Vektor sfæriske harmoniske

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. december 2019; checks kræver 13 redigeringer .

Vektorsfæriske harmoniske er vektorfunktioner, der transformerer under rotationer af koordinatsystemet på samme måde som skalære sfæriske funktioner med de samme indekser eller visse lineære kombinationer af sådanne funktioner.

Definitioner

1. Vektorsfæriske harmoniske er vektorfunktioner, der er egenfunktioner af operatorerne , hvor er den orbitale vinkelmomentoperator, er spinmomentumoperatoren for spin 1, er den totale vinkelmomentoperator. [en] $\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )$ ${\hat {\mathbf {J} }}^{2},{\hat {J}}_{z},{\hat {\mathbf {L} }}^{2},{\hat {\mathbf {S} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}$ ${\hat {\mathbf {S} ))$ ${\hat {\mathbf {J} ))={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}$

{\begin{array}{l}{{\hat {\mathbf {J} }}^{2}\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )={ J}({J}+1)\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\\{{\hat {J))_{z}\mathbf {Y} _ {JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=M\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\\{{\hat {\mathbf {L} } }^{2}\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=L(L+1)\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\ varphi )}\\{{\hat {\mathbf {S} }}^{2}\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=2\mathbf {Y} _{ JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\end{array}}

2. Ofte (se f.eks. Mie Scattering ) kaldes det fundamentale sæt af løsninger af vektor Helmholtz-ligningen i sfæriske koordinater for vektorharmoniske. [2] [3]

I dette tilfælde genereres vektorsfæriske harmoniske af skalarfunktioner, der er løsningen af Helmholtz-ligningen med bølgevektor . ${\bf {k))$

{\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)} \\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array))

hvor er de tilknyttede Legendre polynomier , og er enhver af de sfæriske Bessel-funktioner . $P_{n}^{m}(\cos \theta )$ $z_{n}({k}r)$

Vektor harmoniske er udtrykt som

{\displaystyle \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn))

- langsgående harmoniske

\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)

- magnetiske harmoniske

\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn)){\mathbf {k} }}

- elektriske harmoniske

Her introducerer vi genereringsfunktioner med en reel vinkeldel, men analogt kan vi også introducere komplekse harmoniske.

3. Også ofte introduceret er sfæriske vektorer [4] [5] [6] [7] , som er lineære kombinationer af funktioner , men som ikke er egenfunktioner af kvadratet af det orbitale vinkelmoment, men er orienteret på en bestemt måde mhp. til enhedsvektoren . [1] . Definitioner og betegnelser for vektorer af denne type i litteraturen varierer meget, her er en af mulighederne. $\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )$ ${\mathbf {r))$

\mathbf {X} _{JM}(\theta ,\phi )={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}\mathbf {L} Y_{JM}(\ theta ,\phi )={\frac {1}{i{\sqrt {l(l+1))))}\mathbf {r} \times \nabla Y_{JM}(\theta ,\phi )={ \mathbf {Y} _{JM}^{(0)}(\vartheta ,\varphi )=\mathbf {Y} _{JM}^{J}(\vartheta ,\varphi )}

- vektorer af magnetisk type.

{\displaystyle i\mathbf {Y} _{JM}^{(0)}(\vartheta ,\varphi )\times \mathbf {r} ={\mathbf {Y} _{JM}^{(1)} (\vartheta ,\varphi )={\sqrt {\frac {J+1}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J-1}(\vartheta ,\varphi )+{ \sqrt {\frac {J}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J+1}(\vartheta ,\varphi )))

- elektriske vektorer

\mathbf {r} Y_{JM}(\vartheta ,\varphi )={\mathbf {Y} _{JM}^{(-1)}(\vartheta ,\varphi )={\sqrt {\ frac {J}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J-1}(\vartheta ,\varphi )-{\sqrt {\frac {J+1}{2J+1} }}\mathbf {Y} _{JM}^{J+1}(\vartheta ,\varphi )}

- langsgående sfærisk vektor

For vektorer af denne type er generatorer skalære sfæriske funktioner uden en radial del. $Y_{JM}(\vartheta ,\varphi )$

Elektriske harmoniske . afbilledet to gange ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1))$ $\mathbf {N} _{e01}$
Elektriske harmoniske . afbilledet to gange ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2))$ $\mathbf {N} _{e02}$
Elektriske harmoniske . afbilledet to gange ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3))$ $\mathbf {N} _{e03}$

Magnetiske harmoniske . afbilledet to gange ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1))$ $\mathbf {M} _{e01}$
Magnetiske harmoniske . afbilledet to gange ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2))$ $\mathbf {M} _{e02}$
Magnetiske harmoniske . afbilledet to gange ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3))$ $\mathbf {M} _{e03}$

Ortogonalitet

Løsninger af Helmholtz vektorligningen overholder følgende ortogonalitetsrelationer [3] :

{\int _{0}^{2\pi}\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L } _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+ 1 )^{2))}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}k^{2}\venstre\{n\venstre[z_{n-1}(kr)\højre ] ^{2}+(n+1)\venstre[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}

{\int _{0}^{2\pi}\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M } _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1 }}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}n(n+1)\venstre[z_{n}(kr)\right]^{2}}

\int _{0}^{2\pi}\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1 )^{2))}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}n(n+1)\venstre\{(n+1)\venstre[z_{n-1}( kr)\right]^{2}+n\venstre[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}

{\int _{0}^{\pi}\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N } _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+ 1 )^{2))}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}n(n+1)k\venstre\{\venstre[z_{n-1}(kr)\ højre ]^{2}-\venstre[z_{n+1}(kr)\højre]^{2}\højre\}}

Alle andre integraler over vinkler mellem forskellige funktioner eller funktioner med forskellige indeks er lig med nul.

Eksplicit visning

Lad os introducere notationen . Den eksplicitte form for magnetiske og elektriske harmoniske har følgende form: $\rho =kr$

{\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {-m}{\sin(\theta )))\sin(m \varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }-}\\{-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{ justeret}}

{\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {m}{\sin(\theta )))\cos(m\ varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))))z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }-\\{-\sin(m\varphi ) {\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned }}

{\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos( m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+}\\{+\cos(m\ varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta ))}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\ rho ))\venstre[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }-\\{-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n} ^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\venstre[\ rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned))

{\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}&(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin( m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+\\&+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho } }\venstre[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }+\\&+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^ {m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\venstre[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned))

Det kan ses, at de magnetiske harmoniske ikke har nogen radial komponent. For elektriske harmoniske falder den radiale komponent hurtigere end de kantede, så den kan negligeres ved store. For elektriske og magnetiske harmoniske med sammenfaldende indekser falder vinkelkomponenterne desuden sammen op til en permutation af de polære og azimutale enhedsvektorer, dvs. generelt er vektorerne for elektriske og magnetiske harmoniske lige i absolut værdi og vinkelret på hver Andet. $\rho$ $\rho$

Eksplicit form for langsgående harmoniske:

{\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}&(k,\mathbf {r} )={\frac {\partial }{\partial r }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}+ \\&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^ {\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\mp \\&\mp {\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr )P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned))

Rotationer og inversion af koordinatsystemet

Under rotationer transformeres vektorsfæriske harmoniske gennem hinanden på samme måde som de tilsvarende skalariske sfæriske funktioner , der genererer for en bestemt type vektorharmoniske. For eksempel, hvis de genererende funktioner er almindelige sfæriske funktioner , vil vektorharmoniske også blive transformeret ved hjælp af Wigner D-matricer [1] [8] [9]

{\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{m'= -\ell }^{\ell [D_{MM'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{( s)}(\theta ,\varphi ),

Svingadfærden er den samme for elektriske, magnetiske og langsgående harmoniske.

Ved invertering opfører de elektriske og langsgående sfæriske harmoniske sig på samme måde som skalære sfæriske funktioner, dvs.

{\hat {I}}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi ),

og magnetisk har den modsatte paritet:

{\hat {I}}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M} _{JM}(\theta , \varphi ),

Planbølgeudvidelse og integrale relationer

I dette afsnit vil vi bruge følgende notation

{\begin{aligned}Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n }^{m}(\cos \theta )\end{aligned}}

\mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k}}{k))\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)\right)

\mathbf {Z} _{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)=i{\frac {\mathbf {k } }{k))\ gange \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\venstre({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)

I det tilfælde, hvor man i stedet for sfæriske Bessel-funktioner, ved at bruge udvidelsesformlen for den komplekse eksponent i sfæriske funktioner , kan opnå følgende integralrelationer: [10] $z_n$

{\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn} \left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k))

{\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X} _{pmn} \left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k))

I det tilfælde, hvor der i stedet for de sfæriske Hankel-funktioner skal bruges andre ekspansionsformler. [11] [10] For vektorsfæriske harmoniske opnås følgende relationer: $z_n$

\mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{ -\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right))){k_ {z}}}\left[\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]

\mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{ -\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right))){k_ {z}}}\left[\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]

hvor , og overskriften betyder, at de sfæriske Hankel-funktioner bruges. ${\displaystyle k_{z}={\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2))))$ $(3)$