Forbindelse af polyedre

En sammensætning af polyedre er en figur, der består af nogle polyedre, der har et fælles center. Forbindelser er de tredimensionelle modstykker til polygonale forbindelser , såsom hexagrammet .

De ydre hjørner af en forbindelse kan forbindes til at danne et konveks polyeder , kaldet et konveks skrog . Forbindelsen er en facet af det konvekse skrog.

Inden i forbindelsen dannes et mindre konveks polyeder som en fælles del af alle medlemmer af forbindelsen. Dette polyeder kaldes kernen for stjernepolyeder .

Korrekte forbindelser

Regulære polyedriske forbindelser kan defineres som forbindelser, der, som i tilfældet med regulære polyedre, er vertex-transitive , edge-transitive og face -transitive [ . Der er fem regelmæssige forbindelser af polyeder.

Den bedst kendte er forbindelsen af ​​to tetraedre . Kepler kaldte denne forbindelse på latin stella octangula (stjerne-oktaeder). Hjørnene på de to tetraedre definerer en terning , og deres skæringspunkt er et oktaeder , hvis flader ligger på de samme planer som flader af komponent-tetraedre. Konjunktionen er således en reduktion til oktaederets stjerne og faktisk dens eneste mulige reduktion.

Det stjerneformede oktaeder kan også ses som en dobbelt regulær forbindelse.

En forbindelse af fem tetraedre har to spejlversioner, som tilsammen giver en forbindelse af ti tetraedre. Alle forbindelser af tetraedre er selv-duale, og sammensætningen af ​​fem terninger er dobbelt med forbindelsen af ​​fem oktaedre.

Dual Compounds

En dobbeltforbindelse er en sammensætning af et polyeder og dets dobbelte, placeret indbyrdes modsat i forhold til en fælles indskrevet eller semi-indskrevet kugle, således at kanten af ​​et polyeder skærer dobbeltkanten af ​​det dobbelte polyeder. Der er fem sådanne forbindelser af regulære polyedre.

Tetraederet er selv-dual, så den dobbelte forbindelse af et tetraeder med dets dual er også et stjerneformet oktaeder.

De dobbelte forbindelser cuboctahedron og dodecahedron-icosahedron er stjernereduktioner af henholdsvis cuboctahedron og icosidodecahedron .

Sammenhængen af ​​det lille stjernedodekaeder og det store dodekaeder ligner udadtil det samme lille stjernedodekaeder, da det store dodekaeder er indeholdt helt i det. Af denne grund er billedet af det lille stjernedodekaeder ovenfor vist som en wireframe.

Homogene forbindelser

I 1976 udgav John Skilling Uniform Compounds of Uniform Polyhedra [1] , hvori han listede 75 forbindelser (inklusive 6 uendelige sæt prismatiske forbindelser, #20-25) opnået fra ensartede polyedre ved rotationer. (Hver vertex er vertex-transitive .) Listen omfatter fem forbindelser af regulære polytoper fra listen ovenfor. [en]

Disse 75 homogene forbindelser er anført i tabellen nedenfor. I de fleste forbindelser svarer forskellige farver til forskellige bestanddele. Nogle chirale par er farvet efter spejlsymmetri.

• 1-19: Blanding (4,5,6,9,17 er de fem korrekte forbindelser )

• 20-25: Prismesymmetri indlejret i dihedral symmetri i 3D-rum ,

• 26-45: Prismesymmetri indlejret i oktaedrisk eller icosahedral symmetri,

• 46-67: Tetraedrisk symmetri indlejret i oktaedrisk eller icosaedrisk symmetri,

• 68-75: enantiomorfe par

Andre forbindelser

• Forbindelse af tre oktaedre
• Tilslutning af fire kuber

To polyedre, der er forbindelser, men deres elementer er strengt indesluttet i en lille sammensat icosidodecahedron (en sammensætning af et icosahedron og en stor dodecahedron ) og en stor sammensat icosidodecahedron (en sammensætning af en lille stjerne dodecahedron og et stort icosahedron ). Hvis vi accepterer den generaliserede definition af et homogent polyeder , vil de være homogene.

Sektionen af ​​entianomorfe par i Skillings liste indeholder ikke en sammensætning af to store snub dodecicosidodecahedrons , fordi forsiderne af pentagrammet falder sammen. Fjernelse af matchende flader vil resultere i en forbindelse af tyve oktaeder .

Firedimensionelle forbindelser

I det firedimensionale rum er der et stort antal regelmæssige forbindelser af regulære polyedre. Coxeter nævnte nogle af dem i sin bog Regular Polyhedra [2] .

Selv-dual:

Dobbelt par:

Homogene forbindelser med konvekse firedimensionelle polyedre:

Dobbeltstillinger:

Forbindelse af regulære stjerne fire-dimensionelle polyedre

Selv-dobbelte stjerneforbindelser:

Dobbelt par af konjunktioner af stjerner:

Homogene forbindelser af stjerner :

Gruppeteori

Med hensyn til gruppeteori , hvis G er symmetrigruppen af ​​en forbindelse af polytoper, og gruppen virker transitivt på en polytop (så enhver polytop kan være i en hvilken som helst anden, som i homogene forbindelser), så hvis H er stabilisatoren for en valgt polytop, kan polytoperne defineres ved kredsløb G / H .

Forbindende mosaikker

Der er atten to-parameter familier af regelmæssige fliseforbindelser i det euklidiske plan. Fem en-parameter familier og sytten isolerede fliser er kendt i hyperbolsk rum, men listen er ikke komplet.

Euklidiske og hyperbolske familier 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p er heltal) ligner sfæriske stjerne-oktaeder , 2 {3,3}.

En velkendt familie af regelmæssige euklidiske honeycomb-forbindelser i rum med dimension fem og derover er en uendelig familie af hyperbolske honeycomb , der har fælles hjørner og flader. En sådan forbindelse kan have et vilkårligt antal celler i forbindelsen.

Der er også dobbelt-regulære fliseforbindelser. Et simpelt eksempel er E 2 - forbindelsen af ​​en sekskantet flisebelægning og dens dobbelte trekantede flisebelægning . Den euklidiske forbindelse af to hyperbolske honningkager er regelmæssig og dobbelt regelmæssig.

Noter

1. ↑ Skilling, 1976 , s. 447-457.
2. ↑ Coxeter, 1973 , s. 305, tabel VII.
3. ↑ Richard Klitzing, Uniform compound Stellated icosahedron Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine
4. ↑ Richard Klitzing, Uniform compound Demidistesseract Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine
5. ↑ Richard Klitzing, Uniform compound Dobbeltpositioneret 24-celler Arkiveret 2. april 2016 på Wayback Machine

Litteratur

• John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1976. - T. 79 . - doi : 10.1017/S0305004100052440 . .
• P. Cromwell. Polyeder. - Storbritannien: Cambridge, 1997. - s. 79–86 Arkimedeanske faste stoffer . - ISBN 0-521-55432-2 .
• Magnus Wenninger. Dobbelt modeller . - Cambridge: Cambridge University Press, 1983. - S.  51-53 . .
• Michael G Harman Polyedriske forbindelser. - upubliceret manuskript, 1974. .
• Edmund Hess. Zugleich Gleicheckigen og Gleichflächigen Polyeder. Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg. - 1876. - T. 11. - S. 5–97.
• HSM Coxeter . Kapitel 8: Trunkering // Regelmæssige polytoper . — 3. udgave. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .

• Anthony Pugh. Polyeder: En visuel tilgang. - Californien: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 . side 87 Fem regulære forbindelser

Eksterne links

• MathWorld: Polyederforbindelse
• Sammensatte polyeder – fra Virtual Reality Polyhedra
  • Ensartede forbindelser af ensartede polyedre
• Skillings 75 ensartede forbindelser af ensartede polyedre
• Skillings Uniform Compounds af Uniform Polyhedra
• Polyedriske forbindelser
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• Sammensætning af små stjernedodekaeder og store dodekaeder {5/2,5}+{5,5/2}