 2 \\H_{n}^2&n\equiv 1 \pmod 2 \end{cases}

og $s_{n}=H_{n}P_{n}$

$n$	$H_n$	$P_n$	t	t+1	s	-en	b	c
0	en	0
en	en	en	en	2	en	en	0	en
2	3	2	otte	9	6	3	fire	5
3	7	5	49	halvtreds	35	21	tyve	29
fire	17	12	288	289	204	119	120	169
5	41	29	1681	1682	1189	697	696	985
6	99	70	9800	9801	6930	4059	4060	5741

Trillinger af Pythagoras

Ligestilling gælder kun for , hvilket bliver til , når der erstattes . Så er den n'te løsning og $c^2=a^2+(a+1)^2=2a^2+2a+1$ $2c^2=4a^2+4a+2$ $2P^2=H^2+1$ $H=2a+1 \mbox{ og } P=c$ $a_n=\frac{H_{2n+1}-1}{2}$ $c_{n}={P_{2n+1}}.$

Tabellen ovenfor viser, at op til en størrelsesorden , og er lig med og , mens $a_n$ $b_n=a_n+1$ $H_nH_{n+1}$ $2P_nP_{n+1}$ $c_n=H_{n+1}P_n+P_{n+1}H_n.$

Noter

↑ For eksempel viste Sellers ( Sellers ) i 2002, at antallet af perfekte matchninger i det kartesiske produkt af stier og graf K 4 - e kan beregnes som produktet af Pell-tallet ved de tilsvarende Fibonacci-tal
↑ For matrixformlen og dens konsekvenser, se Ercolano (1979), Kilic og Tasci (2005). Andre identiteter for Pell-numre er givet af Horadam (1971) og Bicknell (1975).
↑ Dette er optaget i Shulba Sutras . Se for eksempel Dutka (1986), der citerede Thibaut (1875)
↑ Se Knorr (1976) for en reference til det femte århundrede, som svarer til Proclus ' påstand om, at tal blev opdaget af pythagoræerne . For en mere udførlig undersøgelse af senere græsk viden om disse tal, se Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) og Filep. (1999).
↑ For eksempel er der i Platons stat en henvisning til den "rationelle diameter på fem", hvormed Platon mente 7, tælleren for tilnærmelsen 7/5.
↑ A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid - Sir Thomas Little Heath - Google Books . Hentet: 28. januar 2013. (ubestemt)
↑ Pethő (1992); Cohn (1996). Selvom Fibonacci-tal er defineret af rekursive formler, der meget ligner Pells formler, skriver Cohn, at lignende resultater for Fibonacci-tal er meget sværere at bevise (de blev dog bevist i 2006 af Bugeaud).
↑ Sesskin (1962).

Litteratur

Bicknell, Marjorie. En primer på Pell-sekvensen og relaterede sekvenser // Fibonacci Quarterly . - 1975. - T. 13 , no. 4 . - S. 345-349 .
Cohn, JHE Perfect Pell powers // Glasgow Mathematical Journal . - 1996. - T. 38 , no. 1 . - S. 19-20 . - doi : 10.1017/S0017089500031207 .
Dutka, Jacques. Om kvadratrødder og deres fremstillinger // Arkiv for eksakte videnskabshistorier . - 1986. - T. 36 , no. 1 . - S. 21-39 . - doi : 10.1007/BF00357439 .
Ercolano, Joseph. Matrixgeneratorer af Pell-sekvenser // Fibonacci Quarterly . - 1979. - T. 17 , no. 1 . - S. 71-77 .
Filep, Laszlo. Pythagoras side- og diagonaltal // Acta Mathematica Academiae Paedagogiace Nyíregyháziensis . - 1999. - T. 15 . — S. 1–7 .
Horadam, A.F. Pell-identiteter // Fibonacci Quarterly . - 1971. - T. 9 , no. 3 . - S. 245-252, 263 .
Kilic, Emrah; Tasci, Dursun. Den lineære algebra af Pell-matricen // Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana , Tercera Serie. - 2005. - T. 11 , no. 2 . - S. 163-174 .
Knorr, Wilbur. Arkimedes og cirklens måling: En ny fortolkning // Arkiv for eksakte videnskabers historie . - 1976. - T. 15 , no. 2 . - S. 115-140 . - doi : 10.1007/BF00348496 .
Knorr, Wilbur. "Rationelle diametre" og opdagelsen af incommensurability // American Mathematical Monthly . - 1998. - T. 105 , no. 5 . - S. 421-429 . - doi : 10.2307/3109803 .
Knuth, Donald E. Leaper grafer // The Mathematical Gazette . - 1994. - T. 78 , no. 483 . - S. 274-297 . - doi : 10.2307/3620202 . - arXiv : math.CO/9411240 .
Martin, Artemas . Rationelle retvinklede trekanter næsten ligebenede // The Analyst . - 1875. - T. 3 , Nr. 2 . - S. 47-50 . - doi : 10.2307/2635906 . — .
Pethő, A. Sæt, grafer og tal (Budapest, 1991). — Colloq. Matematik. soc. János Bolyai, 60, Nordholland, 1992, s. 561-568.
Ridenhour, JR Stigetilnærmelser af irrationelle tal // Mathematics Magazine . - T. 59 , no. 2 . - S. 95-105 . - doi : 10.2307/2690427 . — .
Santana, S.F.; Diaz-Barrero, JL Nogle egenskaber ved summer, der involverer Pell-tal // Missouri Journal of Mathematical Sciences . - 2006. - T. 18 , no. 1 . Arkiveret fra originalen den 8. maj 2007.
Sellers, James A. Domino-fliser og produkter af Fibonacci- og Pell-numre // Journal of Integer Sequences . - 2002. - T. 5 .
Sesskin, Sam. En "omtale" til Fermats sidste teorem? // Matematik Magasinet . - 1962. - T. 35 , no. 4 . - S. 215-217 . - doi : 10.2307/2688551 . — .
Thibaut, George. På Súlvasútras // Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal . - 1875. - T. 44 . - S. 227-275 .
Thompson, D'Arcy Wentworth. III. — Overskud og defekt: eller lidt mere og lidt mindre // Mind: New Series . - 1929. - T. 38 , Nr. 149 . - S. 43-55 . — .
Vedova, GC Noter om Theon af Smyrna // American Mathematical Monthly . - 1951. - T. 58 , no. 10 . - S. 675-683 . - doi : 10.2307/2307978 . — .