Mi spredning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. august 2020; checks kræver 10 redigeringer .

Spredning af lys med en sfærisk partikel (Mie-spredning) er et klassisk problem inden for elektrodynamik , løst i 1908 af Gustav Mie for en sfærisk partikel af vilkårlig størrelse [1] .

Problemet overvejer spredningen af en elektromagnetisk bølge med en elektrisk feltstyrke

\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},

hvor ω er frekvensen , k er bølgevektoren , og E 0 er bølgens amplitude på en sfærisk partikel med radius R og permittivitet ε .

Løsningen på problemet findes ved at dekomponere det elektromagnetiske felt til vektorsfæriske harmoniske .

Kvalitative resultater

Spredning afhænger af forholdet mellem partikelstørrelse og bølgelængde af lys i partikelmaterialet. Rayleigh-spredning er et særligt tilfælde af Mie-spredning for det tilfælde, hvor partiklen er meget mindre end bølgelængden. I dette tilfælde polariserer en ekstern elektromagnetisk bølge partiklen, hvilket exciterer et variabelt dipolmoment i den . Dipolmomentet, som svinger i takt med frekvensen af den eksterne bølge, genudsender lys med et retningsdiagram, der er karakteristisk for dipolmomentet. Hvis frekvensafhængigheden af partikelpermittiviteten kan negligeres, afhænger spredningsintensiteten af frekvensen til fjerde potens, hvilket resulterer i stærk kortbølgespredning . Diffuseret hvidt lys er domineret af en blå farvetone, mens uspredt lys domineres af rødt.

Hvis partikelstørrelsen er tæt på lysets bølgelængde , bliver spredningsmønsteret komplekst. Interferensen af bølger reflekteret fra forskellige dele af partikeloverfladen vises . Intensiteten af lys spredt i en bestemt vinkel afhænger af, hvor mange gange bølgen passer på partiklens diameter, så det afhænger stærkt af partiklens størrelse. Når flere bølgelængder passer ind i partikelstørrelsen, bliver vekslen mellem maksima og minima i strålingsmønsteret så hyppig, at når hvidt lys falder på for eksempel en kolloid opløsning, vil observatøren se spredt hvidt lys. Som følge heraf bliver et stof med et stort antal af sådanne partikler uigennemsigtigt. Dette er årsagen til den hvide farve af skyer på himlen, den hvide farve af mælk osv. En opløsning af kolloide partikler kan farves, når partiklernes stof selektivt absorberer lys i et bestemt spektralområde.

Hvis kuglens dimensioner er meget større end lysets bølgelængde, vil kuglens overflade opføre sig som en flad overflade. Der er en brydning og refleksion af lys, som er beskrevet af Fresnel-formlerne .

Spredning af en plan bølge af en sfærisk partikel

Problemet med spredning af en sfærisk nanopartikel er løst nøjagtigt uanset partikelstørrelsen. Lad os betragte spredningen af en plan bølge, der udbreder sig langs z - aksen polariseret langs x . Partiklens permittivitet og permeabilitet er og , mens mediet er hhv . For at løse spredningsproblemet [2] udskriver vi først løsningerne af Helmholtz vektorligningen i sfæriske koordinater , da felterne inden for og uden for partiklen skal opfylde den. Helmholtz ligning: $\varepsilon_{1}$ $\mu_{1}$ $\varepsilon$ $\mu$

\nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\ \ \ \ \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^ {2}\mathbf {H} =0

Udover Helmholtz-ligningen skal felterne også opfylde betingelserne og , . Alle de nødvendige egenskaber er i besiddelse af vektorsfæriske harmoniske , introduceret som følger: $\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H}$ $\nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E}$

\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)

— magnetiske harmoniske

\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn)){\mathbf {k} }}

- elektriske harmoniske

hvor

{\displaystyle {\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)))

{\displaystyle {\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)))

og er de tilknyttede Legendre-polynomier , og er enhver af de sfæriske Bessel-funktioner . $P_{n}^{m}(\cos \theta )$ $z_{n}({k}r)$

Dernæst er det nødvendigt at udvide den indfaldende planbølge med hensyn til vektorsfæriske harmoniske .

\mathbf {E} _{inc}=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0}\sum _{n=1}^{ \infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r } )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right)

\mathbf {H} _{inc}={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{ \frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right)

her betyder overskriften, at der i den radiale del af funktionerne er kugleformede Bessel-funktioner. $(en)$ $\psi _{^{e}_{o}mn}$

Udvidelseskoefficienterne opnås ved at tage integraler af formen

{\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{inc}\cdot \mathbf {M} _{^{ e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta d\theta d\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }| \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}|^{2}\sin \theta d\theta d\varphi }}

i dette tilfælde er alle koefficienter ved sat til nul, da integralet over vinklen i tælleren er sat til nul. $m\neq 1$ $\varphi$

Derefter overlejret

1) grænseforhold ved grænsen mellem bolden og omgivelserne (som gør det muligt at relatere udvidelseskoefficienterne for hændelsen, interne og spredte felter),

2) betingelsen for afgrænsning af opløsningen ved oprindelsen (derfor vælges sfæriske Bessel-funktioner i den radiale del af genereringsfunktionerne for det indre felt), $\psi _{^{e}_{o}mn}$

3) for det spredte felt svarer asymptotikken i det uendelige til en divergerende sfærisk bølge (i denne henseende vælges sfæriske Hankel-funktioner af den første slags for det spredte felt i den radiale del af genereringsfunktionerne). $\psi _{^{e}_{o}mn}$

De spredte felter er skrevet som en udvidelse i vektorharmoniske som

\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3 )}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right)

\mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n} \mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf { r} )\right)

her betyder overskriften, at i den radiale del af funktionerne er sfæriske Hankel-funktioner, og , $(3)$ $\psi _{^{e}_{o}mn}$ $E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)))$

og internt:

\mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{( 1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right)

\mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n }\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^ {(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right)

$k={\frac {\omega }{c}}n$ er bølgevektoren uden for partiklen, er bølgevektoren i partikelmaterialets medium og er brydningsindeksene for mediet og partiklen Efter anvendelse af randbetingelserne fås udtryk for koefficienterne: $k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}$ $n$ $n_{1}$

c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\venstre[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho ) \right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\ rho )}}

d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\venstre[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\ rho )-\mu _{1}n_{1}n\venstre[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2 }\venstre[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\venstre[\rho _{1 }j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1} )-\mu \venstre[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\venstre[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \venstre[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right ]'h_{n}(\rho )}}

a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\venstre[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho) }{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^ {2}\venstre[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

Her , , hvor er nanopartikelens radius, og er de sfæriske Bessel- og Hankel-funktioner af henholdsvis den første slags. $\rho =ka$ $\rho _{1}=k_{1}a$ $-en$ $j_n$ $h_{n}$

Spredning og ekstinktion tværsnit

Sprednings- og ekstinktionstværsnittene kan opnås ved at integrere de tilsvarende funktioner af de elektriske og magnetiske felter over en ydre kugle med stor radius. [2] På grund af de vektorsfæriske harmoniskes ortogonalitetsegenskaber opnås et simpelt forhold mellem Mie-koefficienterne og tværsnittene. Spredningstværsnit:

C_{sca}={\frac {2\pi }{k^{2))}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^ {2}+|b_{n}|^{2})

ekstinktion tværsnit:

C_{ext}={\frac {2\pi}{k^{2))}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+ b_{n})

Anvendelse til subbølgelængde partikler

Hvis flere bølgelængder passer ind i spredekuglens materiale, så har de spredte felter nogle ejendommeligheder. Yderligere vil vi tale om formen af det elektriske felt, da det magnetiske felt opnås fra det ved at tage rotoren.

Alle Mie-koefficienter afhænger af frekvens og har maksima, når nævneren er tæt på nul (nøjagtig nul opnås for komplekse frekvenser). I dette tilfælde er situationer mulige, hvor bidraget fra en specifik harmonisk dominerer signifikant i spredningen. Så ved store afstande fra partiklen vil retningsmønsteret af det spredte felt svare til det tilsvarende retningsmønster for den vinkelformede del af vektorsfæriske harmoniske. Overtoner svarer til elektriske dipoler (hvis bidraget fra denne harmoniske dominerer i udvidelsen af det elektriske felt, svarer feltet til feltet af en elektrisk dipol), svarer til det elektriske felt af en magnetisk dipol, og er elektriske og magnetiske quadrupols, og er octupoler, og så videre. Spredningskoefficienternes maksima (såvel som ændringen i deres fase med ) kaldes multipolresonanser. ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1))$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1))$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2))$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2))$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3))$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3))$ $\pi$

Formen for afhængigheden af spredningstværsnittet af bølgelængden og bidraget af specifikke resonanser afhænger stærkt af partiklens materiale. For eksempel for en guldpartikel med en radius på 100 nm dominerer den elektriske dipols bidrag til spredning i det optiske område, mens der for en siliciumpartikel er udtalte magnetiske dipol- og quadrupolresonanser. For metalpartikler kaldes toppen set i spredningstværsnittet også lokaliseret plasmonresonans .

I grænsen for små partikler eller lange bølgelængder er spredningstværsnittet domineret af det elektriske dipolbidrag.

Andre retninger af den indfaldende planbølge

I tilfælde af en x - polariseret plan bølge indfaldende langs z indeholdt udvidelserne af alle felter kun harmoniske med m=1 , men dette er ikke tilfældet for en vilkårlig indfaldende bølge [3] . For en roteret plan bølge kan ekspansionskoefficienterne opnås, for eksempel ved at bruge det faktum, at under rotationer transformerer vektorsfæriske harmoniske sig gennem hinanden på en bestemt måde . I dette tilfælde vil det spredte felt blive udvidet over alle mulige harmoniske:

\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf { M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Momn}\mathbf {M} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r}) +D_{Nemn}\mathbf {N} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N} _{omn}^{(3)}( k,\mathbf {r} ))

Så vil spredningstværsnittet blive udtrykt i koefficienterne som følger:

C_{sca}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2))}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n( n+1)}{(2n+1)}}\ gange {\Bigl [}\sum \limits _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(nm)! }}(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Momn}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2})+2| D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}{\Bigr ]}.

Kerker-effekt

I 1983 diskuterede Kerker, Wang og Giles [4] retningsbestemmelsen af spredning af partikler med . Det blev især vist, at tilbagespredning er fuldstændig undertrykt for hypotetiske partikler med. $\mu \neq 1$ $\mu=\varepsilon$

Derudover er de fremadgående og bagudgående spredningstværsnit simpelthen udtrykt i Mie-koefficienter [5] [6] :

C_{sca}^{bagud}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{ (2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n}){\bigg |}^{2}

C_{sca}^{forward}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{ (2n+1)}(a_{n}+b_{n}){\bigg |}^{2}

For visse kombinationer af koefficienter kan ovenstående udtryk minimeres. Så, for eksempel, når vilkårene med kan negligeres (dipoltilnærmelse) , svarer , til minimum tilbagespredning (de magnetiske og elektriske dipoler er lige store i absolut værdi og er i fase). Denne tilstand kaldes også "Kerkers første tilstand". og - minimum fremadspredning - "Kerkers anden betingelse". For at løse problemet nøjagtigt er det nødvendigt at tage højde for bidragene fra alle multipoler. Summen af de elektriske og magnetiske dipoler danner Huygens-kilden $n>1$ $(a_{1}-b_{1})=0$ $(a_{1}+b_{1})=0$

For dielektriske partikler observeres den maksimale fremadgående spredning ved bølgelængder, der er større end bølgelængden af den magnetiske dipolresonans, og bagud - ved kortere. [7]

Der er også en kort YouTube-video , der forklarer effekten .

Dyad Greens funktion af en bold

Den grønnes funktion er løsningen på følgende ligning:

\nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega } {c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ' )+{\bf {\hat {1))}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),

hvor er identitetsmatrixen, for , og for . Da alle felter er vektorfelter, er den grønnes funktion en 3 gange 3 matrix og kaldes en dyade. Hvis polarisering induceres i systemet , så udtrykkes felterne som ${\displaystyle {\hat {\bf {1))))$ $\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )$ $r<a$ $\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon$ $r>a$ $\mathbf {P} (\mathbf {r} )$

\mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}dV'{\hat {\bf {G} ))({\bf {r,r')),k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')

Ligesom felter kan Greenens funktion udvides i vektorsfæriske harmoniske [8] . Greens funktion af ledig plads [9] :

{\hat {\bf {G))}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})={\frac {\mathbf {e_{r))\ nogle gange \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _ {n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)} }{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

\left\{{\begin{array}{l}\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r } ]\nogle gange {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(1) [k,\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^ {(1)}[k,\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )}, {\text{if }}r<r'\\\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\ nogle gange {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(3 )}[k,\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )},{\text {if }}r>r'\end{array}}\right.

I nærvær af en bold udvides Greenens funktion også i vektorsfæriske harmoniske. Dens udseende afhænger af det miljø, hvori punkterne og [10] er placeret . $\mathbf {r}$ ${\mathbf {r))'$

Når begge punkter er uden for bolden( ): $r>a,r'>a$

{\hat {\bf {G))}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\hat {\bf {G ))^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty } \sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(nm)! } {(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+b_{n} ^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )))

hvor ekspansionskoefficienter:

a_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {\mu /\mu _{1}\venstre[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1 })\right]'j_{n}(\rho )-\venstre[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\venstre[\ rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\venstre[\rho _{1}j_{n}(\ rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

b_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}( \rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}( \rho _{1})}{n_{1}^{2}\venstre[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{ 2}\mu _{1}/\mu \venstre[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.

Begge punkter inde i bolden ( ): $r<a,r'<a$

{\hat {\bf {G))}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\hat {\bf {G ))^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1)))+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n= 1 }^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1))){\ frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

\cdot {\Bigl (}c_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_ {1},\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '] )+d_{n}^{(1)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )} ,

Dekomponeringskoefficienter:

c_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{ n}(\rho _{1})-\venstre[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{\venstre[\ rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \venstre[\rho h_{n}(\ rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},

d_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\venstre[\rho h_{n}(\ rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-n^{2}\venstre[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_ {n}(\rho )}{n^{2}\venstre[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{ 1}^{2}\mu /\mu _{1}\venstre[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.

Kilde indenfor og observation udenfor ( ): $r>a,r'<a$

{\hat {\bf {G))}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\frac {ik_{1} }{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+ 1 }{n(n+1)}}{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_ {n}^{(1)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )))

ekspansionskoefficienter:

a_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n }(\rho _{1})-\venstre[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\ venstre[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \venstre[\rho h_{n }(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},

b_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {nn_{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right] 'h_{n}(\rho _{1})-nn_{1}\venstre[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu _{1}/\mu \venstre[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n} (\rho )-n_{1}^{2}\venstre[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.

Kilden er udenfor og observation er indeni ( ): $r<a,r'>a$

{\hat {\bf {G))}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\frac {ik}{4 \pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{ n(n+1)}}{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}c_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k ,\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_ {n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\nogle gange {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )))