Hankel transformation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. august 2019; checks kræver 12 redigeringer .

I matematik er Hankel-transformationen af rækkefølgen af en funktion givet af formlen $\nu$ $f(r)$

F_{\nu}(k)=\int \limits _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu}(kr)r\,dr,

hvor er Bessel-funktionen af den første slags orden og . Den omvendte Hankel-transformation af en funktion er udtrykket ${\displaystyle J_{\nu))$ $\nu ,$ $\nu \geqslant -1/2$ $F_{\nu }(k)$

f(r)=\int \limits _{0}^{\infty }F_{\nu}(k)J_{\nu}(kr)k\,dk,

som kan kontrolleres ved hjælp af ortogonaliteten beskrevet nedenfor.

Hankel-transformationen er en integreret transformation . Det blev opfundet af Hermann Hankel og er også kendt som Bessel-Fourier transformationen.

Omfang

Hankel-transformationen af en funktion er sand for alle punkter på intervallet , hvor funktionen er kontinuert eller stykkevis kontinuerlig med endelige spring, og integralet $f(r)$ $(0,\infty )$ $f(r)$

\int \limits _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{1/2}\,dr

begrænset.

Det er også muligt at udvide denne definition (svarende til Fourier-transformationen ) til at omfatte nogle funktioner, hvis integral er uendelig (f.eks. ). $f(r)=r$

Ortogonalitet

Bessel-funktionerne danner en ortogonal basis med vægt : $r$

\int \limits _{0}^{\infty }J_{\nu}(kr)J_{\nu}(k'r)r\,dr={\frac {\delta (kk')} {k}}

for . $k,k'>0$

Hankel-transformation af nogle funktioner

$f(r)$	$F_{0}(k)$
$en$	$\delta (k)/k$
$r$	$-1/k^{3}$
$r^{3}$	$9/k^{5}$
${\displaystyle r^{m))$	${\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)))$ for ulige m , $0$ for selv m .
$e^{iar}$	${\displaystyle {\frac {-ia{\sqrt {k^{2}-a^{2)))){(k^{2}-a^{2})^{2))))$
${\displaystyle e^{a^{2}r^{2}/2))$	${\displaystyle {\frac {-e^{k^{2}/2a^{2))}{a^{2))))$

Se også

Fourier transformation

Links

Gaskill, Jack D., "Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics", John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5 .
Polyanin, A.D. og Manzhirov, A.V., Handbook of Integral Equations , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 .

Integrale transformationer
Abel transformerer Bessel forvandler sig Bushman transformation Gegenbauer transformation Hilbert transformation Kontorovich-Lebedev transformation Laplace transformation Meyer transformation Mehler-Fock transformation Mellin transformation Nerain transformation Radon transformation Stieltjes transformerer Fourier transformation Hankel transformation Hartley transformation