Octamino

Octamino  - ottecellede polyominoer , det vil sige flade figurer bestående af otte lige store firkanter forbundet med sider. Med octamino-figurer, som med alle polyominoer, er der mange problemer med at underholde matematik.

Hvis vi ikke tæller de forskellige figurer der er sammenfaldende under rotationer og spejlrefleksioner, så er der 369 forskellige ("frie") former for octamino (se figur) [1] . Der er 704 typer "ensidigt" octamino (hvis spejlrefleksioner betragtes som forskellige figurer) og 2725 typer "fast" octamino (drejninger betragtes også som forskellige) [2] .

Klassificering af oktaminofigurer i henhold til deres symmetriegenskaber

369 frie oktaminofigurer i henhold til deres symmetriegenskaber kan opdeles i 8 kategorier:

• 316 octamino-figurer (vist med gråt på figuren) er asymmetriske;
• 23 octamino (afbildet i rødt) har en symmetriakse parallel med linjerne i det firkantede gitter;
• 5 octamino (afbildet med grønt) har en diagonal symmetriakse;
• 18 octamino (afbildet i blåt) har andenordens central (rotations) symmetri;
• 1 octamino (afbildet i gult) har en central (rotations) symmetri af fjerde orden;
• 4 octamino (afbildet i lilla) har to symmetriakser parallelt med gitterlinjerne;
• 1 octamino (afbildet i orange) har to diagonale symmetriakser.
• 1 octamino (afbildet i blå-grøn) har fire symmetriakser - to parallelle med gitterlinjerne og to diagonale.

Octamino er den mindste polyomino-rækkefølge, hvor alle otte mulige typer symmetri er realiseret. Den næste rækkefølge af polyominoer med denne egenskab er dodecamino (tolv celle polyominoer).

Hvis spejlbillederne af figurerne betragtes som forskellige, så fordobles den første, fjerde og femte kategori i antal, hvilket giver yderligere 335 oktamino, det vil sige i alt 704 ensidede oktaminoer.

Hvis rotationer også betragtes som forskellige tal, så

• figurer af den første kategori kan orienteres på otte forskellige måder;
• figurer fra kategorier fra den anden til den fjerde - fire;
• figurer fra kategori fem til syv - to;
• den eneste figur fra den sidste kategori kan orienteres på en unik måde.

Dette giver fast octamino.

Tegning af figurer fra octamino

Blandt de 369 gratis octaminoer er der 6 figurer med huller ("ikke-simpelthen forbundet"). Det følger af dette, at en fuldstændig dækning af ethvert rektangel med et område af kvadrater med et komplet sæt octamino er umuligt. De kan dog stables i nogle rektangler med et areal på 2958 kvadrater med seks encellede huller. Da tallet 2958 er et produkt af primfaktorer 2×3×17×29, kan vi rejse spørgsmålet om at tegne rektangler 6×493, 17×174, 29×102, 34×87 og 51×58.

For et 51×58 rektangel er der en løsning med et symmetrisk arrangement af huller, vist på figuren. Der er også en stabling af octamino i tre 29x34 rektangler, hver med to huller nær midten. Ved at kombinere dem på forskellige måder kan du få et 34x87 eller 29x102 rektangel med et symmetrisk arrangement af tre par huller. Løsninger til rektangler 6×493 og 17×174 kendes endnu ikke.

Spatial octamino

Fra 369 rumlig octamino, formet som almindelig "flad" octamino, kan en 8  ×  9  ×  41 cuboid samles. En løsning bruger alle undtagen den lige octamino til at samle otte separate 1  ×  9  ×  41 lag; direkte octamino passerer gennem centrene af alle otte lag [3] .

Pseudoctamino

Pseudopolyomino er en generalisering af polyomino, et sæt felter på et uendeligt skakbræt, som kongen kan omgå [1] . Der er 18.770 frie (tosidede) [4] , 37.196 ensidede [5] og 147.941 faste [6] pseudo-oktaminoer.

Noter

1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 .
2. ↑ Weisstein, Eric W. Octomino  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
3. ↑ Ed Pegg, Jr. materiale tilføjet 11. marts 2001 . Patrick Hamlyn pakkede de solide oktominoer på en imponerende måde, med en trefarvet! . MathPuzzle.com . Hentet 20. november 2015. Arkiveret fra originalen 26. januar 2016. (ubestemt)
4. ↑ OEIS -sekvens A030222 _
5. ↑ OEIS -sekvens A030233 _
6. ↑ OEIS -sekvens A006770 _

Litteratur

• Golomb S.V. . Polyomino \u003d Polyominoes / Pr. fra engelsk. V. Firsova. Forord og udg. I. Yagloma . —M.:Mir, 1975. — 207 s.