Endelig geometri

Finit geometri er et geometrisk system, der har et begrænset antal punkter . For eksempel er den euklidiske geometri ikke endelig, da den euklidiske linje indeholder et ubegrænset antal punkter, eller rettere, indeholder præcis lige så mange punkter, som der er reelle tal . En endelig geometri kan have et hvilket som helst begrænset antal dimensioner .

Finite geometrier kan beskrives ved lineær algebra som vektorrum og lignende strukturer over et endeligt felt , som kaldes Galois geometrier , eller kan beskrives fuldstændigt kombinatorisk . Mange, men ikke alle, endelige geometrier er Galois - for eksempel er ethvert projektivt rum med dimension tre eller mere isomorft med et projektivt rum over et begrænset felt (projektivisering af et vektorrum over et begrænset felt), i hvilket tilfælde der ikke er nogen forskel, men der er en dimension af to projektive planer, der ikke er isomorfe til projektive rum over begrænsede felter. De er ikke-desarguesiske fly . Der er således to forskelle i dimension.

Slutplaner

Følgende bemærkninger gælder kun for endeplaner.

Der er to slags geometri i planet: affin og projektiv . Affin geometri bruger den sædvanlige opfattelse af parallelle linjer. I projektiv geometri skærer to linjer tværtimod hinanden i det eneste mulige punkt, og derfor er der ingen parallelle linjer. Både finit affin geometri på planet og endelig projektiv geometri på planet kan beskrives ved ret simple aksiomer . En affin geometri i planet er et ikke-tomt sæt (hvis elementer kaldes "punkter"), med et ikke-tomt sæt af delmængder (hvis elementer kaldes "linje"), sådan at: $x$ $L$ $x$

For to adskilte punkter er der kun én linje, der indeholder begge punkter.
Euklids aksiom for parallelisme : For en linje og et punkt , der ikke er i , er der én og kun én linje , der indeholder , sådan at . $\ell$ $s$ $\ell$ $\ell'$ $s$ $\ell \cap \ell '=\varnothing$
Der er et sæt af fire punkter, hvoraf ikke tre ligger på samme linje.

Det sidste aksiom sikrer, at geometrien ikke er tom, mens de to første beskriver dens natur.

Den enkleste affine plan indeholder kun 4 punkter, og kaldes anden ordens affin plan . Hvert par punkter definerer en unik linje, så det angivne plan indeholder 6 linjer. Dette er analogt med et tetraeder , hvor ikke-skærende kanter betragtes som "parallelle", eller et kvadrat, hvor ikke kun modsatte sider betragtes som parallelle, men diagonalerne betragtes også som parallelle.

Mere generelt har et endeligt affin ordensplan punkter og linjer; hver linje indeholder punkter, og hvert punkt hører til en linje. $n$ $n^{2}$ $n^{2}+n$ $n$ $n+1$

En projektiv geometri i planet er et ikke-tomt sæt (hvis elementer kaldes "punkter"), sammen med et ikke-tomt sæt af delmængder (hvis elementer kaldes "linjer"), således at: $x$ $L$ $x$

For to forskellige punkter er der kun én linje, der indeholder disse punkter.
Skæringspunktet mellem to distinkte linjer indeholder præcis ét punkt.
Der er et sæt af fire punkter, hvoraf ikke tre hører til den samme linje.

De første to aksiomer er næsten identiske, bortset fra at punkters og linjers roller har ændret sig: dette fører til princippet om dualitet af projektiv geometri på planet, det vil sige, vi kan antage, at den korrekte udsagn forbliver sand, hvis vi erstatter punkter med linjer og linjer med punkter.

Da det tredje aksiom kræver eksistensen af mindst fire punkter, skal planet indeholde mindst 7 punkter for at opfylde betingelserne for de to første aksiomer. Dette enkleste projektive plan har også 7 linjer; hvert punkt hører til tre linjer, og hver linje indeholder tre punkter. Et sådant projektivt plan kaldes ofte " Fano-planet ". Hvis nogen af linjerne fjernes fra planet sammen med de dertil hørende punkter, får vi som et resultat et affint plan af anden orden. Af denne grund kaldes Fano-flyet det andenordens projektive plan.

I det generelle tilfælde har det projektive ordensplan punkter og det samme antal linjer (i henhold til princippet om dualitet nævnt ovenfor). Hver linje indeholder punkter, og hvert punkt hører til en linje. $n$ $n^{2}+n+1$ $n+1$ $n+1$

En permutation af de syv punkter i Fano-planet, der transporterer kollineære (dem, der ligger på samme linje) punkter til kollineære punkter, kaldes " symmetrien " af planet. Den fulde symmetrigruppe har orden 168 og er isomorf til gruppen PSL(2,7) = PSL(3,2) og til den generelle lineære gruppe GL(3,2).

Bestillinger af fly

Et endeligt ordensplan er et sådant plan, hvis hver linie har et punkt (for et affint plan), eller hvis hver linje har et punkt (for et projektivt plan). For endelig geometri forbliver følgende vigtige spørgsmål åbent: $n$ $n$ $n+1$

Er rækkefølgen af et endeligt plan altid en potens af et primtal ?

Svaret på dette spørgsmål antages hypotetisk at være ja, men dette forbliver ubevist.

Affine og projektive ordensplaner eksisterer, når det er en potens af et primtal og kommer fra et begrænset felt med elementer. Planer, der ikke stammer fra endelige felter, findes også. Det mindste sådan fly har orden 9 [1] . $n$ $n$ $q=p^{k}$

Alle kendte eksempler er af størrelsesordenen en potens af et primtal; hypotesen om, at dette er sandt, bekræftes i flere særlige tilfælde. Det bedste resultat i denne retning er Bruck-Reiser-sætningen [2] , som siger: hvis der er et positivt heltal, der har formen eller og ikke er lig med summen af to kvadrater, så er det ikke rækkefølgen af det endelige plan. $n$ $4k+1$ $4k+2$ $n$ $n$

I kraft af Fermat-Euler-sætningen kan et primtals potens ikke opfylde kravene i Bruck-Reiser-sætningen. Det mindste heltal, der ikke er en potens af et primtal og ikke opfylder kravene i Brooke-Reiser-sætningen, er 10. Tallet 10 har formen , men er lig med summen af kvadrater . Ikke-eksistensen af et endeligt plan af orden 10 blev bevist af en computer i 1989. $4k+2$ $1^{2}+3^{2}$

Det næstmindste tal, der måske ikke er i rækkefølgen af et endeligt plan, er 12, for hvilket antagelserne endnu ikke er blevet bevist, men heller ikke modbevist.

Noter

↑ Diskret matematik ved hjælp af latinske firkanter . — John Wiley & Sons, 1998-09-17. - S. 146. - 336 s. Arkiveret 27. april 2021 på Wayback Machine
↑ Bruck, RH & Ryser, HJ (1949), The nonexistence of certain finite projective planes , Canadian Journal of Mathematics bind 1: 88–93 , DOI 10.4153/cjm-1949-009-2

Litteratur

Margaret Lynn Batten: Combinatorics of Finite Geometries. Cambridge University Press
Dembowski: Finite Geometries.
Lam, CWH (1991), The Search for a Finite Projective Plane of Order 10 , American Mathematical Monthly bind 98 (4): 305–318 , < http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lam / >
Cartesi F. Introduktion til endelige geometrier

Endelig geometri

Slutplaner

Bestillinger af fly

Noter

Litteratur

Links