Trekantet matrix
En trekantet matrix er en kvadratisk matrix i lineær algebra , hvor alle elementer under (eller over) hoveddiagonalen er lig med nul.
Grundlæggende definitioner
En øvre trekantet matrix (eller en øvre trekantet matrix ) er en kvadratisk matrix , hvor alle elementer under hoveddiagonalen er lig med nul: ved [1] [2]
En lavere trekantet matrix (eller lavere trekantet matrix ) er en kvadratisk matrix , hvor alle indgange over hoveddiagonalen er lig med nul: ved [1] [2] .
En enhedstriangulær matrix (øvre eller nedre) er en trekantet matrix , hvor alle elementer på hoveddiagonalen er lig med en: [3] .
En diagonal matrix er både øvre trekantet og nedre trekantet [4] .
Ansøgning
Trekantede matricer bruges primært til at løse systemer af lineære algebraiske ligninger (SLAE). For eksempel er den Gaussiske metode til løsning af SLAE baseret på følgende resultat [5] :
- enhver matrix ved elementære transformationer over rækker og permutationer af rækker kan reduceres til en trekantet form.
Således er løsningen af den oprindelige SLAE reduceret til at løse et system af lineære ligninger med en trekantet matrix af koefficienter, hvilket ikke er svært.
Der er en variant af denne metode (kaldet det kompakte gaussiske skema) baseret på følgende resultater [6] :
- en hvilken som helst kvadratisk matrix med ikke-nul førende principale minorer kan repræsenteres som et produkt af en nedre trekantet matrix og en øvre :trekantet matrix er entriangulær;
- enhver ikke - degenereret kvadratisk matrix kan repræsenteres i følgende form :
Egenskaber
- Determinanten for en trekantet matrix er lig med produktet af elementerne i dens hoveddiagonal [7] (især er determinanten af en entriangulær matrix lig med en).
- Sættet af ikke- degenererede øvre trekantede matricer af orden n ved multiplikation med elementer fra feltet k danner en gruppe [4] , som er betegnet med UT ( n , k ) eller UT n ( k ).
- Sættet af ikke-degenererede lavere trekantede matricer af orden n ved multiplikation med elementer fra feltet k danner en gruppe [4] , som er betegnet med LT ( n , k ) eller LT n ( k ).
- Sættet af øvre enhedstriangulære matricer med elementer fra feltet k danner en undergruppe af UT n ( k ) ved multiplikation, som betegnes SUT ( n , k ) eller SUT n ( k ). En lignende undergruppe af lavere enhedstriangulære matricer betegnes SLT ( n , k ) eller SLT n ( k ).
- Mættet af alle øvre trekantede matricer med elementer fra den associative ring k danner en algebra med hensyn til operationer med addition, multiplikation med ringelementer og matrixmultiplikation. Et lignende udsagn gælder for lavere trekantede matricer.
- Gruppen UT n er løsbar , og dens entriangulære undergruppe SUT n er nilpotent .
Se også
- System af lineære algebraiske ligninger
- Elementære matrix transformationer
- Identitetsmatrix
- Diagonal matrix
Noter
- ↑ 1 2 Voevodin og Kuznetsov, 1984 , s. 27.
- ↑ 1 2 Ikramov, 1991 , s. 9-10.
- ↑ Ikramov, 1991 , s. ti.
- ↑ 1 2 3 Gantmakher, 1988 , s. 27.
- ↑ Gantmakher, 1988 , s. 42-43.
- ↑ Voevodin og Kuznetsov, 1984 , s. 76, 174-175.
- ↑ Voevodin og Kuznetsov, 1984 , s. tredive.
Litteratur
- Voevodin V.V. , Kuznetsov Yu.A. Matricer og beregninger. — M .: Nauka , 1984. — 320 s.
- Gantmakher F. R. . Matrix teori. 4. udg. — M .: Nauka , 1988. — 552 s. — ISBN 5-02-013722-7 .
- Ikramov H. D. . Asymmetrisk egenværdi problem. Numeriske metoder. — M .: Nauka , 1991. — 240 s. — ISBN 5-02-014462-2 .