Implicit funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. december 2021; checks kræver 2 redigeringer .

En implicit ligning er et forhold af formen , hvor R er en funktion af flere variable (ofte et polynomium ). For eksempel er den implicitte ligning for enhedscirklen . $R(x_{1},\dots,x_{n})=0$ $x^{2}+y^{2}-1=0$

En implicit funktion er en funktion defineret af en implicit ligning som en forbindelse af en af variablerne (værdi) med andre variable (argumenter) [1] . Således er den implicitte funktion y i sammenhæng med enhedscirklen implicit defineret af ligningen . Denne implicitte ligning definerer f som en funktion af x , hvis og kun ikke-negative (eller kun ikke-positive) værdier af funktionen tages i betragtning. $x^{2}+f(x)^{2}-1=0$ $-1\leqslant x\leqslant 1$

Den implicitte funktionssætning giver betingelser, hvorunder en form for relation bestemmer en implicit funktion, nemlig relationer defineret som en indikator for sættet af nuller af en eller anden kontinuerlig differentierbar funktion af mange variable .

Eksempler

Inverse funktioner

En typisk slags implicit funktion er den omvendte funktion . Ikke alle funktioner har en enkelt invers funktion. Hvis g er en funktion af x , der har en unik invers, så er den inverse af g , betegnet med , den eneste funktion, der løser ligningen $g^{{-1}}$

y=g(x)

med x i form af y . Løsningen kan så skrives som:

x=g^{-1}(y)\,.

Definitionen som en invers funktion for g er en implicit definition. For nogle funktioner g , kan funktionen skrives i lukket form . For eksempel, hvis , har vi . Dette er dog ofte ikke muligt eller kan kun gøres ved at indføre yderligere notation (som for Lambert W-funktionen i eksemplet nedenfor). $g^{{-1}}$ $g^{-1}(y)$ $g(x)=2x-1$ $g^{-1}(y)={\tfrac {1}{2}}(y+1)$

Intuitivt opnås den inverse funktion fra g ved at vende variablernes roller.

Eksempel. Lambert w-funktionen er en implicit funktion, der giver løsninger i x til ligningen .

y-xe^{x}=0

Algebraiske funktioner

En algebraisk funktion er en funktion, der opfylder en polynomialligning, hvis koefficienter i sig selv er polynomier. For eksempel giver en algebraisk funktion af en variabel x en løsning for y af ligningen

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,

hvor koefficienterne er polynomier i x . Denne algebraiske funktion kan skrives som højre side af løsningen til ligningen . Hvis den skrives på denne måde, viser funktionen f sig at være en implicit funktion med flere værdier . $a_{i}(x)$ $y=f(x)$

Algebraiske funktioner spiller en vigtig rolle i calculus og algebraisk geometri . Et simpelt eksempel på en algebraisk funktion er givet af venstre side af enhedscirkelligningen:

x^{2}+y^{2}-1=0\,.

Løsning af ligningen i y giver en eksplicit løsning:

y=\pm {\sqrt {1-x^{2))}\,.

Men selv uden at specificere en eksplicit løsning, kan man angive en implicit løsning af enhedscirkelligningen som , hvor f er en flerværdi implicit funktion. $y=f(x)$

Mens en eksplicit løsning kan findes for andengradsligninger , kubiske ligninger og , er dette generelt ikke sandt for kvintiske ligninger og derover, som f.eks.

y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.

Man kan dog fortsætte med at henvise til den implicitte løsning ved hjælp af den multivalued implicitte funktion f . $y=f(x)$

Advarsler

Ikke hver ligning fører til en graf for en funktion med en enkelt værdi, ligningen for en cirkel er et godt eksempel. Et andet eksempel er den implicitte funktion defineret af ligningen , hvor C er et kubisk polynomium , der har en "pukkel" på grafen. Så, for at den implicitte funktion skal være en sand (en-til-en) funktion, skal kun en del af grafen bruges. En implicit funktion kan kun med succes defineres som en ægte funktion efter at have "feltreduceret" en del af x -aksen og "afskåret" nogle uønskede funktionsgrene. Derefter kan du udskrive udtrykket for y som en implicit funktion af de resterende variable. $R(x,y)=0$ $xC(y)=0$

Definitionen af en funktion ved lighed kan også have andre patologier. For eksempel indebærer ligheden slet ikke nogen funktion , der giver en løsning for y , da det er en lodret linje. For at undgå problemer som dette, er der ofte fremsat forskellige begrænsninger på ligningerne eller på funktionens domæne . Den implicitte funktionssætning giver en samlet tilgang til at håndtere denne type patologi. $R(x,y)=0$ $x=0$ $f(x)$

Implicit differentiering

I matematisk analyse bruger en teknik kaldet implicit differentiering kompleks funktionsdifferentiering til at differentiere implicit givne funktioner.

For at differentiere en implicit funktion defineret af en ligning , kan man normalt ikke blot løse ligningen eksplicit for y og derefter differentiere. I stedet kan man finde den samlede afledte med hensyn til x og y og derefter løse den resulterende lineære ligning med hensyn til at opnå den afledede i form af x og y . Selvom det er muligt at løse den oprindelige ligning eksplicit, er formlen afledt af den samlede afledte af funktionen normalt enklere og mere bekvem at bruge. $y(x)$ $R(x,y)=0$ $R(x,y)=0$ ${\tfrac {dy}{dx))$

Eksempler

Eksempel 1. Overvej

y+x+5=0\,.

Denne ligning er let at løse for y , hvilket giver

y=-x-5\,,

hvor højre side er den eksplicitte repræsentation af funktionen . Differentiering giver . $y(x)$ ${\tfrac {dy}{dx}}=-1$

Du kan dog differentiere den oprindelige ligning:

{\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,; \\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}

At løse for , får vi ${\tfrac {dy}{dx))$

{\frac {dy}{dx}}=-1\,,

og vi får samme svar som før.

Eksempel 2. Et eksempel på en implicit funktion, hvor implicit differentiering er lettere end eksplicit, er funktionen udtrykt ved ligningen $y(x)$

x^{4}+2y^{2}=8\,.

For eksplicit at differentiere med hensyn til x , omskriver vi først ligheden som

y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,

Lad os nu differentiere denne funktion. Dette skaber to derivater, en for og en for . $y\geqslant 0$ $y<0$

Det er meget lettere at udføre implicit differentiering af den oprindelige ligning:

4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,

hvad giver

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.

Eksempel 3. Det er ofte svært eller endda umuligt at løse ligningen eksplicit med hensyn til y , og implicit differentiering bliver den eneste gyldige differentieringsmetode. Et eksempel er ligningen

y^{5}-y=x\,.

Det er umuligt algebraisk at udtrykke y som en funktion af x , så det kan ikke findes ved eksplicit differentiering. Ved hjælp af den implicitte metode kan opnås ved at differentiere ligningen, som giver ${\tfrac {dy}{dx))$ ${\tfrac {dy}{dx))$

5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,

hvor . Tag ud og modtag ${\tfrac {dx}{dx}}=1$ ${\tfrac {dy}{dx))$

\left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,

hvilket resulterer i udtrykket

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,

som er defineret til

y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5))}\quad

\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.

Formel for den afledede af en implicit funktion

Hvis , så $R(x,y)=0$

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y ))}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,

hvor og betegner de partielle afledte af funktionen R med hensyn til henholdsvis x og y . [2] $R_{x}$ $R_{y}$

Ovenstående formel er opnået fra en multidimensionel variant af differentiering af en kompleks funktion for at opnå den samlede afledte af funktionen med hensyn til x på begge sider af udtrykket : $R(x,y)=0$

{\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx }}=0\,,

følgelig

{\frac {\partial R}{\partial x))+{\frac {\partial R}{\partial y)){\frac {dy}{dx))=0\,,

hvorfra, når vi løser relativ, får vi ovenstående udtryk. ${\tfrac {dy}{dx))$

Implicit funktionssætning

Lade være en differentierbar funktion af to variable, og lad være et par reelle tal sådan, at . If , ligheden definerer en implicit funktion , der er differentierbar i et tilstrækkeligt lille område af punktet . Med andre ord er der en differentierbar funktion f , der er defineret og differentierbar i et eller andet område af punktet a , således at for x i det område. $R(x,y)$ $(a,b)$ $R(a,b)=0$ ${\tfrac {\partial R}{\partial y))\neq 0$ $R(x,y)=0$ $(a,b)$ $R(x,f(x))=0$

Betingelsen betyder, at det er et regulært punkt på den implicitte kurve af ligningen , hvor tangenten ikke er lodret. ${\tfrac {\partial R}{\partial y))\neq 0$ $(a,b)$ $R(x,y)=0$

I simplere (mindre præcist) sprog eksisterer implicitte funktioner og kan differentieres, hvis kurven ikke har en lodret tangent [2] .

I algebraisk geometri

Overvej en relation af formen , hvor R er et polynomium i flere variable. Sættet af variabelværdier, der opfylder denne relation, kaldes en implicit kurve hvis og en implicit overflade hvis . Implicitte ligninger danner grundlaget for algebraisk geometri , hvis hovedemne er den samtidige løsning af flere implicitte ligninger, hvis venstre side er polynomier. Disse løsningssæt kaldes affine algebraiske mængder . $R(x_{1},\dots,x_{n})=0$ $n=2$ $n=3$

I teorien om differentialligninger

Løsninger af differentialligninger er normalt udtrykt ved implicitte funktioner [3] .

Ansøgninger i økonomi

Marginal substitutionsrate

I økonomi , hvor niveausættet er en indifferenskurve for mængderne x og y af forbrugsvarer, fortolkes den absolutte værdi af den implicitte afledte som den marginale substitutionsgrad for to materialer - hvor meget y skal der til for ikke at bemærke tabet af en materialeenhed x . $R(x,y)=0$ ${\tfrac {dy}{dx))$

Marginal hastighed for teknisk substitution

Tilsvarende er niveauet nogle gange en isokvant , der viser de forskellige kombinationer af arbejdsstyrke L og produktionskapital K , der resulterer i produktionen af en bestemt mængde produkter. I dette tilfælde fortolkes den absolutte værdi af den implicitte afledte som den marginale sats for teknisk substitution mellem to produktionsfaktorer - hvor meget mere kapital en virksomhed skal bruge for at producere den samme mængde output pr. arbejdsenhed. $R(L,K)$ ${\tfrac {dK}{dL))$

Optimering

Ofte i teoretisk økonomi maksimeres nogle funktioner, såsom en nytte- eller profitfunktion , over en vektor x , selvom den objektive funktion ikke er begrænset til en bestemt form. Den implicitte funktionssætning garanterer, at førsteordensbetingelserne af optimeringsproblemet definerer en implicit funktion for hvert element i den optimale vektor . I tilfælde af profitmaksimering er den implicitte funktion normalt behovet for arbejdskraft og udbuddet af forskellige produkter. Hvis nytten er maksimeret, er de implicitte funktioner normalt arbejdsressourcer og efterspørgselskurver for forskellige produkter. $x*$

Desuden kan indflydelsen af problemparametrene på - partielle afledte af den implicitte funktion - udtrykkes ved hjælp af et system af førsteordens totalafledte fundet ved hjælp af den samlede afledede af funktionen . $x*$

Noter

↑ Chiang, 1984 , s. 204-206.
↑ 1 2 Stewart, 1998 , s. §11.5.
↑ Kaplan, 2003 .

Litteratur

Alpha C Chiang. Grundlæggende metoder for matematisk økonomi . - Tredje. - New York: McGraw-Hill, 1984. - ISBN 0-07-010813-7 . (Registrering er nødvendig for at få adgang til bogen)
Wilfred Kaplan. Avanceret beregning. - Boston: Addison-Wesley, 2003. - ISBN 0-201-79937-5 .
James Stewart. Calculus begreber og sammenhænge . - Brooks/Cole Publishing Company, 1998. - ISBN 0-534-34330-9 . (Registrering er nødvendig for at få adgang til bogen)

Læsning for yderligere læsning

Binmore KG Implicitte funktioner // Calculus. - New York: Cambridge University Press, 1983. - S. 198-211. - ISBN 0-521-28952-1 .
Walter Rudin. Principper for matematisk analyse . - Boston: McGraw-Hill , 1976. - s . 223-228 . — ISBN 0-07-054235-X .
- Oversættelse af W. Rudin. Grundlæggende om matematisk analyse. - M . : "Mir", 1976.
Carl P. Simon, Lawrence Blume. Implicitte funktioner og deres afledninger // Matematik for økonomer . - New York: W. W. Norton, 1994. - S. 334-371 . — ISBN 0-393-95733-0 .

Implicit funktion

Eksempler

Inverse funktioner

Algebraiske funktioner

Advarsler

Implicit differentiering

Eksempler

Formel for den afledede af en implicit funktion

Implicit funktionssætning

I algebraisk geometri

I teorien om differentialligninger

Ansøgninger i økonomi

Marginal substitutionsrate

Marginal hastighed for teknisk substitution

Optimering

Noter

Litteratur

Læsning for yderligere læsning

Links