Sturms serie

En Sturm-serie ( Sturm -system ) for et rigtigt polynomium er en sekvens af polynomier, der giver dig mulighed for effektivt at bestemme antallet af rødder af et polynomium på et interval og beregne dem tilnærmelsesvis ved hjælp af Sturm-sætningen .

Serien og sætningen er opkaldt efter den franske matematiker Jacques Sturm , som definerede serien og dens egenskaber, og som også udviklede en konstruktiv måde at konstruere en sådan serie i 1829 .

Definition

Overvej et polynomium med reelle koefficienter. Endelig ordnet sekvens af polynomier, der ikke er nul, med reelle koefficienter: $f(x)$

f_{0}(x),f_{1}(x),...,f_{s}(x)\quad

kaldes en Sturm-serie for et polynomium , hvis følgende betingelser er opfyldt: $f(x)$

sætene af rødder og falder sammen; $f_0$ $f$
$f_{s}(x)\quad$ har ingen rigtige rødder;
hvis og , så ; $f_{k}(c)=0\quad$ $1\leqslant k\leqslant s-1$ $f_{k-1}(c)f_{k+1}(c)<0$
hvis , så skifter produktet fortegn fra minus til plus når , stigende, passerer gennem punktet , altså når der eksisterer sådan at for og for . $f(c)=0\quad$ $f_{0}(c)f_{1}(c)\quad$ $x$ $c$ $\delta>0$ $f_{0}(x)f_{1}(x)<0\quad$ $x\in (c-\delta ,c)$ $f_{0}(x)f_{1}(x)>0\quad$ $x\in (c,c+\delta )$

Værdien af Sturm-serien ved et punkt er antallet af tegnændringer i sekvensen efter eliminering af nuller. $c$ $f_{0}(c),f_{1}(c),...,f_{s}(c)$

Nogle gange er en Sturm-serie også defineret som en Sturm-serie konstrueret på en bestemt måde .

Sturms sætning

Lade være en ikke-nul polynomium med reelle koefficienter, være nogle Sturm serier for det, være et interval af den reelle linje, og . Så er antallet af forskellige rødder af polynomiet på intervallet , hvor er værdien af Sturm - serien i punktet . $f(x)$ $f_{0}(x),f_{1}(x),...,f_{s}(x)$ $[a,b]$ $f(a)f(b)\neq 0$ $f(x)$ $[a,b]$ $W(a)-W(b)$ $Toilet)$ $c$

Bygning

Sturm-serien findes for ethvert reelt polynomium, der ikke er nul.

Lad polynomiet , som adskiller sig fra en konstant, ikke have flere rødder. Så kan Sturm-serien til den for eksempel konstrueres som følger: $f(x)$

$f_{0}(x)=f(x)$ ;
$f_{1}(x)=f_{0}'(x)$ ;
Hvis ( ) har rødder, så , hvor er resten af at dividere et polynomium med et polynomium i ringen af polynomier , ellers slutter konstruktionen. $f_{k}(x)$ $k>0$ $f_{{k+1}}(x)=-f_{{k-1}}(x){\bmod f}_{k}(x)$ $f(x){\bmod g}(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathbb{R} [x]$ $s=k$

For et vilkårligt polynomium (muligvis med flere rødder), der adskiller sig fra en konstant, kan man sætte:

f_{0}(x)={\frac {f(x)}{(f(x),f'(x))))

og følg derefter ovenstående metode. Her er den største fælles divisor af polynomier og . $(f(x),f'(x))$ $f(x)$ $f'(x)$

Hvis et polynomium er en ikke-nul konstant, så består dets Sturm-serie af et enkelt polynomium . $f(x)$ $f_{0}(x)=f(x)$

Ansøgning

Sturm-serien bruges til at bestemme antallet af reelle rødder af et polynomium på et interval (se Sturms sætning ). Dette indebærer muligheden for at bruge det til den omtrentlige beregning af reelle rødder ved hjælp af den binære søgemetode .

Eksempel

Lad os konstruere Sturm-serien for polynomiet på ovenstående måde $f(x)=(x-1)(x-3)=x^{2}-4x+3$

Polynomium $rette op)$	Polynomialtegn ved punktet
Polynomium $rette op)$	$-\infty$	$0$	$en$	$2$	$3$	$fire$	$+\infty$
$f_{0}(x)=x^{2}-4x+3$	$+\quad$	$+\quad$	$0\quad$	$-\quad$	$0\quad$	$+\quad$	$+\quad$
$f_{1}(x)=2x-4$	$-\quad$	$-\quad$	$-\quad$	$0\quad$	$+\quad$	$+\quad$	$+\quad$
$f_{2}(x)=1$	$+\quad$	$+\quad$	$+\quad$	$+\quad$	$+\quad$	$+\quad$	$+\quad$
Rækkeværdi ved punkt	$2\quad$	$2\quad$	$1\quad$	$1\quad$	$0\quad$	$0\quad$	$0\quad$

Ved Sturm-sætningen er antallet af rødder af polynomiet således: $f(x)$

$2-0=2$ ind i mellem $(-\infty ,+\infty )$
$2-0=2$ ind i mellem $(0,4)$
$2-1=1$ ind i mellem $(0,2)$

Se også

Litteratur

Kostrikin A. I. Introduktion til algebra, del 1 "Fundamentals of Algebra", red. 2 rettet, - Fizmatlit, Moskva, 2004.
Shafarevich I. R. Om løsningen af ligninger af højere grader (Sturms metode). — M.: Gostekhizdat, 1954.
Sturms sætning - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . Proskuryakov I.V.