Multipol stråling

Multipol stråling er stråling på grund af ændringen i tid af systemets multipolmomenter. Bruges til at beskrive elektromagnetisk eller gravitationsstråling fra en tidsvarierende (ikke-stationær) fordeling af fjerne kilder. Den multipolede nedbrydning anvendes på fysiske fænomener, der opstår i forskellige skalaer, fra gravitationsbølger på grund af kollision af galakser til gammastråling på grund af radioaktivt henfald [1] [2] [3] . Multipol stråling analyseres på måder svarende til dem, der bruges til multipol udvidelse af felter fra stationære kilder. Der er dog vigtige forskelle, da felterne med flerpolet stråling opfører sig noget anderledes end felter fra stationære kilder. Denne artikel beskæftiger sig primært med elektromagnetisk multipol stråling, selvom gravitationsbølger behandles på samme måde.

Egenskaber for multipol stråling

Linearitet af momenter

Da Maxwells ligninger er lineære, afhænger det elektriske felt og det magnetiske felt lineært af kildefordelingen. Linearitet giver mulighed for selvstændigt at beregne felterne ud fra forskellige multipolmomenter og tilføje dem for at få systemets samlede felt. Dette er det velkendte princip for superposition .

Afhængighed af multipolmomenter af referencepunktet

Multipol-momenter beregnes i forhold til et fast referencepunkt, som tages som udgangspunkt for det givne koordinatsystem. Forskydningen af oprindelsen ændrer systemets multipolmomenter, bortset fra det første ikke-nul-moment. [4] [5] For eksempel er monopolmomentet for en ladning simpelthen størrelsen af systemets samlede ladning. Ændring af referencepunktet vil aldrig ændre dette øjeblik. Hvis monopolmomentet er lig med nul, så vil systemets dipolmoment være translationelt invariant. Hvis både monopol- og dipolmomenter er lig med nul, så er quadrupolmomentet invariant under forskydning osv. Da momenter af højere orden afhænger af oprindelsens position, kan de ikke betragtes som systemets invariante egenskaber.

Feltafhængighed af afstand

Feltet fra multipolmomentet afhænger både af afstanden fra koordinaternes oprindelse og af det betragtede punkts vinkelorientering i forhold til koordinatsystemet. [4] Især er det elektromagnetiske felts radiale afhængighed af det stationære feltmoment proportional med [2] . Således er det elektriske felt fra en elektrisk monopol omvendt proportional med kvadratet på afstanden. På samme måde skaber et elektrisk dipolmoment et felt, der er omvendt proportionalt med afstandens terning, og så videre. Efterhånden som afstanden øges, bliver bidraget fra højordensmomenter meget mindre end bidraget fra lavordensmomenter. Derfor kan højordensmomenter udelades for at lette beregningerne. ${\displaystyle 2^{\ell ))$ $1/r^{\ell +2}$

Den radiale afhængighed af de multipolede strålingsbølger adskiller sig fra felterne i det stationære tilfælde, da disse bølger transporterer energi væk fra systemet. Da energi skal bevares, viser en simpel geometrisk analyse, at energitætheden af en sfærisk stråling med radius skal være proportional med . Når den sfæriske bølge udvider sig, skal dens faste energi fordeles over en kugle med overfladeareal . Hvert tidsafhængigt multipolmoment skal følgelig bidrage til den udstrålede energitæthed i forhold til , uanset rækkefølgen af momentet. Følgelig kan højordensmomenter ikke kasseres så let som i den stationære sag. Men selv i dette tilfælde falder systemets multipolkoefficienter generelt med stigende orden, normalt i forhold til , så de udstrålede felter kan stadig tilnærmes ved at kassere momenter af høj orden [5] . $r$ $1/r^{2}$ $4\pi r^{2}$ $1/r^{2}$ $1/(2\ell +1)!!$

Tidsafhængige elektromagnetiske felter

Kilder

Tidsafhængige kildefordelinger kan udtrykkes ved hjælp af Fourier-analyse . Dette gør det muligt at analysere forskellige frekvenser uafhængigt af hinanden.

Ladningstætheden er givet ved

\rho (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\rho ))(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}

og strømtæthed

\mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\mathbf {J} ))(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}

[6] .

For nemheds skyld betragter vi fra dette øjeblik kun én vinkelfrekvens ; dermed $\omega$

{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

Superpositionsprincippet kan anvendes til at generalisere resultaterne til flere frekvenser [5] .

Vektormængder er med fed skrift. Standardkonventionen for at tage den reelle del af et komplekst tal bruges til at udtrykke fysiske størrelser.

Elementarpartiklernes iboende vinkelmomentum (se Spin ) kan påvirke kildernes elektromagnetiske stråling. For at tage højde for disse effekter, tages den interne magnetisering af systemet i betragtning . Men for nemheds skyld vil overvejelse af disse effekter blive udskudt indtil diskussionen om generaliseret multipol stråling. $\mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)$

Potentialer

Kildefordelingerne kan integreres for at opnå tidsafhængig elektrisk potentiale φ og magnetisk potentiale A . Formlerne er udtrykt under hensyntagen til Lorentz-måleren i SI-enheder [5] [6] .

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt' {\frac {\rho (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \left(t'-( t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \venstre (t'-(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

I disse formler er c lysets hastighed i vakuum, er Dirac delta-funktionen og er den euklidiske afstand fra startpunktet for kilden x′ til det betragtede punkt x . $\delta$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))$

Integrering af de tidsafhængige kildefordelinger giver

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}e^{-i\omega t}\int d^{3}\ mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}

{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int d^{3 }\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}} {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))))

hvor k =ω/ c . Disse formler tjener som grundlag for analysen af multipol stråling.

Multipol ekspansion i små afstande fra kilden

Små afstande er et område i rummet nær kilden, hvor det elektromagnetiske felt kan betragtes som kvasi-stationært. Hvis afstanden til det betragtede punkt fra kilden er meget mindre end strålingsbølgelængden , så . Som et resultat kan eksponenten tilnærmes i denne region som følger (se Taylor-serien ): ${\displaystyle r=\|\mathbf {x} \|_{2))$ $\lambda =2\pi /k$ $kr\ll 1$

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))=1+O(kr)

I denne tilnærmelse er den resterende x ′-afhængighed den samme som for det stationære system, og den samme analyse anvendes [4] [5] . Faktisk kan potentialerne på et givet tidspunkt i små afstande fra kilden beregnes ved blot at tage et øjebliksbillede af systemet og behandle det, som om det var stationært. Derfor kaldes dette tilfælde quasi-stationær [5] . Især udvides den reciproke afstand ved hjælp af sfæriske funktioner , som er uafhængigt integrerede for at opnå sfæriske multipolkoefficienter (se multipolekspansion ). ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))$

Multipol ekspansion i store afstande fra kilden: multipol stråling

Ved store afstande fra højfrekvente kilden finder følgende tilnærmelser sted: $\lambda \ll r$

{\frac {1}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {1}{r}}+O(1/r^ {2})

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=e^{ik(r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} + O(1/r))}=e^{ikr-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }(1+O(1/r))

Da kun førsteordens termer i store afstande fra kilden er væsentlige, reduceres udvidelsen i det væsentlige til: $1/r$

{\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}={\frac {e^{ikr}}{r}}(1-ik(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )+{\frac {(-ik)^ {2}}{2}}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )^{2}+...)+O(1/r^{2})

Hver grad svarer til et forskelligt multipolmoment. Nedenfor er de første par punkter. $\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'}$

Udstrålingen af en elektrisk monopol, umuligheden af eksistens

Den nulte ordens term, , i forhold til skalarpotentialet giver: ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\højrepil {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\phi _{\text{elektrisk monopol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr -i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )={\frac {e^{ikr-i\omega t}} {4\pi \epsilon _{0}r}}q

hvor systemets samlede ladning er en elektrisk monopol, der oscillerer ved frekvensen ω. Loven om bevarelse af elektrisk ladning kræver det $q=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )$ $q=0$

q(t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ,t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho ( \mathbf {x'} )e^{-i\omega t}=qe^{-i\omega t}

Hvis systemet er lukket, så kan ladningens størrelse ikke svinge, hvilket betyder at oscillationsamplituden q skal være lig nul. Derfor ,. De tilsvarende felter og strålingseffekt skal også være lig nul [5] . $\phi _{\text{elektrisk monopol}}(\mathbf {x} ,t)=0$

Elektrisk dipolstråling

Elektrisk dipolpotentiale

Udstrålingen af en elektrisk dipol kan opnås ved at betragte nulteordensleddet, , anvendt på vektorpotentialet [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\højrepil {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\mathbf {A} _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )

Integration af dele giver [7]

\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )=-\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

Og ladningskontinuitetsligningen viser

{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t))+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t) =\left(-i\omega \rho (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )\right)e^{-i\omega t} =0

Derfor følger det

\mathbf {A} _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

Lignende resultater kan opnås ved at overveje den første ordens term, , som anvendt på skalarpotentialet. ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\højrepil {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

Størrelsen af amplituden af systemets elektriske dipolmoment

\mathbf {d} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

Dette giver os mulighed for at udtrykke potentialerne som

\phi _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \cdot \mathbf {d}

\mathbf {A} _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {d}

Elektriske dipolfelter

Når de tidsafhængige potentialer er fundet, kan det tidsafhængige elektriske felt og magnetfelt beregnes på sædvanlig måde. Nemlig

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\ mathbf {x} ,t)}{\partial t))

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)

eller, i et kildefrit område af rummet, kan forholdet mellem det magnetiske felt og det elektriske felt bruges til at opnå

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\mu _{0))}\mathbf {\nabla} \times \mathbf {A} (\mathbf { x} ,t)

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)

hvor er bølgeimpedansen for vakuum . ${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0))))$

Elektriske og magnetiske felter, der svarer til potentialerne ovenfor:

\mathbf {H} _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {ck^{2}}{4\pi }}(\mathbf {n} \ gange \mathbf {d} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {E} _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{elektrisk dipol}}\ gange \mathbf {n} )

som svarer til bølgerne af sfærisk stråling [5] .

Strålingseffekt af en elektrisk dipol

Energifluxtæthed ved hjælp af Poynting-vektoren . Det følger heraf, at den tidsgennemsnitlige energifluxtæthed pr. rumvinkelenhed bestemmes af $\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

{\frac {dI(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {r^{2}}{2}}\Re (\mathbf {n} \cdot \mathbf { E} \times \mathbf {H} )

Skalarproduktet med giver strålingens størrelse, og faktoren 1/2 fås ud fra tidsgennemsnittet. Som forklaret ovenfor, eliminerer den radiale afhængighed af den udstrålede energitæthed. Som anvendt på den elektriske dipol får vi $\mathbf {n}$ $r^{2}$

{\frac {dI_{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{32\pi ^ {2}}}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta

hvor θ er målt i forhold til [5] . $\mathbf{d}$

Integration over kuglen giver den samlede strålingseffekt:

I_{\text{elektrisk dipol}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2 }^{2}

Magnetisk dipolstråling

Magnetisk dipolpotentiale

Førsteordensleddet, , i forhold til vektorpotentialet giver strålingen fra en magnetisk dipol eller strålingen fra en elektrisk kvadrupol [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\højrepil {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{magnetisk dipol / elektrisk quadrupol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}(-ik)\int d^{3}\mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )

Integranden kan opdeles i symmetriske og antisymmetriske dele over n og x ′

(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )={\frac {1}{2))\left((\mathbf {n } \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x '} \right)+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\time \mathbf {n}

Det andet led indeholder den effektive magnetisering på grund af strømmen og integration giver det magnetiske dipolmoment $\mathbf {M} _{\text{effektiv}}(\mathbf {x'} )=1/2(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ) )$ $\mathbf {m} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {M} _{\text{effektiv))(\mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{magnetisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik\mu _{0}}{4\pi }}{\frac { e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {m} \times \mathbf {n}

Bemærk, at den har et lignende udseende. Det betyder, at det magnetiske felt, der skabes af en magnetisk dipol, opfører sig på samme måde som det elektriske felt fra en elektrisk dipol. På samme måde ligner det elektriske felt fra en magnetisk dipol det magnetiske felt fra en elektrisk dipol. $\mathbf {A} _{\text{magnetisk dipol))$ $\mathbf {H} _{\text{elektrisk dipol))$

Udførelse af transformationer

\mathbf {E} _{\text{elektrisk dipol}}\højrepil Z_{0}\mathbf {H} _{\text{magnetisk dipol}}

\mathbf {H} _{\text{elektrisk dipol}}\højrepil {\frac {-1}{Z_{0}}}\mathbf {E} _{\text{magnetisk dipol}}

\mathbf {d} \rightarrow \mathbf {m} /c

i tidligere beregninger giver resultater for en magnetisk dipol [5] .

Magnetiske dipolfelter

\mathbf {E} _{\text{magnetisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k^{2}Z_{0}}{4\pi }}(\ mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {H} _{\text{magnetisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-1}{Z_{0}}}(\mathbf {E} _{\ tekst{magnetisk dipol}}\ gange \mathbf {n} )

[5]

Strålingseffekt af en magnetisk dipol

Den tidsgennemsnitlige magnetiske dipolstrålingsenergifluxtæthed pr. rumvinkelenhed bestemmes af

{\frac {dI_{\text{magnetisk dipol}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {Z_{0}}{32\pi ^{2}}} k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta

hvor θ er målt ved den relative magnetiske dipol . ${\mathbf {m}}$

Samlet strålingseffekt [5] :

I_{\text{magnetisk dipol}}={\frac {Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}

Elektrisk quadrupol stråling

Elektrisk quadrupol potentiale

Den symmetriske del af integranden fra det foregående afsnit kan pro-integreres ved at anvende integration af dele og ladningskontinuitetsligningen , som det allerede er blevet gjort for elektrisk dipolstråling .

{\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\ mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)={\frac {-i\omega }{2 }}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

\mathbf {A} _{\text{elektrisk quadrupol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

Lad os introducere den sporløse elektriske quadrupole momenttensor . Begrænsning af det andet indeks til den normale vektor giver os mulighed for at udtrykke vektorpotentialet som [5] $D_{\alpha \beta }=\int d^{3}\mathbf {x'} (3x'_{\alpha }x'_{\beta }-\|\mathbf {x'} \| _{2}^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x'} )$ ${\displaystyle [D(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\sum _{\beta }D_{\alpha \beta }n_{\beta ))$

\mathbf {A} _{\text{elektrisk dipol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}{\frac {1}{3}}\mathbf {D(n)}

Elektriske quadrupol felter

Resulterende magnetiske og elektriske felter [5] :

\mathbf {H} _{\text{elektrisk quadrupol}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)}

\mathbf {E} _{\text{elektrisk quadrupol}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{elektrisk quadrupol}}\ gange \mathbf {n} )

Strålingseffekt af en elektrisk quadrupol

Den tidsgennemsnitlige energifluxtæthed af strålingen fra en elektrisk quadrupol pr. rumvinkelenhed bestemmes af

{\frac {dI_{\text{elektrisk quadrupol}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1152\pi ^ {2}}}k^{6}\|(\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)} )\times \mathbf {n} \|_{2}^{2}

Samlet strålingseffekt [5] :

I_{\text{elektrisk quadrupol}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1440\pi }}k^{6}\sum _{\alpha ,\beta }D_{ \alpha \beta }^{2}

Generaliseret multipol stråling

Efterhånden som multipolmomentet i systemet af fordelte ladninger stiger, bliver de direkte beregninger, der hidtil er brugt, for besværlige. Analysen af højere momenter kræver en mere generel teoretisk tilgang. Som før betragter vi kun én frekvens . Derfor bestemmes ladningen, strømmen og den indre magnetiseringstæthed af $\omega$

{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {M} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

henholdsvis.

De resulterende elektriske og magnetiske felter deler samme tidsafhængighed som kilderne

{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {H} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

Ved at bruge disse definitioner og kontinuitetsligninger kan vi skrive Maxwells ligninger på formen:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} )=-{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J } (\mathbf {x} )

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} )

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} (\mathbf {x} )=ikZ_{0}\left(\mathbf {H} (\mathbf {x} )+\mathbf {M} ( \mathbf {x} )\right)

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\frac {ik}{Z_{0))}\mathbf {E} (\mathbf {x} ) +\mathbf {J} (\mathbf {x} )

Disse ligninger kan kombineres ved at anvende en krølle på de sidste ligninger og anvende identiteten . Dette giver vektorformerne for den inhomogene Helmholtz-ligning : $\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} )=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {V} )-\ mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {V}$

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} ) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\ nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\venstre[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\ret]

Bølgeligningsløsninger

Homogene bølgeligninger, der beskriver elektromagnetisk stråling med en frekvens i et område uden kilder, har formen: $\omega$

(\mathbf {\nabla} ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=0

Bølgefunktionen kan repræsenteres som summen af vektorsfæriske harmoniske $\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )$

\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

f_{\ell m}(kr)=A_{\ell m}^{(1)}h_{\ell }^{(1)}(kr)+A_{\ell m}^{(2 )}h_{\ell }^{(2)}(kr)

hvor er normaliserede vektorsfæriske harmoniske og og er sfæriske Hankel-funktioner (se Bessel-funktioner ). En differentialoperator er en vinkelmomentoperator med egenskaben . Koefficienterne og svarer til henholdsvis ekspanderende og kontraherende bølger. Således i tilfælde af stråling . For at bestemme de resterende koefficienter bruges den grønne funktion . Hvis kildeligningen $\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )=\mathbf {L} Y_{\ell m}(\theta ,\phi )/{\sqrt {\ell (\ell +1)}}$ ${\displaystyle h_{\ell }^{(1)))$ ${\displaystyle h_{\ell }^{(2)))$ $\mathbf {L} =-i\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla }$ ${\displaystyle L^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m))$ ${\displaystyle A_{\ell m}^{(1)))$ ${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)))$ $A_{\ell m}^{(2)}=0$

(\mathbf {\nabla} ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=-\mathbf {V} (\mathbf {x} )

så løsning:

\Psi _{\alpha }(\mathbf {x} )=\sum _{\beta}\int d^{3}\mathbf {x'} G_{\alpha \beta }(\mathbf {x } ,\mathbf {x'} )V_{\beta }(\mathbf {x'} )

Den grønnes funktion kan udtrykkes i form af vektorsfæriske harmoniske:

G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }ikh_{\ell }^{(1)}(kr)j_{\ell }(kr')X_{\ell m\alpha }(\theta ,\phi )X_{\ell m\beta } ^{*}(\theta ',\phi ')

Bemærk, at det er en differentialoperator, der virker på kildefunktionen . $\mathbf {X} _{\ell m}^{*}=Y_{\ell m}^{*}\mathbf {L} /{\sqrt {\ell (\ell +1)))$ ${\mathbf {V}}$

Så løsningen på bølgeligningen er:

\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac { ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )\ int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x'} )

Elektriske flerpolede felter

Anvendelse af løsningen opnået ovenfor på den elektriske flerpolede bølgeligning

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\venstre[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\ret]

vi får løsningen for magnetfeltet [5] :

\mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} ( \mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} (\mathbf {\nabla '} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\right]

Elektrisk felt:

\mathbf {E} ^{(E)}(\mathbf {x} )={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla} \times \mathbf {H} ^{ (E)}(\mathbf {x} )

Formlen kan forenkles ved at anvende identiteterne

\mathbf {L} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} )=i\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {V} (\mathbf {x } } ))

\mathbf {L} \cdot (\mathbf {\nabla} \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))=i\nabla ^{2}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))-{\frac {i\partial }{r\partial r}}(r^{2}\mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {V} (\mathbf { x))

\mathbf {L} \cdot \mathbf {\nabla } s(\mathbf {x} )=0

til integranden, som giver [5]

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla} \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\partial }{r'\partial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]

Greens sætning og integration af dele fører formlen til

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla} \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell}(kr' ))

den sfæriske Bessel-funktion kan også forenkles, hvis vi antager, at strålingsbølgelængden er meget større end kildedimensionerne, hvilket er tilfældet for de fleste antenner $j_{\ell }(kr')$

j_{\ell }(kr')={\frac {(kr')^{\ell }}{(2\ell +1)!!}}+O((kr')^{\ell +2})

Hvis vi kasserer alle termer, undtagen termerne for de mindste ordrer, får vi en forenklet form for elektriske multipolkoefficienter [5] :

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']

Q_{\ell m}=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\ rho (\mathbf {x'} )

Q_{\ell m}'=-{\frac {ik}{c(\ell +1)))\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))

${\displaystyle Q_{\ell m))$ er det samme multipolmoment som i det stationære tilfælde, hvis det blev påført en stationær ladningsfordeling , mens det svarer til det inducerede elektriske multipolmoment fra den iboende magnetisering af de originale kilder. $\rho(\mathbf{x})$ $Q_{\ell m}'$

Magnetiske flerpolede felter

Anvendelse af løsningen opnået ovenfor på den magnetiske multipole bølgeligning

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} ) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf { \nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

vi får løsningen for det elektriske felt [5] :

\mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\ mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

Et magnetfelt:

\mathbf {H} ^{(M)}(\mathbf {x} )=-{\frac {i}{kZ_{0))}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ^ {(M)}(\mathbf {x} )

Som før er formlen forenklet:

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[\mathbf {\nabla} \cdot (\mathbf {x' } \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r' ))(r'j_{\ell }(kr'))

Hvis vi kasserer alle led, undtagen termerne for de mindste ordrer, får vi en forenklet form af de magnetiske multipolkoefficienter [5] :

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']

M_{\ell m}={\frac {1}{\ell +1}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell}Y_{\ell m}^ {*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

M_{\ell m}'=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ') \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )

${\displaystyle M_{\ell m))$ er det magnetiske multipolmoment for den effektive magnetisering og svarer til den iboende magnetisering . $\mathbf {x} \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )/2$ $M_{\ell m}'$ $\mathbf {M} (\mathbf {x} )$