Feuerbach punkt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. juni 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Feuerbachs punkt (Feuerbachs sætning ) er tangenspunktet for den indskrevne cirkel til cirklen af ​​ni punkter i trekanten . Feuerbach-punktet er et tangentpunkt i en trekant, hvilket betyder, at dets definition ikke afhænger af trekantens placering og størrelse. Punktet er inkluderet med koden X(11) i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centres og opkaldt efter Karl Wilhelm Feuerbach [1] [2] .

Feuerbachs sætning siger, at cirklen med ni punkter berører de tre cirkler i en trekant, såvel som dens indskrevne cirkel [3] . Udgivet af Feuerbach i 1822 [4] . Et meget kort bevis for denne sætning er baseret på Caseys sætning om ydre tangenter til fire cirkler, der ikke skærer hinanden og rører ved den femte cirkel, der er inde i den [5] . Feuerbachs teorem blev også brugt som en testcase for automatisk bevis [6] . Excirklernes tre tangenspunkter danner den såkaldte Feuerbach -trekant i den givne trekant.

Konstruktion

Den indskrevne cirkel af trekanten ABC er cirklen, der tangerer alle tre sider af trekanten. Dens centrum er skæringspunktet mellem trekantens tre halveringslinjer .

Cirklen med ni punkter er defineret for en trekant og kaldes det, fordi den passerer gennem ni bemærkelsesværdige punkter i trekanten, blandt hvilke midtpunkterne på trekantens sider er de enkleste med hensyn til konstruktion. En cirkel med ni punkter passerer gennem disse tre midtpunkter på siderne. Det er således den omskrevne cirkel af mediantrekanten .

Disse to cirkler mødes på samme sted, hvor de rører hinanden. Dette tangentpunkt er Feuerbach-punktet i trekanten .

Ud over trekantens indskrevne cirkel er tre andre excirkler forbundet med den . Det er cirkler, der rører ved de tre forlængelser af trekantens sider. Hver cirkel er tangent til den ene side af trekanten på ydersiden og to forlængelser af de andre sider. Ligesom den indskrevne cirkel tangerer excirklerne ni-punktscirklen. Deres kontaktpunkter med cirklen af ​​ni punkter danner Feuerbach trekanten.

Egenskaber

Feuerbach-punktet ligger på en lige linje, der går gennem centrene i de cirkler, der definerer dette punkt . Disse centre er midten af ​​den indskrevne cirkel og midten af ​​cirklen af ​​trekantens ni punkter [1] [2] .

Lad , og være tre afstande fra Feuerbach-punktet til hjørnerne af den midterste trekant (midtpunkterne på siderne BC=a, CA=b og AB=c i den oprindelige trekant). Derefter: [7] [8]

eller tilsvarende er den største af de tre afstande lig med summen af ​​de to andre.

Især har vi

hvor O er trekantens omskårne cirkulære centrum og I er dens cirkulære centrum [9] .

Den sidste egenskab er også sand for tangentpunkterne for enhver cirkel med en ni-punkts cirkel: den største afstand fra dette tangentpunkt til midtpunktet af siden af ​​den oprindelige trekant er lig med summen af ​​afstandene til de to andre midtpunkter af siderne [8] .

Hvis en cirkel indskrevet i trekant ABC berører siderne BC, CA, AB i henholdsvis punkterne X , Y og Z , og midtpunkterne på disse sider er punkterne P , Q og R , så er trekanter FPX , FQY og FRZ med Feuerbach-punkt F ens til trekanter henholdsvis AOI, BOI , COI [10] .

Af Feuerbach-sætningen følger det, at Feuerbach-punktet ligger på cirkler, der er afgrænset omkring:

  1. midtpunkterne af trekantens sider;
  2. højdebaser;
  3. tangenspunkter i den indskrevne cirkel, men det følger også af Emelyanov-sætningen, at dette punkt ligger på;
  4. en cirkel beskrevet nær halveringslinjernes baser;
  5. den omskrevne cirkel om cirklernes berøringspunkter med trekantens sider [11] .

Feuerbach punkt og Simson linjer

Feuerbach-punkt for en given indskrevet eller omkreds (tre-tangens cirkel fra engelsk. En tritangent cirkel ) er skæringspunktet for 2 Simson-linjer , bygget til enderne af diameteren af ​​den omskrevne cirkel, der passerer gennem det tilsvarende centrum af den indskrevne eller omkreds. Feuerbach-punktet kan således konstrueres uden at bruge den tilsvarende incirkel eller excirkel og Euler-cirklen, der tangerer dertil [12] .

Feuerbach peger som ortopoler

I engelsk litteratur kaldes 4 centre af 4 cirkler: 1 indskrevne og 3 cirkler med henholdsvis centre, der rører ved henholdsvis 3 forskellige sider af trekanten eller deres forlængelser, 4 tritangent centre af trekanten (eng. de tritangente centre ) [13] .

Denne bemærkning er vigtig for følgende udsagn: " Feuerbach-punkterne i en trekant er ortopoler i en given trekant, hvis diametrene af den omskrevne cirkel, der går gennem de tilsvarende tre-tangenscentre, tages som linjer ℓ for disse ortopoler " [14] .

Koordinater

De trilineære koordinater for Feuerbach-punktet er: [2]

Dens barycentriske koordinater er: [8]

hvor s er halvperimeteren ( a+b+c)/2 af trekanten.

Tre linjer fra toppunkterne i den oprindelige trekant gennem de tilsvarende toppunkter i Feuerbach-trekanten skærer hinanden ved et andet bemærkelsesværdigt punkt i trekanten, opført under tallet X(12) i Encyclopedia of Remarkable Points of a Triangle.

Dens trilineære koordinater er [2] :

Noter

  1. ↑ 1 2 Kimberling, 1994 , s. 163-187.
  2. ↑ 1 2 3 4 Encyclopedia of Remarkable Points of a Triangle Arkiveret 19. april 2012. , tilgået 2014-10-24.
  3. ↑ Scheer, 2011 , s. 205-210.
  4. ↑ Feuerbach, Buzengeiger, 1822 .
  5. ↑ Casey, 1866 , s. 396-423.
  6. ↑ Chou, 1988 , s. 237-267.
  7. ↑ Eric Weisstein Feuerbach Point
  8. ↑ 1 2 3 Kiss, 2016 , s. 283-290.
  9. ↑ Kiss, 2016 , s. 283-290 Forslag. 3.
  10. ↑ Kiss, 2016 , s. 283-290 Forslag. fire.
  11. ↑ Emelyanovs, 2002 , s. 78.
  12. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Bemærkning. S.273
  13. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Tritangentcentrene. s. 73-78
  14. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §698. følge. S.290

Litteratur

Læsning for yderligere læsning