Sfæriske cosinussætninger

Den første og anden sfæriske cosinussætning etablerer sammenhænge mellem siderne og modsatte vinkler i en sfærisk trekant .

Ordlyd

Cosinussætningerne for en sfærisk trekant med siderne a , b , c og vinklerne A , B , C er som følger:

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,

\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.

Disse to sætninger er dobbelte i forhold til hinanden, da vinklerne og siderne af enhver sfærisk trekant suppleres til en ret vinkel af siderne og vinklerne i den tilsvarende polære trekant . Derfor er det tilstrækkeligt at bevise en af dem.

Bevis

Beviset vil blive udført ved hjælp af projektioner [1] . Figuren viser en sfærisk trekant ABC på en kugle med radius R centreret ved O. BP er vinkelret på planet for den store cirkel, der går gennem side b , BM er vinkelret på OC , BN er vinkelret på OA . Ved det modsatte af de tre perpendikulære sætning er PM vinkelret på OC , PN er vinkelret på OA . Bemærk at vinklen PMB er lig med π - C, desuden er ON = R cos c og OM = R cos a. Dernæst projicerer vi polylinjen OMPN på linjen, der indeholder ON .

{\mbox{pr }}ON={\mbox{pr }}OM+{\mbox{pr }}MP+{\mbox{pr }}PN

PN\perp OA\Rightarrow {\mbox{pr }}PN=0

{\mbox{pr }}OM=OM\cos b=R\cos a\cos b

{\mbox{pr }}MP=PM\cos(\pi -({\frac {\pi }{2}}-\angle MPN))=PM(-\sin \angle MPN)

=BM\cos \angle PMB(-\sin b)=BM\cos(\pi -C)(-\sin b)=R\sin b\sin a\cos C

Vi erstatter de sidste tre udtryk og ovenstående udtryk ON = R cos c i det første udtryk og får:

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C

Cosinussætningerne for de to andre sider, det vil sige sætningen for cos a og sætningen for cos b, opnås på samme måde, de kan også fås direkte fra formlen for side c ved hjælp af en cirkulær permutation af bogstaver:

$a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a,A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$

Konsekvenser og anvendelser

Hvis vinklen C er ret, går den første cosinussætning ind i den sfæriske Pythagoras sætning :

\cos c=\cos a\cos b.

Selvom mere bekvemme formler normalt bruges til at løse skrå sfæriske trekanter , ved hjælp af cosinussætningen, udledes en vigtig formel for geodæsi for længden af den store cirkel - den korteste afstand mellem punkter på jordens overflade med kendte koordinater (forudsat at jorden er sfærisk). Lad os betegne de geografiske breddegrader af de to givne punkter og , forskellen mellem længdegrader - , den korteste afstand mellem dem vil vi betegne d, buelængden på 1 grad - a. Derefter ortodromilængdeformlen [2] : $\varphi _{A}$ $\varphi _{B}$ $\Delta \lambda _{AB}$

\cos\left (\frac{d}{a}\right)=\sin\varphi_A\cdot\sin\varphi_B+\cos\varphi_A\cdot\cos\varphi_B\cdot\cos\Delta\lambda_{AB}

Denne formel opnås umiddelbart ved at anvende cosinussætningen på siden AB af den sfæriske trekant P n AB. En lignende formel er gyldig for enhver sfærisk overflade, og den kan derfor også bruges til at bestemme vinkelafstanden mellem stjerner ved hjælp af deres kendte ækvatorialkoordinater [3] .

Eksempel 1: Bestemmelse af vinkelafstanden mellem to armaturer på himmelkuglen

Lad os bestemme vinkelafstanden (x) mellem stjernen δ Cepheus (ækvatorialkoordinater: α 1 =22h 29m, δ 1 =+58° 25′) og Andromeda-tågen galaksen (α 2 =0h 43m, δ 2 =+41 ° 16′) ved himmelsfæren. Vi udtrykker α 1 i grader og brøkdele af en grad:

\alpha_1 = \venstre (22+\frac{29}{60}\right )\cdot\frac{360}{24}=337^\circ,25

På samme måde opnår vi, at α 2 =10°,75. Vi udtrykker δ 1 i grader og brøkdele af en grad:

\delta_1 = 58+\frac{25}{60}=58^\circ,42

Tilsvarende er 52 = 41°,27. Vi anvender cosinussætningen [4] :

$\begin{align} \cos x & = \cos(90^\circ-\delta_1)\cdot\cos(90^\circ-\delta_2)+\sin(90^\circ-\delta_1)\cdot\sin (90^\circ-\delta_2)\cdot\cos(\alpha_1-\alpha_2)\\ & =\sin 58^\circ,42\cdot\sin 41^\circ,27+\cos 58^\circ, 42\cdot\cos 41^\circ,27\cdot\cos (337^\circ,25-10^\circ,75)\\ &=0,89 \end{align}$

Derfor x=27°,11.

Cosinussætningen i sin anden form (forholdet mellem tre vinkler og en side) kan anvendes til at beregne den indbyrdes hældning af to baner, givet hældningen af hver bane til et andet plan. For eksempel kan denne formel bruges til at beregne hældningen af Plutos kredsløb til Neptuns hældning ved at bruge hældningerne af deres kredsløb til ekliptikken og længdegraderne af deres stigende knudepunkter.

Eksempel 2: Bestemmelse af den indbyrdes hældning af himmellegemernes baner

Lad os bestemme den indbyrdes hældning (x) af Pluto 's baner (hældningen af banen til ekliptikken er 17°.14, længdegraden af den stigende node er 110°.30) og Neptun (banens hældning til ekliptikken er 1°,77, længdegraden af den stigende knude er 131°,79) . I den tilsvarende sfæriske trekant kendes to vinkler: Den ene er lig med hældningen af Plutos bane til ekliptika, den anden er tilføjelsen af hældningen af Neptuns bane til ekliptika op til 180 grader. Den side, der støder op til disse hjørner, er også kendt, svarende til forskellen i længdegrader af de stigende knuder af Pluto og Neptun. Det er tilbage at anvende den anden version af cosinussætningen - for vinkler:

$\begin{align} \cos x & = -\cos(17^\circ,14)\cdot\cos(180^\circ-1^\circ,77)+\sin(17^\circ,14)\ cdot\sin(180^\circ-1^\circ,77)\cdot\cos(131^\circ,79-110^\circ,30)\\ & \approx0,9636\\ \end{align}$

Derfor x≈15°,51.

Historie

Matematikere fra det middelalderlige øst brugte et udsagn svarende til den sfæriske cosinussætning til at løse specifikke astronomiske problemer. Disse forhold, der bruges til at bestemme Solens højde, findes i skrifterne af Thabit ibn Korra , al-Mahani , al-Battani , Ibn Yunis , al-Biruni .

Den første eksplicitte formulering af teoremet blev givet i det 15. århundrede af Regiomontanus , som kaldte det "Albategnius-sætningen" (efter det latiniserede navn al-Battani ).

Se også

Noter

↑ Citeret ifølge publikationen: Stepanov N. N. Formler for cosinus af en side // Sfærisk trigonometri . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 24 -28. — 154 s.
↑ Mikhailov V.S., Kudryavtsev V.G., Davydov V.S. 26.2. Grundlæggende formler for ortodromi. Måder at indstille det på // Navigation og Pilot . - Kiev, 2009. Arkivkopi dateret 25. juli 2012 på Wayback Machine
↑ Meyos J. 9. Vinkelafstand mellem objekter // Astronomiske formler for regnemaskiner. - Mir , 1988. - S. 44-46. — 168 s. — ISBN 5030009361 .
↑ Lee Kai Ming. PHYS 2021 - Det fysiske univers . - 2010. - S. 6 . Arkiveret fra originalen den 3. december 2008.

Litteratur

Wentzel M. K. Sfærisk trigonometri. 2. udg., IGKL, 1948, 115s.
Matvievskaya G.P. Essays om trigonometriens historie: Det antikke Grækenland. middelalderlige øst. Senmiddelalder. - Ed. 2. - M. : Librokom, 2012. - 160 s. - (Fysisk-matematisk arv: matematik (matematikkens historie)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .
Stepanov N. N. Sfærisk trigonometri. - L.-M., 1948.

Sfærisk trigonometri
Basale koncepter	sfærisk trekant polar trekant Overskydende Bigon
Formler og forhold	Cosinussætninger Sinus-sætning Formel med fem elementer Halvsideformel Napiers mnemoniske regel Sfærisk Pythagoras sætning Delambre formler Napiers analogi formler Legendres sætning Løsning af trekanter
relaterede emner	Sfærisk koordinatsystem sfærisk geometri trihedral vinkel