Polynomisk rod

Roden af et polynomium (ikke identisk nul )

a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}

over et felt er et element (eller et element i feltudvidelsen ), således at følgende to ækvivalente betingelser er opfyldt: $K$ $c\in K$ $K$

det givne polynomium er deleligt med polynomiet ; $xc$
at erstatte et element med inverterer ligningen $c$ $x$

a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}=0

ind i identitet , det vil sige, at værdien af polynomiet bliver nul.

Ækvivalensen af de to formuleringer følger af Bézouts sætning . I forskellige kilder er den ene af de to formuleringer valgt som definition, mens den anden er udledt som en sætning.

En rod siges at have multiplicitet , hvis det pågældende polynomium er deleligt med og ikke deleligt med . For eksempel har polynomiet en enkelt rod, der er lig med multiplicitet . Udtrykket "multipel rod" betyder, at multipliciteten af roden er større end én. $c$ $m$ $(xc)^{m}$ $(xc)^{{m+1}}.$ $x^{2}-2x+1$ $en$ $2$

Et polynomium siges at have rødder uden hensyn til multiplicitet , hvis hver af dets rødder tages i betragtning, når man tæller én gang. Hvis hver rod tælles et antal gange lig med dens multiplicitet, så siger de, at beregningen udføres under hensyntagen til multipliciteten . $n$

Egenskaber

Antallet af rødder af et polynomium med multiplicitet er ikke mindre end uden multiplicitet.
Antallet af rødder af et gradpolynomium overstiger ikke, selvom multiple rødder tælles under hensyntagen til multipliciteten. $n$ $n$
Ethvert polynomium med komplekse koefficienter har mindst én kompleks rod ( Fundamental Theorem of Algebra ). $p(x)$
- Et lignende udsagn gælder for ethvert algebraisk lukket felt i stedet for feltet med komplekse tal (per definition).
- Desuden kan et polynomium med reelle koefficienter skrives som $p(x)$

p(x)=a(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),

hvor - (i det generelle tilfælde komplekse) rødder af polynomiet , muligvis med gentagelser, mens hvis der blandt polynomiets rødder er lige store, så kaldes deres fælles værdi en multipel rod , og tallet er multipliciteten af denne rod.

c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}

p(x)

c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}

p(x)

Antallet af komplekse rødder af et polynomium med komplekse gradkoefficienter , under hensyntagen til multipliciteten, er lig med . Desuden kan alle rent komplekse rødder (hvis nogen) af et polynomium med reelle koefficienter opdeles i par af konjugater af samme multiplicitet. Således kan et polynomium af lige grad med reelle koefficienter, under hensyntagen til multipliciteten, kun have et lige antal reelle rødder, og en ulige kan kun have et ulige tal. $n$ $n$
Rødderne af et polynomium er relateret til dets koefficienter af Vieta-formlerne .

Find rødder

Metoden til at finde rødderne til lineære og kvadratiske polynomier i en generel form, det vil sige metoden til at løse lineære og kvadratiske ligninger, var kendt i den antikke verden. Søgningen efter en formel for den nøjagtige løsning af den generelle ligning af tredje grad fortsatte i lang tid, indtil den blev kronet med succes i første halvdel af det 16. århundrede i værker af Scipio del Ferro , Niccolo Tartaglia og Gerolamo Cardano . Formler for rødderne af andengrads- og kubiske ligninger gjorde det relativt nemt at opnå formler for rødderne af en fjerdegradsligning .

Det faktum, at rødderne til en generel ligning af femte grad og derover ikke er udtrykt ved hjælp af rationelle funktioner og radikaler af koefficienterne (det vil sige, at ligningerne i sig selv ikke kan løses i radikaler ) blev bevist af den norske matematiker Niels Abel i 1826 [1] . Det betyder slet ikke, at rødderne til en sådan ligning ikke kan findes. For det første, for nogle specielle kombinationer af koefficienter, kan ligningens rødder stadig bestemmes (se f.eks. den gensidige ligning ). For det andet er der formler for rødderne af ligninger af 5. grad og højere, ved hjælp af specielle funktioner - elliptiske eller hypergeometriske (se f.eks. Brings rod ).

Hvis alle koefficienter for et polynomium er rationelle, fører det at finde dets rødder til at finde rødderne til et polynomium med heltalskoefficienter. For rationelle rødder af sådanne polynomier er der algoritmer til at finde kandidater ved opregning ved hjælp af Horners skema , og når man finder heltalsrødder, kan optælling reduceres betydeligt ved at rense rødderne. Også i dette tilfælde kan du bruge den polynomielle LLL-algoritme .

For en omtrentlig konstatering (med enhver påkrævet nøjagtighed) af de reelle rødder af et polynomium med reelle koefficienter, bruges iterative metoder , for eksempel sekantmetoden , bisektionsmetoden , Newton -metoden , Lobachevsky-Greffe-metoden . Antallet af reelle rødder af et polynomium i et interval kan bestemmes ved hjælp af Sturms sætning .

Se også

Horners plan
Lilys metode er en grafisk metode til at finde de rigtige rødder af polynomier af vilkårlig grad.
Nul funktion

Noter

↑ Abels sætning i problemer og løsninger - M.: MTSNMO, 2001. - 192 s. . Hentet 9. november 2011. Arkiveret fra originalen 22. januar 2021. (ubestemt)

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra af polynomier. - M . : Uddannelse, 1980. - 176 s.
Prasolov VV polynomier . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 s. — ISBN 5-94057-077-1 .