Neutralt element

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. juli 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Det neutrale element i en binær operation er et element, der lader ethvert andet element være uændret, når den binære operation anvendes på disse to elementer.

Definition

Lad være et sæt med en binær " " operation defineret på den . Et element kaldes neutralt med hensyn til (multiplikation) if $(M,\cdot)$ $M$ $\cdot$ $e\in M$ $\cdot$

x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M

I tilfælde af ikke-kommutative operationer introducerer man et venstreneutralt element for hvilket $e_{\mathrm {l} }$

e_{\mathrm {l} }\cdot x=x,\quad \forall x\in M

og det rigtige neutrale element , for hvilket ${\displaystyle e_{\mathrm {r} ))$

x\cdot e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in M

Generelt kan der være et vilkårligt antal elementer, der er neutrale til venstre eller højre. Hvis både et venstre-neutralt element og et højre-neutralt element eksisterer samtidigt , så skal de falde sammen (fordi ). $e_{{{\mathrm l}}}$ $e_{{{\mathrm r}}}$ $e_{{{\mathrm r}}}=e_{{{\mathrm l}}}\cdot e_{{{\mathrm r}}}=e_{{{\mathrm l}}}$

Eksempler

Masser af	binær operation	neutralt element
Reelle tal	$+$ ( tilføjelse )	nummer 0
Reelle tal	$\cdot$ ( multiplicere )	nummer 1
Reelle tal	$-$ ( subtraktion )	nummer 0 (neutral højre)
Reelle tal	$a^{b}$ ( eksponentiering )	nummer 1 (neutral højre)
Udvidet tallinje	$\div$ ( division )	nummer 1 (neutral højre)
vektor rum	$+$ ( vektoraddition )	${\vec 0}$ ( nul vektor )
Dimensionsmatricer _ $m\ gange n$	$+$ (matrix addition)	nul matrix
Dimensionsmatricer $n\ gange n$	$\ gange$ (matrix produkt)	identitetsmatrix
Se funktioner $f:M\til M$	$\cirk$ ( funktionssammensætning )	identitetskortlægning
Karakterstrenge	sammenkædning	tom linje
Udvidet tallinje	$\min$ ( minimum ) eller ( infimum ) $\inf$	$+\infty$
Udvidet tallinje	$\max$ ( max ) eller ( suprem ) $\op$	$-\infty$
Delmængder af et sæt $M$	$\kasket$ ( sæt kryds )	$M$
Sæt	$\kop$ ( sæt forening )	$\varnothing$ ( tomt sæt )
propositionsregning	$\kile$ ( sammenhæng )	$\top$ (rigtigt)
propositionsregning	$\lor$ ( adskillelse )	$\bot$ (Falsk)

Terminologi

I algebra

I den multiplikative notation givet i definitionen er det sædvanligt at kalde et neutralt element for et enkelt element eller blot en enhed i analogi med nummeret af samme navn . Se artiklen " enhed (algebra) " for bilaterale neutrale elementer af multiplikation i ringe , felter og algebraer over dem.

Hvis vi taler om det neutrale element i operationen, betegnet (og kaldet) addition , så kaldes det neutrale element nul , igen i analogi med nummeret af samme navn . Addition kaldes ikke kun en operation i ringteori og lineær algebra, men normalt en gruppeoperation i Abelske grupper i additiv notation.

I gitterteori

I gitterteori er det neutrale element i operationen "∨" angivet med "0", og det neutrale element i operationen "∧" er angivet med "1".

Se også

Absorberende element
Omvendt element
Monoid
Gruppe