Penrose mosaik
Mosaic Penrose ( Penrose fliser ) - det generelle navn på tre specielle typer af ikke-periodisk opdeling af flyet; opkaldt efter den engelske matematiker Roger Penrose , som udforskede dem i 1970'erne.
Alle tre typer, som enhver aperiodisk flisebelægning, har følgende egenskaber:
- ikke-periodicitet - fraværet af translationel symmetri ,
- repeterbarhed (også kaldet selv-lighed, som dog ikke er relateret til egenskaben af samme navn af fraktaler ) - ethvert vilkårligt stort fragment af Penrose-mosaikken forekommer i mosaikken et uendeligt antal gange, dog gennem ulige afstande,
- kvasikrystallinitet - når det diffrakteres på en mosaik, som på en fysisk struktur, viser diffraktionsmønsteret tilstedeværelsen af en lang rækkefølge og femte-ordens symmetri.
Historie
Periodiske og aperiodiske fliselægninger
En flisebelægning er en belægning af et plan med fliser uden mellemrum og overliggende fliser oven på hinanden. Fliser kan normalt have et begrænset antal forskellige former, kaldet prototiler . Et sæt prototiler siges at tillade en fliselægning, hvis der findes en flisebelægning af planet med fliser, der er kongruente med sættets prototiler.
En flisedeling kaldes periodisk, hvis der eksisterer en to-parameter familie af parallelle oversættelser , som hver kombinerer den med sig selv. Ellers kaldes flisebelægningen ikke-periodisk. De mest kendte flisebelægninger (såsom firkantede eller trekantede fliser ) er periodiske.
Et sæt af prototiler siges at være aperiodisk, hvis det tillader en fliselægning af flyet, men enhver fliselægning af disse fliser er ikke-periodisk. En fliselægning af et plan med fliser fra et aperiodisk sæt kaldes også aperiodisk.
Tidlige aperiodiske tesselleringer
I 1960'erne overvejede logikeren Hao Wang problemet med at flisebelægge planet med kantfarvede firkanter (nu kendt som Wang-fliser ): er det muligt at flisebelægge planet med sådanne firkanter uden rotationer eller refleksioner, så firkanterne rører hinanden med kanter af samme farve.
Wang bemærkede, at hvis dette problem er algoritmisk uafgørligt , så eksisterer der et aperiodisk sæt Wang-fliser. Dette blev anset for usandsynligt på det tidspunkt, så Wang antog, at fliseproblemet var løseligt.
Wangs studerende Robert Berger viste imidlertid, at fliseproblemet er algoritmisk uafgørligt (det vil sige, Wangs formodning var forkert). Han byggede også Wangs aperiodiske flisesæt med 20.426 fliser. Efterfølgende blev der fundet aperiodiske sæt med færre fliser. I øjeblikket er minimum et sæt på 13 fliser fundet af Karel Chulik i 1996 .
Baseret på Bergers resultater opnåede Rafael Robinson et aperiodisk sæt bestående af kun seks prototiler (rotationer og refleksioner er allerede tilladt).
Udvikling af Penrose flisebelægninger
Den første type Penrose flisebelægning (P1) består også af seks prototiler, men de er ikke baseret på en firkant, men på en regulær femkant. Baseret på de ideer, som Johannes Kepler udtrykte i Harmonices Mundi , var han i stand til at finde fliseformer og kombinationsregler, der garanterede aperiodicitet af sættet. Mosaik P1 kan ses som en forlængelse af "figuren Aa" - den endelige figur afbildet af Kepler, sammensat af regulære femkanter, femtakkede stjerner, dekagoner og nogle andre figurer.
Efterfølgende lykkedes det Penrose at reducere antallet af prototiler til to og opnåede yderligere to typer Penrose-fliser: fra deltoider (P2) og fra romber (P3). Penrose rombemosaikken blev også uafhængigt opdaget af Robert Ammann .
I 1981 beskrev Nicholas de Bruijn en algebraisk måde at konstruere Penrose-fliser baseret på fem familier af parallelle linjer (eller alternativt ved at skære femdimensionelt rum med et todimensionalt plan).
Typer af Penrose flisebelægninger
De tre typer Penrose flisebelægninger har mange fællestræk, sådan at formerne på fliserne i alle tre typer er forbundet med den almindelige femkant og det gyldne snit . I dette tilfælde skal basisformularerne suppleres med kombinationsregler for at garantere aperiodicitet. Matchingsregler angiver, hvordan tilstødende fliser kan passe sammen og kan implementeres ved at mærke spidser, kanter eller let omformning (tilføje passende kanter og trug til kanter)
Original Penrose flisebelægning (P1)
Denne type Penrose-fliser er bygget af seks typer fliser: tre af dem er i form af en regulær femkant (de adskiller sig i kombinationsregler), resten er i form af en femtakket stjerne, en "båd" ( ligner en stjerne med to stråler afskåret) og en rombe.
Penrose mosaik af deltoider (P2)
Den anden type Penrose flisebelægning er bygget af to typer fliser: en konveks deltoid (" slange ") og en konkav deltoid ("dart"). Disse former kan forbindes for at danne en rombe, men kombinationsreglerne forbyder en sådan kombination af fliser i en Penrose flisebelægning.
- Den konvekse deltoid har vinkler på 72°, 72°, 72° og 144°. Symmetriaksen deler den i to lige store ligebenede trekanter med vinkler på 36°, 72° og 72° (den såkaldte "gyldne trekant").
- Den konkave deltoide har vinkler på 36°, 72°, 36° og 216°. Symmetriaksen deler den i to lige store ligebenede trekanter med vinkler på 36°, 36° og 108° (den såkaldte "stumpe gyldne trekant").
Kombinationsregler kan defineres på flere måder. Det er muligt at farve flisespidserne med to farver og kræve, at tilstødende hjørner har samme farve. Det er muligt at påføre et mønster på fliserne, som på billedet til venstre, og kræve, at mønstrene på tilstødende fliser er konsistente (ved farvede buer til venstre, så kurverne ikke knækker).
En Penrose flisebelægning af type P2 kan have syv typer hjørner. John Conway gav hver sit navn: de symmetriske toppe blev navngivet "sol" og "måne" i deres form, og resten af toppene blev opkaldt efter værdierne for spillekort : "ace", "to" , "jack", "dronning" og "konge". ".
Diamantmosaik af Penrose (P3)
Den tredje type er også bygget af to typer fliser. Begge typer fliser er diamantformede. De har samme sidelængde, men forskellige vinkler. Kombinationsregler forhindrer fliser i at blive brugt til periodisk fliselægning.
- En smal rombe har en spids vinkel på 36°. Den korte diagonal deler den op i to "gyldne trekanter".
- En bred rombe har en spids vinkel på 72°. Den lange diagonal deler den i to stumpvinklede "gyldne trekanter".
En Penrose flisebelægning af type P3 kan have otte typer hjørner. De blev opkaldt af de Bruijn efter de første bogstaver i P2-typens hjørner.
Egenskaber for Penrose flisebelægninger
Operationer ved slibning og forgrovning
De fleste af de generelle egenskaber, herunder aperiodicitet, følger af den hierarkiske struktur, der er defineret ved forfining og forstørrelse af Penrose-fliser.
Ved at skære alle fliser af Penrose flisebelægningen efter bestemte regler, og derefter kombinere nogle af fragmenterne, kan man opnå en Penrose flisebelægning med fliser svarende til de originale med en koefficient
Denne operation kaldes slibning. Reglerne er generelt som følger: hver type flise skæres i mindre fliser og stykker af fliser. Ved P2 og P3 vil delene være halvdele af fliserne (gyldne trekanter), i tilfælde af P1 kan disse være gyldne trekanter, samt en trapez. Når du anvender disse regler på Penrose fliser, ved at følge kombinationsreglerne, vil dele af fliserne blive arrangeret, så de kan kombineres til en hel flise.
Den omvendte operation, kaldet forstørrelse, er entydigt defineret. Det unikke ved udvidelsen indebærer flisebelægningens aperiodicitet.
Andre flisebelægninger forbundet med Penrose fliselægning
Dækker med dekagoner
I 1996 viste den tyske matematiker Petra Hummelt, at der er en belægning (i modsætning til flisebelægning, hvor fliser får lov at overlappe) af planet med dekagoner, svarende til Penrose-flisebelægningen. Den dekagonale flise er tofarvet, og flisereglen tillader kun overlappende fliser, således at to områder med forskellige farver ikke overlapper hinanden.
Sådanne belægninger er blevet set som en realistisk model for væksten af kvasikrystaller: de overlappende dekagoner er "kvasi-enhedsceller", analogt med enhedscellerne i konventionelle krystaller.
Tessellation "hexagon, båd, stjerne"
Denne tessellation, også kaldet HBS for korte ( eng. hexagon-boat-star ), er opnået fra en Penrose flisebelægning af type P3 ved at kombinere fliser til større. Det opnås også fra P1 ved at forbinde centrene af tilstødende femkanter.
Denne fliselægning betragtes også som en realistisk model for væksten af kvasikrystaller: De tre typer fliser repræsenterer de tre typer atomer, og kombinationsreglerne afspejler interaktionerne mellem dem.
I 3D-rum
I det tredimensionelle rum bruges icosaeder , som tæt fylder det tredimensionelle rum [2] .
I arkitektur
Imam Darb-i moske , beliggende på det moderne Irans territorium i provinsen Isfahan og bygget i 1453, er dekoreret med et mønster ( girih ), der minder stærkt i strukturen om Penrose-mosaikken.
Noter
- ↑ Culik & Kari, 1997 .
- ↑ Penrose fliser . Hentet 9. februar 2011. Arkiveret fra originalen 22. september 2013.
Litteratur
- Culik, Karel & Kari, Jarkko (1997), On aperiodic sets of Wang tiles , Foundations of Computer Science , vol. 1337, Forelæsningsnotater i datalogi, s. 153-162, ISBN 3-540-63746-X , DOI 10.1007/BFb0052084
Links
- Quasikrystaller og det gyldne snit / Videnskab og liv, nr. 10, 2005
- Penrose fliser (engelsk) En oversigt over de forskellige typer og konstruktionsmetoder.
 Ordbøger og encyklopædier |
|---|