Halvsideformel

I sfærisk trigonometri anvendes halvsideformlen til at løse sfæriske trekanter .

Halvsideformel

{\begin{aligned}\tan \left({\frac {a}{2}}\right)&=R\cos(S-\alpha )\\[8pt]\tan \left({\frac {b }{2}}\right)&=R\cos(S-\beta )\\[8pt]\tan \left({\frac {c}{2}}\right)&=R\cos(S- \gamma )\end{aligned}}

hvor

α , β , γ er vinklerne i en sfærisk trekant,
a , b , c er længderne af siderne, der ligger over for henholdsvis vinklerne α , β , γ ,

$S={\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +\gamma )$

halvdelen af summen af vinklerne i en trekant, og

$R={\sqrt {{\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma ))))))$

Interessant nok er R tangenten til radius af den omskrevne cirkel af den givne sfæriske trekant [1] :78,83 . De tre formler er faktisk den samme formel, hvor kun notationen af de tilsvarende vinkler og sider er ændret.

Formel afledning

Ved cosinussætningen har vi [1] :75-77 :

\cos a={\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma )).

Derefter, ifølge dobbeltvinkelformlen (den positive rod tages, fordi siden er mindre end 180 grader):

\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\sin \beta \sin \gamma -\cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha }{2\sin \beta \sin \gamma }}}.

Ved at anvende formlen til at tilføje argumenter og formlen til at transformere summen af funktioner får vi:

\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {-\cos(\beta +\gamma )-\cos \alpha }{2\sin \beta \sin \gamma } ))={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.

På samme måde får vi for cosinus af en halv side:

\cos {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\cos(S-\beta ) \cos(S-\gamma )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.

Derfor

\operatorname {tg} {\frac {a}{2}}={\frac {\sin {\frac {a}{2}}}{\cos {\frac {a}{2}}} }={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))}=\cos(S-\alpha ){\sqrt {\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))}.

Dualen til denne formel, det vil sige formlen for en halv vinkel, kan fås fra den som sædvanlig - ved at erstatte siden med komplementet af den tilsvarende vinkel op til 180 grader og vinklerne med komplementerne af de tilsvarende sider opad til 180 grader.

Den dobbelte formel

Dobbelt til halvside formler er formler for halvvinkel [1] :74 :

{\begin{aligned}\operatørnavn {tg}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sa)))\cdot r\\[ 8pt]\operatørnavn {tg}\venstre({\frac {\beta }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sb)))\cdot r\\[8pt]\operatørnavn {tg}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sc)))\cdot r\end{aligned}}

hvor

$s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$

halvdelen af summen af siderne i en trekant, og

$r={\sqrt {{\frac {\sin(sa)\sin(sb)\sin(sc)}{\sin s))))$

Desuden vil r i dette tilfælde være tangenten til den indskrevne cirkel i den sfæriske trekant [1] :74 .

En lignende formel i planimetri er kendt som cotangenssætningen .

Ansøgning

Halvsideformlen bruges til at løse en skrå sfærisk trekant på tre sider, det vil sige når det er nødvendigt at beregne hver af dens vinkler ud fra de givne sider [1] :102-104 . Halvvinkelformlen bruges igen til at løse en skrå trekant i tre vinkler, altså når det er nødvendigt at beregne hver af dens sider for de givne tre vinkler [1] :104-108 . Hvis en sfærisk trekant har et af hjørnerne af en lige linje, i stedet for disse formler, bruges en mere bekvem mnemonisk Napiers regel til at løse det .

Se også

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 Stepanov N. N. Sfærisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 s.

Sfærisk trigonometri
Basale koncepter	sfærisk trekant polar trekant Overskydende Bigon
Formler og forhold	Cosinussætninger Sinus-sætning Formel med fem elementer Halvsideformel Napiers mnemoniske regel Sfærisk Pythagoras sætning Delambre formler Napiers analogi formler Legendres sætning Løsning af trekanter
relaterede emner	Sfærisk koordinatsystem sfærisk geometri trihedral vinkel