Horners skema (eller Horners regel, Horners metode , Ruffini-Horners metode ) er en algoritme til at beregne værdien af et polynomium , skrevet som summen af monomer (monomier), for en given værdi af en variabel. Horners metode giver dig mulighed for at finde rødderne til polynomiet [1] , samt beregne afledte af polynomiet på et givet punkt. Horners skema er også en simpel algoritme til at dividere et polynomium i et binomium af formen . Metoden er opkaldt efter William George Horner , dog var Paolo Ruffini 15 år foran Horner, og denne metode var kendt af kineserne allerede i det 13. århundrede.
Givet et polynomium
Lad det være nødvendigt at beregne værdien af dette polynomium for en fast værdi på . Vi repræsenterer polynomiet i følgende form:
Lad os definere følgende rækkefølge:
… …Den ønskede værdi er . Lad os vise, at det er sådan.
Sæt ind i den resulterende notation og beregn værdien af udtrykket, startende fra de indre parenteser. For at gøre dette vil vi erstatte underudtryk gennem :
Når man dividerer et polynomium med , får man et polynomium med en rest (se Bézouts sætning ).
Desuden opfylder koefficienterne for det resulterende polynomium de tilbagevendende relationer
På samme måde kan du bestemme røddernes multiplicitet (brug Horners skema for det nye polynomium). Skemaet kan også bruges til at finde koefficienterne i udvidelsen af et polynomium i potenser :
Horners skema kan bruges til at finde afledte af et polynomium:
Beregn for brug af syntetisk division:
Her indeholder den første linje værdien og koefficienterne for polynomiet.
Værdierne (efter kolonner) i tredje række svarer til summen af værdierne i første og anden række ( ), og værdierne i anden række svarer til produktet af x og værdien i tredje række i forrige kolonne ( ).
For eksempel, hvis vi ser det - værdierne i tredje række. Så syntetisk opdeling er baseret på Horners metode.
Divider med :
2 │ 1 -6 11 -6 │ 2 −8 6 └──── den eptemeomtseskabelse ── 1 −4 3 0Nyt polynomium .
Lad og . Opdel ved at bruge Horners metode.
2 │ 4 −6 0 3 │ −5 ────┼────────────────────────┼──────── 1 │ 2 −2 −1 │ 1 └─────────────────────────────── 2 −2 −1 1 │ −4Den tredje linje er summen af de to første divideret med to. Hver værdi i den anden række matcher værdien i den tredje række i den forrige kolonne. Afdelingens svar:
Ved hjælp af Horners skema kan du også beregne værdien af et tal i en positionsberegning.