Potential teori

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. april 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Potentialteori - en gren af matematik og matematisk fysik , dedikeret til studiet af egenskaberne af differentialligninger i partielle afledte i områder med en tilstrækkelig glat grænse ved at indføre specielle typer integraler, der afhænger af visse parametre, kaldet potentialer .

Abstrakt potentialteori er en generalisering af potentialteori til abstrakte topologiske rum [1] ; som den abstrakte hovedteori bruges begrebet et harmonisk rum - et vilkårligt topologisk rum udstyret med et bundt af kontinuerte reelle funktioner, der har ( aksiomatisk fikserede ) egenskaber, der er karakteristiske for harmoniske funktioner [1] .

Historie

Det opstod oprindeligt som en del af den himmelske mekanik , hvor man studerede egenskaberne af tiltrækningskræfter, der virker i henhold til loven om universel gravitation . Det vigtigste bidrag til skabelsen og den indledende udvikling af teorien blev lavet af Newton , Lagrange , Legendre , Laplace . Især Lagrange viste, at feltet med gravitationskræfter er potentielt .

Startende med Gauss begyndte metoden med potentialer også at blive anvendt på problemerne med elektrostatik og magnetisme , "masser" (ladninger, magnetisering) af et vilkårligt tegn begyndte at blive betragtet som potentialer. Som led i udviklingen af teorien i det 19. århundrede blev de vigtigste grænseværdiproblemer identificeret: Dirichlet-problemet , Neumann -problemet , Robin -problemet , massebalayage-problemet , Lyapunov og Steklov ydede et væsentligt bidrag til studiet af grundlæggende grænseværdiproblemer i slutningen af 1800-tallet .

Resultaterne af teorien blev væsentligt generaliseret i begyndelsen af det 20. århundrede ved hjælp af måleapparatet og generaliserede funktioner . Efterfølgende er analytiske , harmoniske og subharmoniske funktioner involveret i potentialteori, et værktøjssæt efter sandsynlighedsteori .

I 1950'erne, baseret på metoderne topologi og funktionel analyse , blev en aksiomatisk abstrakt teori om potentialer udviklet.

Hovedtyper af potentialer

Logaritmiske potentialer (todimensionelle potentialer)

Områdets potentiale

På et plan er det logaritmiske volumenpotentiale (eller arealpotentiale) et integral af formen

{\displaystyle V(M)=\int \limits _{D}\rho (Q)\ln {\frac {1}{R_{QM))}d\sigma _{Q))

Hvis tætheden er kontinuerlig sammen med dens første afledte, så er volumenpotentialet den klassiske løsning til Poisson-ligningen : $\rho (M)$

{\Delta }V=-{2\pi \rho }

Logaritmisk potentiale for et simpelt lag

I det todimensionelle tilfælde er potentialet for et simpelt lag integralet:

V(M)=\int \limits _{C}\mu (P)\ln {\frac {1}{R_{MP}}}dl_{P}

hvor er en eller anden kurve. $C$

Dobbeltlags logaritmisk potentiale

Potentialet for dobbeltlaget på planet er integralet:

W(M)=-\int \limits _{C}\nu (P){\frac {\partial }{\partial n_{P))}\ln {\frac {1}{R_{MP }}}dl_{P}

hvor er den udadgående normal til kurven i punktet . I tilfælde af en åben kurve vælges retningen af den ydre normal vilkårligt. ${\displaystyle \mathbf {n} _{P))$ $C$ $P$

Tredimensionelle potentialer

Massepotentiale

Lad funktionen , integral $D$ $\rho (M)$

V(M)=\int \limits _{D}{\frac {\rho (Q)}{R_{QM))}dV

kaldet volumenpotentialet.

Funktionen er potentialet for en enhedspunktladning, defineret ved alle punkter , koncentreret i et punkt . Hvis en ladning med en volumentæthed er kontinuerligt fordelt i regionen , så er det i kraft af superpositionsprincippet naturligt at antage, at potentialet skabt af en given volumenladningsfordeling er udtrykt ved ovenstående integral. Funktionen kaldes den potentielle tæthed. ${\displaystyle {\frac {1}{R_{QM))))$ $M\neq Q$ $Q$ $D$ $\rho (M)$ $\rho (M)$

Hvis tætheden er kontinuerlig sammen med dens første afledte, så er volumenpotentialet den klassiske løsning til Poisson-ligningen : $\rho (M)$

{\displaystyle {\Delta}V=-{4\pi \rho ))

Overfladepotentialer Simpelt lagpotentiale

Potentialet for et simpelt lag i det tredimensionelle tilfælde er integralet

V(M)=\int \limits _{S}\mu (P){\frac {dS_{P}}{R_{MP}}},

hvor er en overflade, er en funktion defineret på overfladen , det kaldes den potentielle tæthed af et simpelt lag. $S$ $\mu (P)$ $S$

Ejendomme:

$\Delta V(M)=0,\forall M\notin S.$
$V=O\left({\frac {1}{r}}\right),r\rightarrow \infty .$
$V\in C(\mathbb {R} ^{3})$ , hvis er en glat overflade , er tætheden afgrænset og kontinuerlig. $S$ $\mu (Q)$
Lade være en lukket Lyapunov overflade, der afgrænser domænet , , være den ydre normal til overfladen på punktet . Derefter bestemmes den potentielle diskontinuitet, når den passerer gennem overfladen , af følgende formler: $S$ $D$ $P_{0}\i S$ $\mathbf {n} _{e}(P)$ $S$ $P\in S$ $S$

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)( M)=\venstre({\frac {\partial V}{\partial n_{e))}\right)(P_{0})+2\pi \mu (P_{0}),

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\ højre)(M)=\venstre({\frac {\partial V}{\partial n_{e))}\right)(P_{0})-2\pi \mu (P_{0}),

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e}}}\right)( M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S))\left({\frac {\partial V}{\partial n_{e))}\ højre)(M)=4\pi \mu (P_{0}).

Dobbeltlagspotentiale

Potentialet for dobbeltlaget i det tredimensionelle tilfælde er integralet:

W(M)=-\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\partial }{\partial n_{P))}{\frac {1}{R_{MP)) }dS_{P},

hvor er en tosidet overflade, er den ydre normal til overfladen i et punkt (i tilfælde hvor overfladen ikke er lukket, er den ydre normal valgt vilkårligt), er en funktion givet på overfladen , det kaldes det dobbelte lagpotentialtæthed. $S$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{P))$ $S$ $P$ $S$ $\nu (P)$ $S$

Udtrykket for dobbeltlagspotentialet kan også omskrives som:

W(M)=\int \limits _{S}\nu (P){\frac {\cos \varphi }{R_{MP}^{2))}dS_{P},

hvor er vinklen mellem den indre normal til overfladen i punktet og vektoren . $\varphi$ $S$ $P$ $\mathbf {PM}$

Ejendomme:

$\Delta W(M)=0,\forall M\notin S.$
$W=O\left({\frac {1}{r^{2}}}\right),r\rightarrow \infty .$
Lad være Lyapunov overfladen . Potentialet for et dobbeltlag med en kontinuerlig og afgrænset tæthed på overfladen eksisterer, det vil sige, at det er et konvergent ukorrekt integral ved . $S$ $|\nu (P)|\leq C$ $S$ $M\in S$
Lade være en lukket Lyapunov overflade, der afgrænser domænet , . Derefter bestemmes diskontinuiteten af potentialet for dobbeltlaget, når det passerer gennem overfladen , af følgende formler: $S$ $D$ $P_{0}\i S$ $S$

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}W(M)=W(P_{0})+2\pi \nu (P_{0}) ,

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\notin D\cup S}}W(M)=W(P_{0})-2\pi \nu (P_{ 0}),

\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\in D}}W(M)-\lim _{\stackrel {M\rightarrow P_{0},}{M\ notin D\cup S}}W(M)=4\pi \nu (P_{0}).

Noter

↑ 1 2 I. M. Vinogradov. Harmonisk rum // Matematisk encyklopædi. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1977-1985. (Russisk)

Litteratur

I. M. Vinogradov. Harmonisk rum // Matematisk encyklopædi. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1977-1985. (Russisk)
Sveshnikov A. G., Bogolyubov A. N., Kravtsov V. V. Kapitel V. Ligninger af elliptisk type. Grænseværdiproblemer for Laplace-ligningen. // Forelæsninger om matematisk fysik. — 2. udg., rettet. og yderligere - M . : Forlag ved Moscow State University; Science, 2004. - S. 203. - 416 s. — ISBN 5-211-04899-7 .
Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Kapitel IV. Elliptiske type ligninger. // Matematisk fysiks ligninger. - 7. udg. - M . : Forlag ved Moscow State University; Science, 2004. - S. 348. - 798 s. — ISBN 5-211-04843-1 .
Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matematisk fysiks ligninger. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX528702 BNF : 119328485 J9U : 987007529486205171 LCCN : sh85105671 NKC : ph126569 SUDOC : 02724346X