Multipel Riemann integral

Bemærk: Overalt i denne artikel, hvor tegnet bruges, menes (multiple) Riemann-integralet , medmindre andet er angivet; overalt i denne artikel, hvor det siges, at et sæt er målbart, betyder det Jordan målbart , medmindre andet er angivet. $\int$ $\left(R\right)\int$

Definition

Lad være et målbart (ifølge Jordan) sæt. En partition af et sæt er ethvert sæt af målbare sæt, der kun skærer langs grænserne og . Lad os vælge point - got - partition med markerede punkter . $EN$ $T$ $EN$ ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{m))$ $\bigcup _{1}^{m}A_{i}=A$ $\xi _{i}\in A_{i},\ i=1,\ldots ,m,\ \xi =\left\{\xi _{i}\right\}_{i=1} ^{m}$ ${\displaystyle (T,\xi )=\venstre\{A_{i},\xi _{i}\right\}_{i=1}^{m))$

Lad funktionen defineres på , så kaldes integralsummen . $f$ $EN$ ${\displaystyle \sigma (f,T,\xi )=\sum _{k=1}^{m}f(\xi _{k})\mu A_{k))$

En funktion er Riemann-integrerbar i multiple forstand på og er dens integral, hvis : for enhver markeret partition med og diameter , uligheden gælder . Integralet af en funktion på et målbart sæt er angivet med : . $f$ $EN$ $jeg$ $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0$ $(T,\xi )$ $\xi _{i}\in {}A_{i}$ $dAi=\sup \limits _{x,\,y\in A_{i}}\rho (x,y)<\delta$ $\left|\sigma (f,T,\xi )-I\right|<\varepsilon$ $f$ $EN$ $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$

Nogle egenskaber for det multiple Riemann-integral

Hvis en funktion er Riemann-integrerbar på et målbart sæt , så er den funktion afgrænset til sættet , hvor er det indre . (Se sammenhæng mellem Riemann-integrerbarhed og begrænsethed ). $f$ $EN$ $\exists \delta >0$ $f$ $A_{\delta }=\venstre\{x\in A:\ \rho (x,{\mbox{int}}A)<\delta \right\}$ ${\mbox{int}}A$ $EN$
Hvis en funktion er Riemann-integrerbar på et målbart sæt , er funktionen defineret på og på for nogle , så er den Riemann-integrerbar på og . $f$ $EN$ $g$ $EN$ $g(x)=f(x)$ ${\displaystyle A_{\delta ))$ $\delta>0$ $g$ $EN$ $\int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$
Linearitet. Hvis ( er afgrænset og Riemann kan integreres på ), så funktionen og . Hvis , så og . Det følger af integralets egenskaber som en grænse over basen . $f\in R(A)$ $EN$ $\forall \alpha \in \mathbb {R}$ $\alpha {}f\in R(A)$ $\int \limits _{A}\alpha f\,d{\vec {x}}=\alpha \int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$ $f,g\in R(A)$ $f\pm g\in R(A)$ $\int \limits _{A}(f\pm g)\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\pm \ int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}$
Additivitet over sæt. Hvis og , så og, hvis , så . Den første del følger af Lebesgues kriterium . $f\in R(A)$ $f\in R(B)$ $f\in R(A\kop B)$ $\mu (A\cap B)=0$ $\int \limits _{A\kop B}f\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}+\int \limits _{B}f\,d{\vec {x}}$
Delmængdeintegrerbarhed. Hvis , er en Jordan-målbar delmængde af , så . Følger af Lebesgue-kriteriet . $f\in R(A)$ $B$ $EN$ $f\in R(B)$
Hvis , så . Følger af Lebesgue-kriteriet . $f,g\in R(A)$ $f*g\in R(A)$
Hvis , er funktionen kontinuerlig på segmentet . Følger af Lebesgue-kriteriet . $f\in R(A)$ $\varphi$ $[\alpha ,\beta ]\supset f(A)\Rightarrow \varphi (f)\in R(A)$
Hvis , og ændring på sættet , så er den ændrede funktion , forudsat at den er afgrænset , også Riemann-integrerbar på og . $f\in R(A)$ $f$ $B\undersæt A,\ \mu B=0$ $\tilde f$ $EN$ $EN$ $\int \limits _{A}{\tilde {f}}\,d{\vec {x}}=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$
Hvis og ved , så . Det følger af integralets egenskaber som en grænse over basen . $f,g\in R(A)$ $f(x)\leqslant g(x)$ $EN$ $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\leqslant \int \limits _{A}g\,d{\vec {x}}$
Hvis , så og . $f\in R(A)$ $\left|f\right|\in R(A)$ $\left|\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}\right|\leqslant \int \limits _{A}\left|f\right|\,d{\ vec{x}}$
Hvis , på og er et indre punkt og et punkt for kontinuitet , så . $f\in R(A)$ $f(x)\geqslant 0$ $EN$ $f(x_{0})>0,\ x_{0}$ $EN$ $f$ $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}>0$

Sætninger

Darboux-integreringskriteriet .

En afgrænset funktion på et målbart sæt er Riemann integrable , og i tilfælde af lighed: , hvor og er henholdsvis de nedre og øvre Darboux-integraler . $f$ $EN$ $\Leftrightarrow \ I_{*}(f)=I^{*}(f)$ $I_{*}(f)=I^{*}(f)=\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}$ $JEG_*$ $jeg^*$

Lebesgue-integreringskriteriet .

Afgrænset på et målbart sæt , Riemann integrerbar, kontinuerlig næsten overalt på . $f$ $EN$ $\Leftrightarrow \f$ $EN$

Sætninger om forbindelsen mellem Riemann-integralet og Jordan-målet .
- Sætning 1. Lad være et målbart sæt i . Så er Jordan-målbarheden af den indstillede karakteristiske funktion Riemann-integrerbar på , og i tilfælde af målbarhed gælder ligheden: . $EN$ $\mathbb {R} ^{n},\ E\subset A$ $E\ \Leftrightarrow$ $\chi _{E}$ $EN$ $E$ $\mu E=\int \limits _{A}\chi _{E}\,d{\vec {x}}$
- Sætning 2. Lade være et målbart sæt i , en funktion på . Lad sætte sig . Så er Riemann-integrerbarheden af en afgrænset funktion på et sæt Jordan målbar i . I dette tilfælde, i tilfælde af målbarhed , gælder følgende lighed: . $EN$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f({\vec {x)))\geqslant 0$ $EN$ $A_{f}=\venstre\{({\vec {x)),y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x))\i A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x)))\right\}$ $f$ $A\ \Leftrightarrow$ ${\displaystyle A_{f))$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ ${\displaystyle A_{f))$ $\mu ^{n+1}A_{f}=\int \limits _{A}\,fd{\vec {x}}$
- Følge. En funktion afgrænset på et målbart sæt er Riemann-integrerbar på sæt og Jordan målbar i . Og i tilfælde af deres målbarhed er ligheden opfyldt :. $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ $f$ $A\ \Leftrightarrow$ $A_{f}^{+}=\left\{({\vec {x}},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\ i A,\ 0\leqslant y\leqslant f({\vec {x)))\right\}$ $A_{f}^{-}=\left\{({\vec {x)),y)\in \mathbb {R} ^{n+1}:\ {\vec {x}}\ i A,\ f({\vec {x)))\leqslant y\leqslant 0\right\}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\int \limits _{A}f\,d{\vec {x}}=\mu ^{(n+1)}A_{f}^{+}-\mu ^{(n+1) )}A_{f}^{-}$
Sætninger om reduktion af flere Riemann integraler i gentagne .
- Sætning. Lad funktionen være , hvor er strålen , som er produktet af intervaller : . Lad , for hver , betegne med og de nedre og øvre Darboux integraler af over til . Så og er Riemann integrerbare på og . $f\in R(\Pi )$ $\Pi$ ${\displaystyle \Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n))$ $1\leqslant m<n$ ${\vec {\xi }}\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{nm}$ $I_{*}({\vec {\xi )))$ $I^{*}({\vec {\xi )))$ $f({\vec {x))\,',{\vec {\xi )))$ ${\vec {\xi }}\,'\in \mathbb {R} ^{m}$ ${\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m))$ $I_{*}({\vec {\xi )))$ $I^{*}({\vec {\xi )))$ $\Pi ^{''}$ $\int \limits _{\Pi ^{''}}I_{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\ Pi ^{''}}I^{*}({\vec {\xi }})\,d{\vec {\xi }}=\int \limits _{\Pi }f({\vec {x )))\,d{\vec {x}}$
- Konsekvens 1. Lad , hvor - søjle , som er produktet af intervaller : . Lad , være en funktion på , sådan at , hvor og er henholdsvis den nedre og øvre Darboux-integral af for fast på på . Så er funktionen Riemann-integrerbar på og . $f\in R(\Pi )$ $\Pi$ $\Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n.\ \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k}]$ $I({\vec {x}}\,''),\ {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}$ $\Pi ^{''}$ $I_{*}({\vec {x}}\,'')\leqslant I({\vec {x}}\,'')\leqslant I^{*}({\vec {x} }\,'')\leqslant$ $I_{*}({\vec {x}}\,'')$ $I^{*}({\vec {x}}\,'')$ $f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')$ ${\vec {x}}\,''$ ${\vec {x}}\,'$ $\Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]$ $I({\vec {x}}\,'')$ $\Pi ^{''}$ $\int \limits _{\Pi ^{''}}I({\vec {x}}\,')\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _ {\Pi }f({\vec {x)))\,d{\vec {x}}$
- Konsekvens 2. Lad , hvor - søjle , som er produktet af intervaller : . Hvis funktionen er Riemann-integrerbar på , så er dens integral Riemann-integrerbar på og $f\in R(\Pi )$ $\Pi$ $\Pi =\prod _{k=1}^{n}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{n},\ 1\leqslant m<n$ $\forall {\vec {x}}\,''\in \Pi ^{''}=\prod _{k=m+1}^{n}[a_{k},b_{k} ]\subset \mathbb {R} ^{nm}$ $f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')$ ${\displaystyle \Pi ^{'}=\prod _{k=1}^{m}[a_{k},b_{k}]\subset \mathbb {R} ^{m))$ $\int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x} }\,'$ $\Pi ^{''}$ $\int \limits _{\Pi ^{''}}{\int \limits _{\Pi ^{'}}f({\vec {x}}\,',{\vec {x} }\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{\Pi }f({\vec { x)))\,d{\vec {x}}$
- Konsekvens 3 . Lad . Betegn ved - projektionen af sættet på hvad . For angiver ved - sektion af sættet . Antag, at og alle er Jordan målbare sæt i henholdsvis og og for hver funktion . Så integrerer vi på og . $f\in R(A)$ $A^{''}$ $EN$ $\mathbb {R} ^{nm},\ A^{''}=\venstre\({\vec {x}}\,''\in \mathbb {R} ^{nm}:\ \ findes {\vec {x}}\,'\i \mathbb {R} ^{m},\right.$ $\left.({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in A\right\},\ 1\leqslant m<n$ ${\vec {x}}\,''\in A$ $A^{'}$ $A,\ A^{'}({\vec {x}}\,''=\left\({\vec {x}}\,'\in \mathbb {R} ^{m}: \ ({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\i A\right\}$ $A^{''}$ $A^{'}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{nm))$ $\mathbb {R} ^{m}$ ${\vec {x}}\,''\in A^{''}$ $f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\,'')\in R(A^{'}({\vec {x}}\,'') )$ $\int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x}}\,',{\vec {x}}\, '')\,d{\vec {x}}\,'$ $A^{''}$ $\int \limits _{A^{''}}{\int \limits _{A^{'}({\vec {x}}\,'')}f({\vec {x} }\,',{\vec {x}}\,'')\,d{\vec {x}}\,'}\,d{\vec {x}}\,''=\int \limits _{A}f({\vec {x}})\,d{\vec {x}}$

Multipel Riemann integral

Definition

Nogle egenskaber for det multiple Riemann-integral

Sætninger

Se også