Udjævnende operatør

Udjævningsoperatorer er glatte funktioner med specielle egenskaber, der bruges i distributionsteori til at konstruere en sekvens af glatte funktioner, der tilnærmer en ikke-glat (generaliseret) funktion ved hjælp af foldning . Intuitivt, når vi har en funktion med singulariteter og konvolverer den med en udjævningsfunktion, får vi en "udjævnet funktion", hvor funktionerne i den oprindelige funktion udjævnes, selvom funktionen forbliver tæt på den oprindelige funktion [1] . Operatørerne er også kendt som udjævnende Friedrichs-operatører ved navn Kurt Otto Friedrichs , som diskuterede dem i et papir fra 1944 [2] .

Historiske bemærkninger

Udjævningsoperatorer blev introduceret af Kurt Otto Friedrichs i et papir fra 1944 [2] , der nu betragtes som et vandskel i den moderne teori om partielle differentialligninger [3] .

Før dette papir blev udjævningsoperatorer brugt af Sergei L'vovich Sobolev i hans banebrydende papir fra 1938 [4] , som indeholder et bevis på Sobolevs indlejringssætning , og Friedrichs [5] anerkendte selv Sobolevs arbejde med udglatning af operatorer, og skrev : " Disse udjævningsoperatører blev introduceret af Sobolev og forfatteren ... ".

Det skal påpeges, at der er nogen uenighed om begrebet en udjævningsoperator - Friedrichs definerer som en " udjævningsoperator " en integreret operator, hvis kerne er en af de funktioner, der nu kaldes udjævningsoperatorer. Men da egenskaberne for en lineær integraloperator er fuldstændig bestemt af dens kerne, blev navnet "udjævningsoperator" arvet af kernen selv.

Definition

Den moderne (distributionsbaserede) definition

Hvis er en jævn funktion på , n ≥ 1, der opfylder følgende tre krav $\varphi$ $\mathbb {R} ^{n}$

(1) Funktionen har kompakt understøttelse [6] (2)

\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1

(3)

\lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )= \delta(x)

hvor er Dirac delta-funktionen, og grænsen skal forstås i Schwartz-rummet af distributioner , så er en udjævningsoperator . Funktionen kan opfylde yderligere betingelser [7] . For eksempel hvis den tilfredsstiller $\delta(x)$ $\varphi$ $\varphi$

(4) for alle kaldes funktionen en positiv udjævningsoperator

\varphi (x)\geqslant 0

x \in \mathbb{R}^n

(5) for en uendeligt differentierbar funktion kaldes funktionen en symmetrisk udjævningsoperator .

\varphi (x)=\mu (|x|)

\mu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R}

Bemærkninger om definitionen af Friedrichs

Bemærkning 1 . Da teorien om fordelinger endnu ikke var udbredt [8] blev egenskaben (3) ovenfor formuleret som følger: foldningen af en funktion med en given funktion, der tilhører et passende Hilbert- eller Banach -rum, konvergerer som ε → 0 til en deltafunktion [9 ] , det er præcis, hvad Friedrichs [10] . Dette forklarer også, hvorfor udjævningsoperatører er forbundet med tilnærmede enheder . [elleve] ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon ))$

Bemærkning 2 . Som kort sagt i afsnittet "Historiske bemærkninger" refererede udtrykket "udjævningsoperator" oprindeligt til følgende foldningsoperator [11] [12] :

\Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n))\varphi _{\epsilon }(xy)f(y)\mathrm {d} y

hvor og er en glat funktion, der opfylder de tre første betingelser ovenfor og en eller flere yderligere betingelser såsom positivitet og symmetri. $\scriptstyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )$ $\varphi$

Eksempel

Overvej en funktion af en variabel fra $\varphi$ $(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$

$\varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&|x|<1\\0&|x| \geqslant 1\end{cases}}$ ,

hvor konstanten giver normalisering. Det er let at se, at denne funktion er en uendeligt differentierbar ikke-analytisk funktion med en forsvindende afledt for | x | = 1 . Funktionen kan derfor bruges som en udjævningsoperator som beskrevet ovenfor - det er let at se, hvad der definerer en positiv symmetrisk udjævningsoperator [13] . $I_{n}$ $\varphi$ $\varphi$ $(x)$

Egenskaber

Alle egenskaber for udjævningsoperatøren er relateret til dens adfærd under foldningsoperationen - vi lister dem, hvis bevis kan findes i enhver bog om distributionsteori [14] .

Anti-aliasing-egenskaber

For enhver fordeling, følgende familie af foldninger, indekseret med et reelt tal , $T$ $\epsilon$

{\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon ))

hvor betyder foldning , er en familie af glatte funktioner . $\ast$

Omtrentlig enhed

For enhver fordeling konvergerer følgende familie af foldninger, indekseret med reelt tal , til $T$ $\epsilon$ $T$

\lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }( \mathbb {R} ^{n})

Convolution Carrier

For enhver distribution , $T$

\mathrm {supp} T_{\epsilon }=\mathrm {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \mathrm {supp} T+\mathrm {supp} \varphi _{\epsilon }

hvor er bæreren af fordelingen , og er Minkowski-summen . $\mathrm {supp}$ $+$

Ansøgninger

Hovedanvendelsen af udjævningsoperatorer er at bevise gyldigheden af egenskaber for ikke-glatte funktioner, der er sande for glatte funktioner :

Produkt af distributioner

I nogle generaliserede funktionsteorier bruges udjævningsoperatorer til at bestemme produktet af fordelinger . Nemlig, hvis to fordelinger og er givet , grænsen for produktet af en glat funktion og fordeling $S$ $T$

\lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} } {=}}S\cdot T

bestemmer (hvis det findes) produktet af fordelinger i forskellige generaliserede funktionsteorier .

Svag=Stærke sætninger

Meget uformelt udjævnende operatører bruges til at bevise ligheden mellem to forskellige slags udvidelser af differentielle operatører - en stærk udvidelse og en svag udvidelse . Friedrichs' artikel [15] illustrerer dette koncept ganske godt, men det store antal tekniske detaljer, der skal afsløres, tillader os ikke fuldt ud at præsentere dette koncept i vores korte beskrivelse.

Glatte skærefunktioner

Ved at konvolvere den karakteristiske funktion af enhedskuglen med en glat funktion (defineret som i ligning (3) med ), får vi funktionen $B_{1}=\{x:|x|<1\}$ $\varphi _{1/2}$ $\scriptstyle \epsilon =1/2$

\chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1))\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb { R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1 /2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because supp(\varphi _ {1/2})=B_{1/2})

som er glat , lig med , med og hvis støtte er indeholdt i . Dette er let at se, hvis vi tager højde for, at for ≤ og ≤ ≤ er sandt . Derfor, for ≤ , $en$ ${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\))$ $B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}$ $|x|$ $1/2$ $|y|$ $1/2$ $|xy|$ $en$ $|x|$ $1/2$

\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y= \int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1

Det er let at se, hvordan denne konstruktion kan generaliseres for at opnå en jævn funktion lig med én i et nabolag af et givet kompakt sæt og lig med nul på et hvilket som helst punkt, hvorfra afstanden til dette sæt er større end en given [16 ] . En sådan funktion kaldes en (glat) skærefunktion - sådanne funktioner bruges til at udskære funktionerne i en given ( generaliseret ) funktion ved at gange . Multiplikation med en sådan funktion ændrer ikke værdien af den ( generaliserede ) funktion kun på den givne mængde , men den ændrer understøttelsen af funktionen. $\scriptstyle \epsilon$

Se også

Omtrentlig enhed
Ikke-analytisk glat funktion
Bufferfunktion
Konvolution
Weierstrass transformation
Generisk funktion, distribution
Kurt Otto Friedrichs
Sergey Lvovich Sobolev

Noter

↑ I nogle topologiske rum af generaliserede funktioner.
↑ 1 2 Friedrichs, 1944 , s. 136-139.
↑ Se Peter Lax ' kommentar til artikel af Friedrichs ( Friedrichs 1944 ) i bogen ( Friedrichs 1986 , bind 1, s. 117). På engelsk har navnet på dette matematiske objekt "mollifier" en mærkelig oprindelse. Peter Laks giver den fulde historie om dette navn i sin kommentar ( Friedrichs 1986 , bind 1, s. 117). Ifølge Lax var matematikeren Donald Alexander Flanders Arkiveret 8. juni 2017 på Wayback Machine på det tidspunkt en kollega af Friedrichs og nød at rådgive kolleger om brugen af det engelske sprog. Friedrichs bad Fluders om at finde på et navn til udjævningsoperatørerne. Flandern var puritaner , og hans venner kaldte Moll, efter den pikareske roman Moll Flenders, i erkendelse af hans moralske kvaliteter. Flandern foreslog et nyt matematisk navn, mollifier , som er et spil med navnet Moll og verbet at mollify , som betyder billedligt udjævning . Friedrichs brugte gerne denne joke i artiklen.
↑ Sobolev, 1938 .
↑ Friedrichs, 1953 , s. 196.
↑ Hvad er bufferfunktioner
↑ Giusti 1984 , s. elleve.
↑ Friedrichs' artikel ( Friedrichs 1944 ), blev publiceret få år før udgivelsen af Laurent Schwartz , hvorefter Friedrichs' værk blev bredt kendt.
↑ Det er klart, at topologien vil konvergere, hvis Hilbert eller Banach betragtes .
↑ Se Friedrichs 1944 , s. 136–138, egenskaber PI , PII , PIII og deres følge PIII 0 .
↑ 1 2 Friedrichs skriver i denne forbindelse ( Friedrichs 1944 , s. 132): " Det vigtigste bevismiddel er en vis klasse af glatte operatorer af approksimative enheder, 'udjævnende operatorer' ."
↑ Se Friedrichs 1944 , s. 137, afsnit 2, " Integrale operatorer ".
↑ Se Hörmander 1990 , s. 14, Lemma 1.2.3. — eksemplet er formuleret eksplicit ved først at definere f ( t ) = exp(-1/ t ) for t ∈ ℝ + , og derefter overveje f ( x ) = f (1-| x | 2 ) = exp(-1/ (1-| x | 2 )) for x ∈ ℝ n .
↑ Hörmander, 1990 .
↑ Friedrichs, 1944 .
↑ Et bevis for dette faktum kan findes i Hörmanders papir ( Hörmander 1990 , s. 25), Sætning 1.4.1.

Litteratur

Kurt Otto Friedrichs . Identiteten af svage og stærke udvidelser af differentielle operatorer // Transactions of the American Mathematical Society . - 1944. - Januar ( bind 55 , udg. 1 ). - S. 132-151 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1944-0009701-0 . — . . Den første artikel, hvor udjævningsoperatører blev introduceret.
Kurt Otto Friedrichs . Om differentiabiliteten af løsningerne af lineære elliptiske differentialligninger // Communications on Pure and Applied Mathematics . - 1953. - Bd. VI , iss. 3 . — S. 299–326 . - doi : 10.1002/cpa.3160060301 . (utilgængeligt link). En artikel, hvordifferentiabilitetenaf løsninger af elliptiske partielle differentialligninger undersøges ved hjælp af udjævningsoperatorer.
Kurt Otto Friedrichs . Selecta / Cathleen S. Morawetz. — Boston- Basel - Stuttgart : Birkhäuser Verlag , 1986. — Vol. 1, 2. - 427 (vol. 1); 608 (bind 2) s. — (Samtidige matematikere). - ISBN 0-8176-3270-0 . . Et udvalg af Friedrichs' værker med biografi og kommentarer af David Isaacson, Fritz John, Toshio Kato,Peter Lax, Louis Nirenberg, Wolfgag Vasow, Harold Weitzer.
Enrico Giusti. Minimale overflader og funktioner af afgrænsede variationer . - Basel - Boston - Stuttgart : Birkhäuser Verlag, 1984. - Vol. 80.-xii+240 s. — (Monografier i matematik). - ISBN 0-8176-3153-4 3-7643-3153-4.
Lars Hormander . Analysen af lineære partielle differentialoperatorer I. - Berlin - Heidelberg - New York : Springer-Verlag , 1990. - Vol. 256. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft). - ISBN 0-387-52343-X 3-540-52343-X.
Sergei L. Sobolev . Om en sætning om funktionel analyse // Matematisk samling . - 1938. - T. 4 (46) , Nr. 3 . — S. 471–497 . . Artiklen, hvori Sergei Sobolev giver et bevis på sin indlejringssætning introducerer og brugerintegraloperatorer,der minder meget om udjævningsoperatorer, men nævner dem ikke.