Ford cirkler

Ford -cirkler er cirkler centreret i punkter med koordinater og radier , hvor er en irreducerbar brøk . Hver Ford-cirkel er tangent til den vandrette akse , og to cirkler rører enten hinanden eller skærer ikke hinanden. [en] $(p/q,1/(2q^{2}))$ $1/(2q^{2})$ $p/q$ $y=0$

Historie

Ford-cirkler er et særligt tilfælde af gensidigt tangerende cirkler. Systemer af gensidigt tangerende cirkler blev studeret af Apollonius af Perga , efter hvem Apollonius-problemet og Apollonius -gitteret er opkaldt . I det XVII århundrede beviste Descartes Descartes' sætning - forholdet mellem de gensidige radier af gensidigt tangerende cirkler [2] .

Ford-kredse er opkaldt efter den amerikanske matematiker Lester Ford Sr. , som skrev om dem i 1938 [1] .

Egenskaber

Ford-cirklen svarende til brøken er angivet som eller . Hvert rationelt tal svarer til en Ford-cirkel. Derudover kan halvplanet også betragtes som en degenereret Ford-cirkel med uendelig radius, svarende til et par tal . $p/q$ $C[p/q]$ $C[p,q]$ $y\geqslant 1$ $p=1,q=0$

Enhver to distinkte Ford-cirkler skærer enten slet ikke eller rører hinanden. Ikke to Ford-cirkler har indre områder, der skærer hinanden, på trods af at ved hvert punkt på abscisse-aksen, som har en rationel koordinat, rører én Ford-cirkel denne akse. Hvis , så kan det sæt af Ford-cirkler, der rører ved, beskrives på en af følgende måder: $0<p/q<1$ $C[p/q]$

cirkler , hvor , [1] $C[r/s]$ $|ps-qr|=1$
cirkler, hvor brøker støder op til i enhver Farey-serie , [1] eller $C[r/s]$ $r/s$ $p/q$
cirkler , hvor er den nærmeste mindre eller nærmeste større forfader i Stern-træet - Broko , eller er den nærmeste mindre eller større forfader . [en] $C[r/s]$ $r/s$ $p/q$ $p/q$ $r/s$

Ford-cirkler kan også ses som områder i det komplekse plan . Den modulære transformationsgruppe i det komplekse plan kortlægger Ford-cirkler til andre Ford-cirkler. [en]

Hvis man fortolker den øverste halvdel af det komplekse plan som en model af det hyperbolske plan ( Poincaré -halvplansmodellen ), så kan Ford-cirkler fortolkes som at flise det hyperbolske plan med horocykler . Alle to Ford-cirkler er kongruente i hyperbolsk geometri. [3] Hvis og er tangenter til Ford-cirkler, så er den halvcirkel, der går gennem punkterne og og vinkelret på abscisseaksen, en hyperbolsk linje, der også passerer gennem tangentpunktet for to Ford-cirkler. $C[p/q]$ $C[r/s]$ $(p/q,0)$ $(r/s,0)$

Fords cirkler udgør en delmængde af de cirkler, der udgør Apollonius-gitteret, givet ved linjerne og og cirklen . [fire] $y=0$ $y=1$ $C[0/1]$

Samlet areal af cirkler

Der er en sammenhæng mellem det samlede areal af Fords cirkler, Euler-funktionen , Riemann-zeta-funktionen og Apérys konstant . [5] Da ingen to Ford-cirkler skærer hinanden ved indre punkter, opnår vi straks, at det samlede areal af cirklerne $\varphi$ $\zeta (3)$

\left\{C[p,q]:0\leqslant {\frac {p}{q}}<1\right\}

mindre end 1. Dette areal er givet ved en konvergent sum, der kan beregnes analytisk. Per definition er det nødvendige areal lig med

A=\sum _{{q\geqslant 1}}\sum _{{(p,q)=1 \top 1\leqslant p<q}}\pi \left({\frac {1}{2q^{ 2}}}\right)^{2}.

Forenkling af dette udtryk får vi

A={\frac {\pi }{4}}\sum _{{q\geqslant 1}}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{{q\geqslant 1}}{\frac {\varphi (q)}{q^{4} }}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4))),

hvor den sidste lighed bruger formlen for Dirichlet-serien med koefficienter givet af Euler-funktionen . Da vi som et resultat får $\zeta (4)=\pi ^{4}/90$

A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\ca. 0,872284041.

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 Ford L. R. Brøker // American Mathematical Monthly . - 1938. - Bd. 45 , nr. 9 . - S. 586-601 . - doi : 10.2307/2302799 . , MR : 1524411 .
↑ G. Coxeter, The problem of Apollonius // American Mathematical Monthly . - 1968. - Bd. 75 . — S. 5–15 . - doi : 10.2307/2315097 . MR : 0230204 _
↑ Conway J. Kvadratiske former givet til os i sansning . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 s. - 1000 eksemplarer. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
↑ Graham, Ronald L.; Lagarias, Jeffrey C.; Mallows, Colin L.; Wilks, Allan R.; Yan, Catherine H. Apollonske cirkelpakninger: talteori // Journal of Number Theory . - 2003. - Bd. 100 , nej. 1 . — S. 1–45 . - doi : 10.1016/S0022-314X(03)00015-5 . - arXiv : math.NT/0009113 . MR : 1971245 . _
↑ Marszalek W. Kredsløb med oscillerende hierarkiske Farey-sekvenser og fraktale egenskaber // Kredsløb, systemer og signalbehandling. - 2012. - Bd. 31 , nr. 4 . - S. 1279-1296 . - doi : 10.1007/s00034-012-9392-3 . .

Se også

Eksterne links

Fords rørende cirkler
Weisstein, Eric W. Ford Circle (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .