Frihedsgrader (mekanik)

Frihedsgrader i mekanik er et sæt af uafhængige koordinater for forskydning og / eller rotation, der fuldstændigt bestemmer positionen af et system eller et legeme (og sammen med deres tidsafledte - de tilsvarende hastigheder - fuldstændigt bestemmer tilstanden af et mekanisk system eller krop, det vil sige deres position og bevægelse).

Dette grundlæggende koncept bruges i teoretisk mekanik , teorien om mekanismer og maskiner , maskinteknik , luftfart og teorien om fly, robotteknologi .

I modsætning til almindelige kartesiske eller en anden type koordinater kaldes sådanne koordinater generelt generaliserede koordinater ( kartesiske , polære eller nogle andre specifikke koordinater er således et særligt tilfælde af generaliserede). Faktisk taler vi om det mindste sæt af tal, der helt bestemmer den aktuelle position (konfiguration) af dette system.

Kravet om, at dette sæt skal være minimalt eller uafhængigt af koordinater betyder, at der menes et sæt koordinater, som kun er nødvendigt for at beskrive systemets position med mulige bevægelser (for eksempel, hvis et matematisk pendul betragtes , forstås det, at dets længde kan ikke ændre sig, og dermed er koordinaten, der karakteriserer afstanden fra lasten til ophængningspunktet, ikke dens frihedsgrad, da den ikke kan ændres - det vil sige antallet af frihedsgrader for et matematisk pendul i rummet er 2, og det samme pendul, som kun kan bevæge sig i ét plan, er 1. De svarer til pendulets afvigelsesvinkler fra lodret) .

I det tilfælde, hvor et system med begrænsninger overvejes (mere præcist, med begrænsninger ), er antallet af frihedsgrader for det mekaniske system mindre end antallet af kartesiske koordinater for alle materielle punkter i systemet, nemlig:

n=3N-n_{{link}},

hvor er antallet af frihedsgrader,

n

N

er antallet af materialepunkter i systemet,

n_{\text{link}}

- antallet af beholdningsobligationer med undtagelse af overflødige [Komm. 1] .

Antallet af frihedsgrader afhænger ikke kun af det virkelige systems natur, men også af modellen (tilnærmelse), inden for hvilken systemet studeres. Selv i tilnærmelsen af klassisk mekanik (hvor denne artikel generelt er skrevet), hvis vi nægter at bruge yderligere tilnærmelser, der forenkler problemet, vil antallet af frihedsgrader for ethvert makroskopisk system vise sig at være enormt. Da bindingerne ikke er absolut stive (det vil sige, at de kun kan betragtes som bindinger inden for rammerne af en vis tilnærmelse), kan det reelle antal frihedsgrader for et mekanisk system estimeres som mindst et tredobbelt antal af atomer (og i kontinuum tilnærmelse, som uendelig). Men i praksis bruges tilnærmelser, der gør det muligt radikalt at forenkle problemet og reducere antallet af frihedsgrader, når man betragter et system; derfor er antallet af frihedsgrader i praktiske beregninger begrænset, normalt ganske lille. nummer.

Således reducerer den absolut stive kropstilnærmelse , som er et eksempel på en stiv forbindelse pålagt hvert par materialepunkter på kroppen, antallet af frihedsgrader for et stivt legeme til 6. I betragtning af systemer bestående af et lille antal stive legeme organer betragtet i denne tilnærmelse, har de således et lille antal frihedsgrader, desuden sandsynligvis reduceret ved pålæggelse af yderligere begrænsninger (svarende til hængsler osv.) [Komm. 2] .

Antallet af frihedsgrader for mekanismer kan være både konstant og variabelt [1] .

Eksempler

Et stift legeme, der bevæger sig i tredimensionelt rum, kan maksimalt have seks frihedsgrader: tre translationelle og tre roterende.
Bilen, hvis den betragtes som en stiv krop, bevæger sig langs et plan, eller rettere, langs en bestemt todimensionel overflade (i todimensionelt rum). Den har to frihedsgrader (en roterende og en translationel).
Toget er tvunget til at bevæge sig langs sporet, og derfor har det kun én frihedsgrad.

Frihedsgrader i højere dimensionelle rum

I det generelle tilfælde har et stivt legeme i målerummet frihedsgrader ( translatorisk og roterende). $d$ $d+{\frac {d(d-1)}{2))$ $d$ ${\frac {d(d-1)}{2))$

Faste stoffer. Deformerbare kroppe

Elastiske eller deformerbare legemer kan betragtes som et system af mange mindste partikler (et uendeligt antal frihedsgrader), i hvilket tilfælde systemet ofte anses for tilnærmelsesvis at have et begrænset antal frihedsgrader.

Hvis hovedobjektet for analysen er en bevægelse, der forårsager store forskydninger, så for at forenkle beregningerne betragtes det deformerbare legeme omtrent som et absolut stift legeme og nogle gange som et materielt punkt. For eksempel, hvis bevægelsen af en del af en mekanisme, der udfører betydelige forskydninger, studeres, er det i hovedsagen (og med god nøjagtighed) muligt at betragte delen som et absolut stift legeme (hvis det er nødvendigt, så når hoveddelen bevægelse er allerede blevet beregnet, korrektionerne forbundet med dens små deformationer), især dette gælder, hvis for eksempel satellitternes bevægelse langs kredsløbet undersøges, og hvis orienteringen af satellitten ikke tages i betragtning, så er det tilstrækkeligt at betragte det som en materiel pointe - altså at begrænse beskrivelsen af satellitten til tre frihedsgrader.

Kropssystemer

Et system med flere kroppe kan generelt have et sådant antal frihedsgrader, som er summen af frihedsgrader for de kroppe, der udgør systemet, minus de frihedsgrader, der er begrænset af interne begrænsninger. En mekanisme, der indeholder flere forbundne legemer, kan have flere frihedsgrader end et frit stivt legeme. I dette tilfælde bruges udtrykket "frihedsgrader" til at henvise til antallet af parametre, der er nødvendige for nøjagtigt at bestemme mekanismens position i rummet.

De fleste mekanismer har et fast antal frihedsgrader, men tilfælde af et variabelt antal er mulige. Den første mekanisme med et variabelt antal frihedsgrader blev opfundet af den tyske mekaniker W. Wunderlich i 1954 (se Wunderlich, 1954 ) - en flad mekanisme med 12 led og 2 faste hængsler. En enklere mekanisme med 9 led blev opfundet og beskrevet (se Kovalev, 1994 ) af den russiske matematiker Mikhail Kovalev [1] .

En specifik type mekanisme er en åben kinematisk kæde , hvor stive led har bevægelige led, der er i stand til at give én frihedsgrad (hvis det er et hængselled eller et glidende led), eller to frihedsgrader (hvis det er et cylindrisk led). ). Sådanne kæder er meget udbredt i moderne industrielle mekanismer og i produktionen.

Den menneskelige hånd har 7 frihedsgrader.

Et mekanisk system, der har 6 fysiske frihedsgrader , kaldes holonomisk . Hvis systemet har færre frihedsgrader, kaldes det nonholonomisk . Et mekanisk system med mere kontrollerede frihedsgrader end antallet af fysiske frihedsgrader kaldes redundant .

Bestemmelse af mekanismernes frihedsgrader

De fleste konventionelle mekanismer har én frihedsgrad, det vil sige, at der er én inputbevægelse, der bestemmer én outputbevægelse. Derudover er de fleste mekanismer flade. Rumlige mekanismer er sværere at beregne.

Chebyshev-Grabler-Kutzbach-formlen til at beregne frihedsgrader

I sin enkleste form, for flade mekanismer, har denne formel formen:

m=3(n-1)-2f,

hvor er antallet af frihedsgrader;

m

n

- antallet af led i mekanismen (inklusive en fast forbindelse - basen);

f

- antallet af kinematiske par med én frihedsgrad ( løkke eller glidende forbindelse).

I en mere generel form er Chebyshev - Grabler - Kutzbach-formlen for flade mekanismer, der indeholder mere komplekse forbindelsesforbindelser:

m=3(nj-1)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},

Eller for en rumlig mekanisme (en mekanisme, der har en tredimensionel bevægelse):

m=6(nj-1)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},

hvor er antallet af frihedsgrader;

m

n

- antallet af led i mekanismen (inklusive en fast forbindelse - basen);

j

- det samlede antal mobilforbindelser af links uden hensyntagen til antallet af frihedsgrader for disse forbindelser;

{\displaystyle \sum _{i=1}^{j}\ f_{i))

- summen af alle frihedsgrader af alle bevægelige led (hængsler).

Hydraulisk drev

Antallet af frihedsgrader i et hydraulisk system kan bestemmes ved blot at tælle antallet af uafhængigt styrede hydraulikmotorer .

Elektroteknik

I elektroteknik bruges begrebet "frihedsgrader" ofte til at beskrive antallet af retninger, i hvilke en phased array-antenne kan projicere sine stråler. Det er en mindre end antallet af elementer indeholdt i gitteret.

Princippet om mulige forskydninger

I teoretisk mekanik kendes princippet om mulige forskydninger , som ligesom statikkens ligevægtsligninger giver dig mulighed for at finde ydre krafteffekter, der virker på et mekanisk system. Antallet af ligninger, der er udarbejdet på grundlag af princippet om mulige forskydninger, er lig med antallet af frihedsgrader for et givet mekanisk system.

Frihedsgrader for et molekyle

Hovedartikel: Grader af frihed (fysik): Frihedsgrader for et molekyle

Formlen for en gass indre energi :

U={\frac {i}{2}}\cdot {\frac {m}{\mu }}RT

, hvor er antallet af frihedsgrader for et gasmolekyle;

jeg

m

er massen af gas;

\mu

er gassens molære masse ;

R

er den universelle gaskonstant ;

T

er gassens absolutte temperatur , inklusive antallet af frihedsgrader for molekylet.

Denne formel er vigtig for beregninger, for eksempel forbrændingsmotorer .

Kommentarer

↑ . For eksempel, hvis afstandene fra et givet punkt til tre punkter af et absolut stivt legeme er faste, så vil det være overflødigt at fastsætte afstandene fra dette punkt til andre punkter i det samme stive legeme, da de vil blive gemt automatisk.
↑ . Det skal dog huskes på, at en sådan model, ligesom enhver model, pålægger en vis reel pris, når den bruges: Den absolut stive kropsmodel ignorerer fuldstændigt enhver vibration og bølgeudbredelse i den stive krop, som den er påført. Det kan dog som sædvanligt bruges som en nultilnærmelse, og de nødvendige raffineringskorrektioner kan så beregnes separat, og måske kan det gøres med mindre nøjagtighed, hvis de er små.

Noter

↑ 1 2 Matematiske studier .

Litteratur

Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik. Proc. for tekniske gymnasier - 10. udg., revideret. og yderligere - M .: Højere. shk., 1986.— 416 s., ill.
Buchholz N. N. Hovedforløbet i teoretisk mekanik (første del). Forlaget "Nauka", Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, M.: 1972, 468 sider.
Wunderlich, W. Ein merkwürdiges Zwölfstabgetriebe : [ tysk. ] // Osterreichisches Ingenieurarchiv. - 1954. - Bd. 8, H. 2/3. - S. 224-228.
Kovalev M.D. Geometrisk teori om hængslede enheder : [ ark. 5. maj 2017 ] // Izvestiya RAN. Matematisk serie. - 1994. - V. 58, nr. 1. - S. 45–70. - UDC 514 + 531,8 .