Princippet om mulige bevægelser

Princippet om mulige forskydninger er et af variationsprincipperne i teoretisk mekanik , som fastlægger den generelle betingelse for et mekanisk systems ligevægt . Ifølge dette princip er det for ligevægten af et mekanisk system med ideelle begrænsninger nødvendigt og tilstrækkeligt, at summen af de virtuelle værker af kun aktive kræfter på enhver mulig forskydning af systemet er lig med nul (hvis systemet bringes til denne position med nul hastigheder). $A_{i}$

Antallet af lineært uafhængige ligevægtsligninger, der kan kompileres for et mekanisk system, baseret på princippet om mulige forskydninger, er lig med antallet af frihedsgrader for dette mekaniske system.

Mulige forskydninger af et ikke-frit mekanisk system er imaginære infinitesimale forskydninger tilladt på et givet tidspunkt af begrænsninger pålagt systemet (i dette tilfælde anses den tid, der er inkluderet eksplicit i ligningerne for ikke-stationære begrænsninger, som fast). Projektioner af mulige forskydninger på kartesiske koordinatakser kaldes variationer af kartesiske koordinater.

Hvis for eksempel holonomiske rheonomiske begrænsninger pålægges systemet: $l$

f_{{\alpha }}({\vec r},t)=0,\quad \alpha =\overline {1,l}

Så er de mulige forskydninger dem, der tilfredsstiller $\Delta {\vec r}$

\sum _{{i=1}}^{{N}}{\frac {\partial f_{{\alpha }}}{\partial {\vec {r}}}}\cdot \Delta {\vec { r))+{\frac {\partial f_{{\alpha ))}{\partial t))\Delta t=0,\quad \alpha =\overline {1,l}

Og virtuelle : $\delta {\vec r}$

\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial f_{\alpha )){\partial {\vec {r))))\delta {\vec {r))=0 ,\quad \alpha ={\overline {1,l}}

Virtuelle forskydninger har generelt ikke noget at gøre med systemets bevægelsesproces - de introduceres kun for at afsløre forholdet mellem kræfter, der eksisterer i systemet, og opnå ligevægtsbetingelser. Forskydningernes lillehed er nødvendig for at kunne betragte idealbindingernes reaktioner som uændrede.

Princippet om virtuelle forskydninger

Ifølge dette princip: for ligevægten i et mekanisk system, på hvis punkter stationære holdende ideelle bindinger er pålagt, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at summen af det virtuelle arbejde af alle aktive kræfter påført systemets punkter, for enhver virtuel forskydning af systemet, være lig med nul [1] . Det antages, at bindingsreaktionskræfterne (inaktive) ikke virker på grund af bindingsidealitetspostulatet. Virtuelle forskydninger kaldes infinitesimale forskydninger tilladt af forbindelser, med "frossen tid". Det vil sige, at de kun adskiller sig fra mulige forskydninger, når bindingerne er rheonomiske (eksplicit afhængig af tid). Matematisk kan dette skrives som

\delta A=\sum _{i=1}^{n}{\textbf {F}}_{i}\cdot \delta {\textbf {r}}_{i}=0

Lad os betragte to stænger med en længde på 2l leddelt i punkt B, placeret på en cylinder med radius r (se fig. 1). Lad os beregne afstanden z som funktion af den generaliserede koordinat φ [2]

z=AB-OB=l\cos {\phi}-{\frac {r}{\sin {\phi ))}\,

og det virtuelle arbejde vil blive opnået fra variationen δ z

\delta A=2P\delta z=2P\left(-l\sin {\phi }+{\frac {r\cos {\phi }}{\sin ^{2}{\phi }}} \right)\delta \phi =0\,.

Denne lighed skal gælde for alt muligt , hvorfra vi får ligningen til at bestemme vinklen : $\delta \phi$ $\phi$

{\frac {r\cos {\phi }}{\sin ^{2}{\phi }}}-l\sin {\phi }=0\,.

Noter

↑ Belenky, 1964 , s. 31.
↑ Belenky, 1964 , s. 35.

Litteratur

Belenky I. M. Introduktion til analytisk mekanik. - M .: Højere. skole, 1964. - 324 s.
Bukhgolts N. N. Hovedforløbet i teoretisk mekanik. Del 1. 10. udg. - Sankt Petersborg. : Lan, 2009. - 480 s. - ISBN 978-5-8114-0926-6 .
Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik: En lærebog for universiteter. 18. udg. - M . : Højere skole, 2010. - 416 s. - ISBN 978-5-06-006193-2 .
Markeev A.P. Teoretisk mekanik: en lærebog for universiteter. - Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2001. - 592 s. — ISBN 5-93972-088-9 .