Bessel funktioner

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. oktober 2021; checks kræver 5 redigeringer .

Bessel-funktioner i matematik er en familie af funktioner , der er kanoniske løsninger af Bessel- differentialligningen :

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2} )y=0,

hvor er et vilkårligt reelt tal (kompleks i det generelle tilfælde), kaldet rækkefølgen . $\alfa$

De mest almindeligt anvendte Bessel-funktioner er funktioner af heltalsordener .

Selvom de genererer de samme ligninger, er man normalt enige om, at forskellige funktioner svarer til dem (det gøres f.eks. så Bessel-funktionen er glat i ). $\alfa$ $(-\alpha )$ $\alfa$

Bessel funktioner blev først defineret af den schweiziske matematiker Daniel Bernoulli , og opkaldt efter Friedrich Bessel .

Ansøgninger

Bessel-ligningen opstår, mens man finder løsninger på Laplace-ligningen og Helmholtz-ligningen i cylindriske og sfæriske koordinater. Derfor bruges Bessel-funktioner til at løse mange problemer med bølgeudbredelse, statiske potentialer osv., for eksempel:

elektromagnetiske bølger i en cylindrisk bølgeleder ;
termisk ledningsevne i cylindriske genstande;
bølgeformer af en tynd rund membran;
fordelingen af intensiteten af lys diffrakteret af det runde hul;
hastigheden af partikler i en cylinder fyldt med væske og roterer omkring sin akse;
bølgefunktioner i en sfærisk symmetrisk potentialboks.

Bessel-funktioner bruges også til at løse andre problemer, for eksempel i signalbehandling.

Bessel-funktionen er en generalisering af sinusfunktionen. Det kan fortolkes som vibrationen af en streng med variabel tykkelse, variabel spænding (eller begge betingelser samtidigt); udsving i et medium med variable egenskaber; vibrationer af skivemembranen mv.

Definitioner

Da ovenstående ligning er en andenordens lineær differentialligning, skal den have to lineært uafhængige løsninger. Der vælges dog forskellige definitioner af disse beslutninger afhængigt af omstændighederne. Nedenfor er nogle af dem.

Bessel-funktioner af den første slags

Bessel-funktioner af den første slags, betegnet med , er løsninger, der ender ved et punkt for heltal eller ikke-negativ . Valget af en bestemt funktion og dens normalisering bestemmes af dens egenskaber. Man kan definere disse funktioner ved at bruge en Taylor-serieudvidelse nær nul (eller en mere generel potensrække for ikke-heltal ): $J_{\alpha }(x)$ $x=0$ $\alfa$ $\alfa$

J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m)){m!\,\Gamma (m+\alpha + 1))){\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }.

Her er Euler gamma-funktionen , en generalisering af de faktorielle til ikke-heltalsværdier. Grafen for Bessel-funktionen ligner en sinusbølge, hvis svingninger henfalder proportionalt , selvom funktionens nuller faktisk ikke er placeret periodisk (afstanden mellem to på hinanden følgende nulpunkter har dog en tendens til at ) [1] . $\Gamma(z)$ ${\frac {1}{{\sqrt {x))))$ $\pi$ $x\til \infty$

Nedenfor er diagrammerne for : $J_{\alpha }(x)$ $\alfa =0,1,2$

Hvis ikke er et heltal, er funktionerne og lineært uafhængige og er derfor løsninger til ligningen. Men hvis et heltal, så er følgende forhold sandt: $\alfa$ $J_{\alpha }(x)$ $J_{{-\alpha }}(x)$ $\alfa$

J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x).

Det betyder, at i dette tilfælde er funktionerne lineært afhængige. Så vil den anden løsning af ligningen være Bessel-funktionen af den anden slags (se nedenfor).

Bessel-integraler

Man kan give en anden definition af Bessel-funktionen for heltalsværdier ved hjælp af integralrepræsentationen: $\alfa$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \ tau )\,d\tau .

Denne tilgang blev brugt af Bessel, som brugte den til at studere nogle egenskaber ved funktioner. En anden integreret repræsentation er også mulig:

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau .

For at finde den integrale repræsentation af Bessel-funktionen i tilfælde af ikke-heltallige , er det nødvendigt at tage højde for, at der er et snit langs abscisse-aksen. Dette skyldes, at integranden ikke længere er -periodisk. Således er integrationskonturen opdelt i 3 sektioner: en stråle fra til , hvor , en cirkel med enhedsradius og en stråle fra til ved . Efter at have udført simple matematiske transformationer kan du få følgende integralrepræsentation: $\alfa$ $2\pi$ $-\infty$ $en$ $\phi =-\pi$ $en$ $+\infty$ $\phi =\pi$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(xsin(\phi) )-\alpha \phi )}d\phi -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {e^{ -{\frac {1}{2}}x(r-{\frac {1}{r))))}{{}r^{\alpha +1}}}dr.

Det er let at se, at for heltal går dette udtryk over i den foregående formel. $\alfa$

Neumann-funktioner

Neumann-funktionerne er løsninger af Bessel-ligningen, uendelige ved punktet . $Y_{\alpha }(x)$ $x=0$

Denne funktion er relateret til følgende forhold: $J_{\alpha }(x)$

Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha}(x)\cos(\alpha \pi )-J_{{-\alpha }}(x)}{\sin(\alpha \pi )}},

hvor der i tilfælde af et heltal tages grænsen på , som for eksempel beregnes ved hjælp af L'Hospital reglen . $\alfa$ $\alfa$

Neumann-funktioner kaldes også Bessel-funktioner af den anden slags. Den lineære kombination af Bessel-funktionerne af den første og anden slags er den komplette løsning af Bessel-ligningen:

y(x)=C_{1}J_{\alpha}(x)+C_{2}Y_{\alpha}(x).

Nedenfor er et diagram for : $Y_{\alpha }(x)$ $\alfa =0,1,2$

I en række bøger er Neumann-funktionerne betegnet med . $N_{\alpha }(x)$

Sfæriske Bessel-funktioner

Når man løser Helmholtz-ligningen i sfæriske koordinater ved hjælp af metoden til adskillelse af variable, har ligningen for den radiale del formen

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n (n+1)\right)y=0.

To lineært uafhængige løsninger kaldes sfæriske Bessel-funktioner j n og y n , og er relateret til de almindelige Bessel-funktioner J n og Neumann Y n vha . [2]

{\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x) ,\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^ {n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}

y n er også betegnet n n eller η n ; nogle forfattere omtaler disse funktioner som sfæriske Neumann-funktioner .

De sfæriske Bessel-funktioner kan også skrives som ( Rayleighs formel ) [3]

{\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\ højre)^{n}{\frac {\sin x}{x)),\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\venstre({\frac {1}{x }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}

Et par første sfæriske Bessel-funktioner [4] :

{\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x)),\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x} {x^{2))}-{\frac {\cos x}{x)),\\j_{2}(x)&=\venstre({\frac {3}{x^{2))} -1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\venstre( {\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\venstre({\frac {15} {x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}

og Neumann [5] :

{\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x)),\\y_{1}(x )&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2))}-{\frac {\sin x}{x)),\\y_{2}( x)&=-j_{-3}(x)=\venstre(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}- {\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\venstre(-{\frac {15}{x ^{3))}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\venstre({\frac {15}{x^{2}}} -1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}

Generering af funktioner

Generering af funktioner af sfæriske Bessel-funktioner [6] :

{\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0} ^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!)}}y_{n-1} ( z).\end{aligned}}

Differentielle relationer

I de følgende formler kan f n erstattes af j n , y n , h(1)
n, h(2)
n, hvor h(1)
nog h(2)
n er sfæriske Hankel-funktioner, for n = 0, ±1, ±2, ... [7] :

{\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_ {n}(z)\højre)&=z^{n-m+1}f_{nm}(z),\\\venstre({\frac {1}{z)){\frac {d}{ dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-nm}f_{n+m }(z).\end{aligned}}

Egenskaber

Ortogonalitet

Lad være nullerne af Bessel-funktionen . Derefter [1] : ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2))$ $J_{\alpha }(x)$

\int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\venstre\{{ \begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right.

Asymptotik

Asymptotiske formler er kendt for Bessel-funktioner af den første og anden slags . Med små og ikke-negative argumenter ser de sådan ud [8] : $(0<x\ll {\sqrt {\alpha +1)))$ $\alfa$

J_{\alpha }(x)\højrepil {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)))\left({\frac {x}{2))\right)^{\alpha },

Y_{\alpha }(x)\højrepil \venstre\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\venstre[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\ mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{ \alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.

hvor er Euler-konstanten - Mascheroni (0,5772 ...), og er Euler-gammafunktionen . For store argumenter ( ), ser formlerne sådan ud: $\gamma$ $\Gamma$ $x\gg |\alpha ^{2}-1/4|$

J_{\alpha }(x)\højrepil {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi}{2))- {\frac {\pi }{4}}\right),

Y_{\alpha }(x)\højrepil {\sqrt ({\frac {2}{\pi x))))\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi}{2))-{ \frac {\pi }{4}}\right).

Brugen af det næste led i den asymptotiske ekspansion gør det muligt at forfine resultatet markant. For en nul-ordens Bessel-funktion ser det sådan ud:

J_{0}\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos(x-{\frac {\pi}{4)))+{\frac {1}{ 4x{\sqrt {2\pi x))))\sin(x-{\frac {\pi }{4))))

Hypergeometriske serier

Bessel-funktionerne kan udtrykkes i form af den hypergeometriske funktion :

J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1))){}_{0}F_{1}(\alpha +1 ;-z^{2}/4).

For heltal er Bessel-funktionen således analytisk med én værdi , og for ikke-heltal er den analytisk med flere værdier . $\alfa$

Genererer funktion

Der er en repræsentation for Bessel-funktionerne af den første slags og heltalsorden i form af koefficienterne for Laurent-serien af en funktion af en bestemt type, nemlig

e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\ infty }J_{n}(z)w^{n}.

Forhold

Jacobi-Anger formel og relaterede

Opnået fra udtrykket for den genererende funktion ved , [9] : $a=1$ ${\displaystyle w=e^{i\phi ))$

e^{{iz\sin \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty}J_{{2n}}(z)\cos(2n\ phi )+2i\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n-1}}(z)\sin(2n-1)\phi .

For , [9] : $a=1$ $t=ie^{{i\phi }}$

e^{{iz\cos \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos (n\phi).

Tilbagevendende relationer

Der er en række gentagelsesrelationer for Bessel-funktioner. Her er nogle af dem:

J_{\alpha +1}={\frac {\alpha }{x))J_{\alpha }-J'_{\alpha }(x);

J_{\alpha +1}(x)+J_{\alpha -1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}J_{\alpha }(x);

J_{\alpha +1}(x)-J_{\alpha -1}(x)=-2J'_{\alpha }(x)

[10] .

Additionssætning

For ethvert heltal n og kompleks , har vi [11] $z_{1}$ $z_{2}$

J_{n}(z_{1}+z_{2})=\sum _{{k=-\infty }}^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{{nk}}( z_{2}).

Integral udtryk

For alle og (inklusive komplekse), [12] $-en$ $b$

\int _{0}^{\infty }e^{{-at))J_{n}(bt){\mathrm d}t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^ {2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.

Et særligt tilfælde af den sidste formel er udtrykket

\int _{0}^{\infty }e^{{-at))J_{0}(bt){\mathrm d}t={\frac {1}{{\sqrt {a^{2}+ b^{2}}}}}.

Se også

Noter

↑ 1 2 Zubov V. I. . Bessel funktioner . - M . : MIPT, 2007. Arkiveret kopi af 24. juni 2016 på Wayback Machine
↑ Abramowitz og Stegun, s. 437, 10.1.1 Arkiveret 2. september 2006 på Wayback Machine .
↑ Abramowitz og Stegun, s. 439, 10.1.25, 10.1.26 Arkiveret 21. december 2009 på Wayback Machine .
↑ Abramowitz og Stegun, s. 438, 10.1.11 Arkiveret 30. april 2009 på Wayback Machine .
↑ Abramowitz og Stegun, s. 438, 10.1.12 Arkiveret 30. april 2009 på Wayback Machine .
↑ Abramowitz og Stegun, s. 439, 10.1.39 Arkiveret 21. december 2009 på Wayback Machine .
↑ Abramowitz og Stegun, s. 439, 10.1.23, 10.1.24 Arkiveret 22. december 2019 på Wayback Machine .
↑ Arfken G. B., Hans J. W. . Matematiske metoder for fysikere. 6. udg. - San Diego: Harcourt, 2005. - ISBN 0-12-059876-0 .
↑ 1 2 Bateman, Erdeyi, 1974 , s. femten.
↑ V. S. Gavrilov et al. Bessel fungerer i problemer inden for matematisk fysik Arkiveret 26. november 2019 på Wayback Machine , s. 7
↑ Lavrentiev, Shabat, 1973 , s. 670.
↑ Lavrentiev, Shabat, 1973 , s. 671.

Litteratur

Watson G. Teori om Bessel funktioner. — M .: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A. . Bessel-funktioner, parabolske cylinderfunktioner, ortogonale polynomier // Højere transcendentale funktioner. T. 2. 2. udg. / Pr. fra engelsk. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1974. — 296 s.
Lavrentiev M. A., Shabat B. V. . Metoder til teorien om funktioner af en kompleks variabel. — M .: Nauka , 1973. — 736 s.