Keplers ligning

Kepler-ligningen beskriver et legemes bevægelse langs en elliptisk bane i to-kropsproblemet og har formen:

Ee\,\sin E=M

hvor er den excentriske anomali , er den orbitale excentricitet og er den gennemsnitlige anomali . $E$ $e$ $M$

Denne ligning blev først opnået af astronomen Johannes Kepler i 1619 . Spiller en væsentlig rolle i himmelens mekanik .

Varianter af Kepler-ligningen

Keplers ligning i sin klassiske form beskriver kun bevægelse langs elliptiske baner, det vil sige ved . Bevægelse langs hyperbolske baner adlyder Keplers hyperbolske ligning , som i form ligner den klassiske. Bevægelse i en lige linje er beskrevet af Keplers radiale ligning . Endelig bruges Barker-ligningen til at beskrive bevægelse i en parabolsk bane . Når baner ikke eksisterer. $0\leq e<1$ $(e>1)$ $(e=-1)$ $(e=1)$ $e<0$

Et problem, der fører til Kepler-ligningen

Overvej bevægelsen af et legeme i kredsløb i et andet legemes felt. Lad os finde afhængigheden af kroppens position i kredsløb til tiden. Af Keplers anden lov følger det

r^{2}{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)} }

Her er afstanden fra kroppen til gravitationscentret, er den sande anomali vinklen mellem retningerne til pericentret af kredsløbet og til kroppen, er produktet af gravitationskonstanten og massen af gravitationslegemet, er kredsløbets semi-hovedakse. Herfra er det muligt at opnå afhængigheden af tidspunktet for bevægelse langs kredsløbet fra den sande anomali: $r$ $\vartheta$ ${\displaystyle \mu =GM_{0))$ $-en$

t-t_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)))}\int \limits _{0}^{\ vartheta }r^{2}d\vartheta

Her er tidspunktet for passage gennem periapsis. $t_0$

Yderligere løsning af problemet afhænger af den type kredsløb, som kroppen bevæger sig langs.

Elliptisk bane

Ellipseligningen i polære koordinater har formen

{\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos {\vartheta ))))

Så tager ligningen for tid formen

{\displaystyle t-t_{0}={\frac {\left(a\left(1-e^{2}\right)\right)^{3/2)){\sqrt {\mu ))} \int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+e\cos {\vartheta })^{2))))

For at tage integralet skal du indføre følgende substitution:

\operatorname {tg} {\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {E }{2}}

Værdien af E kaldes den excentriske anomali . Takket være denne substitution er integralet let at tage. Det viser sig følgende ligning:

t-t_{0}={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}\left(Ee\sin E\right)

Værdien er den gennemsnitlige vinkelhastighed for kroppen i kredsløb. I himmelmekanik bruges udtrykket middel bevægelse for denne størrelse . Produktet af den gennemsnitlige bevægelse og tid kaldes den gennemsnitlige anomali M. Denne værdi er den vinkel, hvor kroppens radiusvektor ville dreje, hvis den bevægede sig i en cirkulær bane med en radius, der er lig med hovedhalvaksen af kroppens bane. ${\sqrt {{\frac {\mu }{a^{3))))}$

Således får vi Kepler-ligningen for elliptisk bevægelse:

Ee\sin E=M

Hyperbolsk kredsløb

Ligningen for en hyperbel i polære koordinater har samme form som ligningen for en ellipse. Derfor opnås integralet i samme form. Den excentriske anomali kan dog ikke bruges i dette tilfælde. Vi bruger den parametriske repræsentation af hyperbelen: , . Så tager ligningen for hyperbelen formen $x=-a\,{\mathrm {ch}}\,H$ $y=a{\sqrt {e^{2}-1}}\,\mathrm {sh} \,H$

r=a\left(e\,\mathrm {ch} \,H-1\right)

og forholdet mellem og $\vartheta$ $H$

\mathrm {tg} \,{\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\,\mathrm {th} \,{ \frac {H}{2}}

Takket være denne substitution antager integralet den samme form som i tilfælde af en elliptisk bane. Efter at have udført transformationerne får vi den hyperbolske Kepler-ligning:

M=e\,{\mathrm {sh}}\,HH

Mængden kaldes den hyperbolske excentriske anomali . Siden , så kan den sidste ligning transformeres som følger: $H$ ${\mathrm {sh}}\,H=-i\sin {iH}$

M=-ei\sin {iH}-H=i\left(iH-e\sin {iH}\right)=i\left(Ee\sin E\right)

Herfra er det klart, at . $E=iH$

Parabolsk kredsløb

Parabelligningen i polære koordinater har formen

$r={\frac {2\,r_{\pi }}{1+\cos \vartheta }}$

hvor er afstanden til periapsis. Keplers anden lov for tilfældet med bevægelse langs en parabolsk bane $r_{\pi }$

$r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {2\,\mu \,r_{\pi }}}$

Hvor får vi det integral, der bestemmer bevægelsestidspunktet

${\displaystyle t-t_{0}=2\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0} ^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+\cos \vartheta )^{2))))$

Vi introducerer en universel trigonometrisk ændring

$z={\rm {tg}}\,{\frac {\vartheta }{2)),\quad \vartheta =2\,{\rm {arctg}}\,z,\quad d\vartheta ={\frac {2\,dz}{1+z^{2}}},\quad \cos \vartheta ={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}$

og transformere integralet

$t-t_{0}=4\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0} ^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}{\frac {\cfrac {dz}{1+z^{2}}}{\left(1+{\ cfrac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right)^{2}}}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\ pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}(1+z^{2})\ ,dz=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left.\left(z+{\frac {z^{3}}{ 3}}\right)\right|_{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}$

får vi endelig

$t-t_{0}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\venstre({\rm {tg\,} }{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\rm {tg^{3}\,}}{\frac {\vartheta }{2}}\right)$

Sidstnævnte forhold er kendt i himmelmekanik som Barker-ligningen .

Radial kredsløb

En bane kaldes en radial bane, som er en lige linje, der går gennem et tiltrækningscenter. I dette tilfælde er hastighedsvektoren rettet langs banen, og der er ingen transversal komponent [1] , hvilket betyder

$v={\frac {dr}{dt))$

Vi vil finde sammenhængen mellem kroppens position i kredsløb og tid ud fra energiovervejelser

${\frac {m\,v^{2}}{2}}-{\frac {m\,\mu }{r}}={\rm {const}}$

$v^{2}={\frac {2\mu }{r}}+h$

er energiintegralet. Derfor har vi differentialligningen

${\frac {dr}{dt}}=\pm {\sqrt ({\frac {2\mu }{r}}+h}}$

Ved at adskille variablerne i denne ligning kommer vi frem til integralet

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {{ \cfrac {2\mu }{r}}+h}}}$

hvis beregningsmetode bestemmes af konstantens fortegn . Der er tre tilfælde $h$

$h<0$ retlinet elliptisk bane

Svarer til det tilfælde, hvor kroppens samlede mekaniske energi er negativ, og efter at have bevæget sig til en vis maksimal afstand fra det tiltrækkende centrum, begynder den at bevæge sig i den modsatte retning. Dette er analogt med at bevæge sig i en elliptisk bane. For at beregne integralet introducerer vi erstatningen

${\frac {2\,\mu }{r}}={\frac {-h}{\sin ^{2}u}},\quad u_{0}={\rm {arcsin}} {\sqrt {\frac {-h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsin}}{\sqrt {\frac {-h\ ,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{-h}}\sin u\cos u\,du$

udregn integralet

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{-h{\sqrt {-h))))\int \limits _{ u_{0}}^{u_{1}}\sin ^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{-h{\sqrt {-h))))\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\left(1-\cos {2u}\right)\,du={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}} }\left.\left(2\,u-\sin 2u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}$

Forudsat at vi skriver resultatet $E=2\,u$

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h))))\left(E_{1}-E_ {0}-\sin E_{1}+\sin E_{0}\right)$

tager vi som en (uopnåelig i virkeligheden) betinget periapsis , og retningen af starthastigheden fra det tiltrækkende centrum, får vi den såkaldte radiale Kepler-ligning, som relaterer afstanden fra det tiltrækningscenter med bevægelsestidspunktet $r_{0}=0$

$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h))))\left(E-\sin E\right)$

hvor . ${\displaystyle E=2\arcsin {\sqrt {\frac {-h\,r}{2\,\mu ))))$

$h=0$ retlinet parabolsk bane

Et radialt udsendt legeme vil bevæge sig til det uendelige fra det tiltrækkende centrum, med en hastighed lig med nul ved uendeligt. Svarer til tilfældet med bevægelse med parabolsk hastighed. Det enkleste tilfælde, fordi det ikke kræver udskiftning i integralet

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {\ cfrac {2\mu }{r))))={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\mu }}}\left(r_{1}{\sqrt {r_ {1}}}-r_{0}{\sqrt {r_{0}}}\right)$

Tager vi de indledende betingelser for det første tilfælde, får vi den eksplicitte lov om bevægelse

$r(t)=\left[3{\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\left(t_{1}-t_{0}\right)\right]^{\frac { 2}{3}}$

$h>0$ retlinet hyperbolsk kredsløb

Svarer til afgangen fra det tiltrækkende centrum til det uendelige. I det uendelige vil kroppen have en fart, . Vi introducerer en erstatning $v_{\infty }={\sqrt {h))$

${\frac {2\,\mu}{r))={\frac {h}({\rm {sh))^{2}u)),\quad u_{0}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac { h\,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu}{h}}\,{\rm {sh}}u\,{\ rm {ch}}u\,du$

og udregn integralet

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{h{\sqrt {h))))\int \limits _{u_{ 0}}^{u_{1}}{\rm {sh}}^{2}u\,du={\frac {2\,\mu}{h{\sqrt {h}}}}\int \ grænser _{u_{0}}^{u_{1}}\left({\rm {ch}}{2u}-1\right)\,du={\frac {\mu }{h{\sqrt { h))))\left.\left({\rm {sh}}2u-2\,u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}$

Forudsat at vi får $H=2\,u$

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{h{\sqrt {h))))\left({\rm {sh))\ ,H_{1}-{\rm {sh}}\,H_{0}-H_{1}+H_{0}\right)$

Forudsat at startbetingelserne ligner det første tilfælde, har vi Keplers hyperbolske radiale ligning

$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{h{\sqrt {h))))\left({\rm {sh))HH\right)$

hvor ${\displaystyle H=2\,{\rm {arcsh)){\sqrt {\frac {h\,r}{2\,\mu ))))$

Løsning af Kepler-ligningen

Løsningen af Kepler-ligningen i de elliptiske og hyperbolske tilfælde findes og er unik for enhver reel M [2] . For en cirkulær bane (e \u003d 0) tager Kepler-ligningen den trivielle form M \u003d E. Generelt er Kepler-ligningen transcendental . Det løses ikke i algebraiske funktioner. Imidlertid kan dens løsning findes på forskellige måder ved hjælp af konvergent serier . Den generelle løsning til Kepler-ligningen kan skrives ved hjælp af Fourier-serier :

E=M+2\cdot \sum _{n=1}^{n}{\frac {1}{n))J_{n}\left(n\,e\,\right)\cdot \sin{nM}

hvor

J_{m}\left(x\right)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi}\cos \left(mE-x\sin {E}\ højre) dE

er Bessel-funktionen .

Denne serie konvergerer, når værdien af ε ikke overstiger værdien af Laplace-grænsen .

Tilnærmede metoder

Blandt de numeriske metoder til løsning af Kepler-ligningen anvendes ofte fikspunktsmetoden (“simpel iterationsmetode”) og Newtons metode [3] . For det elliptiske tilfælde i fastpunktsmetoden kan man tage M som startværdien af E 0 , og successive tilnærmelser har følgende form [2] :

E_{n+1}=e\,\sin E_{n}+M

I det hyperbolske tilfælde kan fikspunktsmetoden ikke bruges på denne måde, men denne metode gør det muligt for et sådant tilfælde at udlede en anden tilnærmelsesformel (med en hyperbolsk invers sinus) [2] :

H_{n+1}=\operatørnavn {Arsh} {\frac {H_{n}+M}{e))

Noter

↑ Lukyanov, Shirmin, 2009 , s. 70-71.
↑ 1 2 3 Balk M. B. Løsning af Kepler-ligningen // Elementer af rumflyvningsdynamik. - M . : Nauka , 1965. - S. 111-118. - 340 sek. — (rumflugtens mekanik).
↑ Balk M. B., Demin V. G., Kunitsyn A. L. Løsning af Kepler-ligningen // Opsamling af opgaver om himmelmekanik og kosmodynamik. — M .: Nauka , 1972. — S. 63. — 336 s.

Litteratur

D. E. Okhotsimsky , Yu. G. Sikharulidze. Grundlæggende om rumflyvningens mekanik. - Moskva: "Nauka", 1990.
V. E. Zharov. Sfærisk astronomi . - Fryazino, 2006. - S. 480 . — ISBN ISBN 5-85099-168-9 .
G. M. Fikhtengolts. Forløb af differential- og integralregning. Bind 3
Lukyanov L.G., Shirmin G.I. Forelæsninger om himmelmekanik. - Almaty, 2009. - S. 276.

Himmelsk mekanik

Love og opgaver	Newtons love Tyngdeloven Keplers love To kropsproblem Tre kropsproblem Gravitationelt N-legeme problem Bertrands problem Keplers ligning
Himmelsfære	Himmelsk koordinatsystem galaktisk vandret ækvatorial ekliptik Internationalt himmelsk koordinatsystem Sfærisk koordinatsystem verdens akse Himmelsk ækvator højre opstigning deklination Ekliptik Equinox Solhverv grundplan
Baneparametre _	Kepleriske elementer i kredsløbet excentricitet semi-hovedakse betyder anomali stigende node længdegrad periapsis argument Apocenter og periapsis Orbital hastighed Orbit node Epoke
Bevægelse af himmellegemer	Solens og planeternes bevægelse i himmelsfæren Ephemeris Planet konfigurationer konfrontation sammensatte kvadratur forlængelse parade af planeter Formørkelse solformørkelse måneformørkelse saros Metonisk cyklus Belægning Går igennem klimaks siderisk periode synodisk periode Rotationsperiode orbital resonans Equinox præludium Tilnærmelse librering Tyngdekraftens omfang Kozai effekt Yarkovsky effekt Dzhanibekov effekt

Astrodynamik

Rumfart	rumhastighed første (cirkulær) anden (parabolsk) tredje fjerde Tsiolkovskys formel Tyngdekraftsmanøvre Hohmanns bane Metode til at oskulere elementer Tidevandsacceleration Orbital hældningsændring Interplanetarisk transportnetværk Docking Lagrange punkter Pioneer effekt
SC -kredsløb	geostationær bane Heliocentrisk bane geosynkron bane geocentrisk bane geotransfer kredsløb Lav kredsløb om jorden polar bane Orbit "Tundra" Solsynkron bane Orbit "Lyn" Oskulerende kredsløb

Johannes Kepler
Videnskabelige resultater	Keplers hypotese Keplers love Kepleriske elementer i kredsløbet Kepler trekant Keplers ligning Kepler-Poinsot krop Supernova Kepler
Publikationer	Mysterium Cosmographicum (1596) Astronomia nova (1609) Epitome Astronomiae Copernicanae (1617-21) Harmonices Mundi (1619) Rudolfinborde (1627) somnium (1634)
En familie	Katharina Kepler (mor) Jacob Barch (svigersøn)