Trunkering (geometri)

Den afkortede firkant er en regulær ottekant: t{4} = {8} =

Afkortet terning t{4,3} eller

Trunkeret kubisk honeycomb t{4,3,4} or

Trunkering  er en operation i rummet af enhver dimension, som afskærer hjørnerne af et polyeder , og hvor nye flader dannes i stedet for hjørnerne. Udtrykket stammer fra navnene på de arkimedeiske faste stoffer givet af Kepler .

Ensartet klipning

Generelt kan enhver polytop afkortes med en vis grad af frihed i valg af trunkeringsdybde, som vist i artiklen Conway's Notation for Polytopes .

En almindeligt anvendt type trunkering er ensartet trunkering , hvor trunkeringsoperationen påføres et regulært polyeder og resulterer i et ensartet polyeder med ens kantlængder. I dette tilfælde er der ingen valgfrihed, og som et resultat får vi veldefinerede geometriske legemer, der ligner almindelige polyedre.

I det generelle tilfælde har alle ensartede polyedre med en skitseret knude (i Coxeter-Dynkin-diagrammet) en ensartet trunkering. For eksempel icosidodecahedron , repræsenteret ved Schläfli-symbolerne r{5,3} eller og med Coxeter-Dynkin-diagrammerne eller, har en ensartet trunkering — et rombisk trunkeret icosidodecahedron med notationer tr{5,3} eller ,. I Coxeter-Dynkin-diagrammet er trunkeringseffekten manifesteret i det faktum, at cirkler vises ved alle knudepunkter, der støder op til den cirklede.

Afkortning af polygoner

En afkortet n-sidet polygon vil have 2n sider. En ensartet afkortet regulær polygon bliver en anden regulær polygon: t{n} = {2n}. Den fulde trunkering , r{3}, er en anden regulær polygon, dobbelt til den oprindelige.

Regulære polygoner kan også repræsenteres af Coxeter-Dynkin-diagrammet ,, og dens ensartede trunkering vil have et diagram, og dens fulde trunkering er et diagram. Kurverepræsenterer en Coxeter-gruppe I 2 (n), hvor hver knude er et spejl, og hver kant repræsenterer en vinkel π/ n mellem spejlene, mens cirklerne omkring et eller to spejle angiver, hvilke af dem der er aktive.

{3}

t{3} = {6}

r{3} = {3}

Stjernepolygoner kan også afkortes. Det afkortede pentagram {5/2} vil ligne en femkant , men er faktisk en dobbelt dækket (degenereret) dekagon ({10/2}) med to sæt overlappende hjørner og sider. Et afkortet stort heptagram (sevenkantet stjerne) {7/3} giver en fjortentakkede stjerne {14/3}.

Ensartet trunkering af regulære polytoper og tessellationer

Når det kommer til trunkering af regulære polyedre eller fliser af regulære polygoner , bruges "ensartet trunkering" normalt, hvilket indebærer trunkering til det punkt, hvor de oprindelige flader bliver regulære polygoner med dobbelt så mange sider.

Sekvensen i figuren viser et eksempel på trunkering af en terning, der viser fire trin fra en kontinuerlig trunkeringsproces fra en fuld terning til en fuld afkortningsterning . Den endelige krop er et cuboctahedron .

Det midterste billede er en ensartet afkortet terning . Det er repræsenteret ved Schläfli-symbolet t { p , q ,...}.

Dyb trunkering  er en stærkere trunkering, der fjerner alle de originale kanter, men forlader det indre af de originale flader. For eksempel erafkortet oktaederen dybt afkortet terning: 2t{4,3}.

Fuld dyb trunkering kaldes birektifikation, og det reducerer de oprindelige flader til punkter. I dette tilfælde bliver polyederet til et dobbelt polyhedron . For eksempel er oktaederet en fuldstændig dyb trunkering af terningen : {3,4} = 2r{4,3}.

En anden type trunkering er all- round trunkering , som afskærer kanter og spidser, hvilket resulterer i rektangler i stedet for kanter.

Polyedre i højere dimensioner har andre niveauer af trunkering - rangering , hvor flader, kanter og hjørner er afskåret. I dimensioner over 5 er der en sterikation , som afskærer flader, kanter og spidser, såvel som tredimensionelle flader.

Kantafkortning

Kantafskæring  er affasning af et polyeder, som i tilfældet med all-round trunkering, men hjørnerne forbliver, og kanterne erstattes af sekskanter. I et 4-dimensionelt polyeder er kanterne erstattet af aflange bipyramider .

Ændringer eller delvise trunkeringer

Alternering eller delvis trunkering fjerner kun nogle af de oprindelige hjørner.

Ved delvis trunkering eller alternering fjernes halvdelen af ​​toppunkterne og kanterne helt. Operationen kan anvendes på polyedre, hvis ansigter har et lige antal sider. Ansigter skærer antallet af sider i halve, og firkantede flader går over kanter. For eksempel er tetraederet en vekslen af ​​terningen, h{4,3}.

Fravigelse  - en mere generel term brugt for Johnson polyhedra , involverer fjernelse af en eller flere hjørner, kanter eller flader uden at påvirke de resterende hjørner. For eksempel fås et triformindsket icosahedron fra et regulært icosahedron ved at fjerne tre hjørner.

Andre partielle trunkeringer er baseret på symmetri. For eksempel det tetraedrisk reducerede dodekaeder .

Generaliserede trunkeringer

Den lineære trunkeringsproces kan generaliseres ved at tillade trunkeringsparameteren at være negativ eller lade den passere gennem midten af ​​en kant, hvilket resulterer i selvskærende stjernepolytoper. Sådanne polyedre kan relateres til nogle regulære stjernepolygoner og ensartede stjernepolyedre .

• Lille trunkering  - kanter reduceres i størrelse, flader fordobler antallet af sider, nye flader dannes i stedet for tidligere hjørner.
• Ensartet trunkering  er et særligt tilfælde, hvor alle resulterende kanter har samme længde. I den afkortede terning , t{4,3}, bliver de firkantede flader omdannet til ottekanter, og trekanter dannes i stedet for hjørner.
• Antitrunkering er det modsatte af overfladisk trunkering . Resultatet er et polyeder, der ligner originalen, men har dele hængende i hjørnerne i stedet for at skære hjørnerne af.
• Fuld trunkering  - begrænsende overfladisk trunkering, hvor kanterne reduceres til punkter. Et eksempel er Cuboctahedron , r{4,3}.
• Hypertrunkering er en type trunkering, der går ud over fuld trunkering ved at vende de oprindelige kanter, hvilket resulterer i selvskæringer.
• Kvasi -trunkering er en type trunkering, der går ud over hypertrunkering, hvor de omvendte kanter bliver længere end de oprindelige. Denne trunkering kan opnås fra det oprindelige polyeder ved at trække flader tilbage fra kanter, det vil sige at bevæge sig i den modsatte retning fra toppunktet. For eksempel giver kvasi-trunkering af et kvadrat et regulært oktagram (t{4,3}={8/3}), og kvasi-trunkering af en terning giver et ensartet stjerneformet afkortet sekskant , t{4/3 ,3}.

Se også

• Ensartet polyeder
• Ensartet firedimensionelt polyeder
• Dobbelt trunkering (geometri)
• fuld afkortning
• Alternation (geometri)
• Conway notation for polyeder

Noter

Litteratur

• HS M Coxeter . Kapitel 8: Transkation //Almindelige polytoper . — 3. udgave. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - S.  145-154 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Norman Johnson . Uniforme polytoper. Manuskript, 1991.
• Norman Johnson . Teorien om ensartede polytoper og honningkager. — University of Toronto: Ph.D. afhandling, 1966.

Links

• Weisstein, Eric W. Truncation  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
• Ordliste For Hyperspace
• Polyeder navne, trunkering

Fonden	trunkering	fuld afkortning	Dyb trunkering	Dualitet _	udstrækning	Trunkering	Alternation
t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}