Salem numre
I matematik er et Salem-tal et reelt algebraisk heltal α > 1, hvis konjugater har højst modul 1, og mindst én af dem har modul 1. Salem-numre er af interesse for diofantiske tilnærmelser og harmonisk analyse . De er opkaldt efter den franske matematiker Raphael Salem .
Egenskaber
Da Salem-tallet har et konjugeret tal med den absolutte værdi 1, skal minimumspolynomiet for Salem-tallet være omvendt . Det følger heraf, at 1/α også er en rod, og alle andre rødder har en absolut værdi, der er nøjagtig lig med 1. Som en konsekvens heraf skal tallet α være et invertibelt element (ringenhed) i ringen af algebraiske heltal , som er norm på 1.
Hvert Salem- tal er et Perron-tal (et algebraisk heltal større end 1, hvis modul er større end alle dets konjugater).
Forholdet til Pisot-Vijayaraghavan numre
Det mindste kendte Salem-tal er den største reelle rod af Lehmer-polynomiet (opkaldt efter den amerikanske matematiker Derrick Lehmer )
hvis værdi er x ≈ 1,177 628; det formodes at være det mindste Salem-tal og det mindst mulige Mahler-mål for et irreducerbart ikke-cyklisk polynomium [1] .
Lehmer polynomiet er en faktor af det kortere 12. grads polynomium,
alle tolv rødder opfylder relationen [2]
.
Salem-numre er tæt forbundet med Pisot-Vijayaraghavan (PV-numre) . Det mindste af PV-tallene er den eneste reelle rod af 3. grads polynomiet
kendt som " plastiknummeret " og omtrent lig med 1,324718. PV-numre kan bruges til at generere en familie af Salem-numre, inklusive det mindste. Den generelle måde er at tage minimumspolynomiet P ( x ) af et PV-tal af grad n og dets inverse polynomium P* ( x ) (hvis koefficienter groft sagt dannes ved at "afspejle" koefficienterne for polynomiet P ( x ) med hensyn til x n /2 ) og løs ligningen
i forhold til et heltal n . Ved at trække den ene side fra den anden, faktorisere og eliminere trivielle faktorer, kan man opnå et minimalt polynomium for nogle Salem-tal. For eksempel, hvis vi tager et plastiknummer og vælger plus i stedet for ovenstående plus eller minus, så:
og for n = 8 får vi
hvor 10. grads polynomiet er Lehmer polynomiet. Ved at bruge en større værdi af n får vi en familie af polynomier, hvis rødder nærmer sig det plastiske tal . Dette kan forstås ved at udtrække n'te potensradikaler på begge sider af ligningen,
.
Jo større værdien af n er, jo mere vil x nærme sig løsningen x 3 − x − 1 = 0.[ afklar ] Når du vælger et positivt fortegn i stedet for plus eller minus, nærmer roden x det plastiske tal i modsat retning[ hvad? ] retning. Brug af minimumspolynomiet for det næstmindste PV-tal
som for n = 7 har formen
ved en polynomisk grad, der ikke er genereret i den foregående og har en rod x ≈ 1,216391... som er det femte mindste kendte Salem-tal. Når n går til det uendelige, går denne familie til gengæld til den større reelle rod af x 4 − x 3 − 1 = 0.
Noter
- ↑ Borwein (2002) s.16
- ↑ D. Bailey og D. Broadhurst, A Seventeenth Order Polylogaritm Ladder
Litteratur
- Borwein, PeterBeregningsudflugter i analyse ogtalteori . - Springer-Verlag , 2002. - (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9 . Kap. 3.
- Boyd, David (2001), Salem nummer , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
- MJ Mossinghoff. Små Salem-numre . Dato for adgang: 7. januar 2016.
- Salem, R.Algebraiske tal og Fourier-analyse (ubestemt) . — Boston, MA: DC Heath and Company, 1963. - (Heath matematiske monografier).
| Algebraiske tal | |
|---|---|
| Sorter | |
| Bestemt | |