Kompleks logaritme

Den komplekse logaritme er en analytisk funktion opnået ved at udvide den reelle logaritme til hele det komplekse plan (undtagen nul). Der er flere tilsvarende måder til en sådan distribution. Denne funktion er meget brugt i komplekse analyser . I modsætning til det virkelige tilfælde er den komplekse logaritmefunktion flerværdi .

Definition og egenskaber

For komplekse tal kan logaritmen defineres på samme måde som for reelle tal, det vil sige som en inversion af en eksponentiel funktion . I praksis bruges næsten kun den naturlige komplekse logaritme, hvis basis er Euler-tallet : det betegnes normalt . $e$ $\mathrm {Ln} \,z$

Den naturlige logaritme af et komplekst tal er defineret [1] som en løsning til ligningen $z$ $w$ $e^{w}=z.$

Andre, svarende til dette, definitioner er givet nedenfor.

Inden for komplekse tal er løsningen af denne ligning, i modsætning til det virkelige tilfælde, ikke entydigt bestemt. For eksempel ifølge Euler-identiteten , ; dog også . Dette skyldes, at eksponentialfunktionen langs den imaginære akse er periodisk (med periode ) [2] , og funktionen tager den samme værdi uendeligt mange gange. Således er den komplekse logaritmiske funktion flerværdi . $e^{\pi i}=-1$ $e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1$ $2\pi$ $w=\mathrm {Ln} \,z$

Det komplekse nul har ingen logaritme, fordi den komplekse eksponent ikke antager en nulværdi. Ikke-nul kan repræsenteres i eksponentiel form: $z$

z=r\cdot e^{{i(\varphi +2\pi k)}}\;\;,

hvor er et vilkårligt heltal

k

Derefter findes den ved formlen [3] : $\mathrm {Ln} \,z$

\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\venstre(\varphi +2\pi k\right)

Her er den rigtige logaritme. Det følger heraf: $\ln \,r=\ln \,|z|$

Den komplekse logaritme eksisterer for enhver , og dens reelle del er entydigt bestemt, mens den imaginære del har et uendeligt antal værdier, der adskiller sig med et heltal $\mathrm {Ln} \,z$ $z\neq 0$ $2\pi.$

Det kan ses af formlen, at én og kun én af værdierne har en imaginær del i intervallet . Denne værdi kaldes hovedværdien af den komplekse naturlige logaritme [1] . Den tilsvarende (allerede enkeltværdi) funktion kaldes logaritmens hovedgren og betegnes . Betegner nogle gange også værdien af logaritmen, som ikke ligger på hovedgrenen. Hvis er et reelt tal, så falder hovedværdien af dets logaritme sammen med den sædvanlige reelle logaritme. $(-\pi ,\pi ]$ $\ln\,z$ $\ln\,z$ $z$

Det følger også af ovenstående formel, at den reelle del af logaritmen bestemmes som følger gennem komponenterne i argumentet:

\operatornavn {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})

Figuren viser, at den reelle del som funktion af komponenterne er centralt symmetrisk og kun afhænger af afstanden til origo. Den opnås ved at rotere grafen for den reelle logaritme omkring den lodrette akse. Når den nærmer sig nul, har funktionen en tendens til $-\infty .$

Logaritmen af et negativt tal findes ved formlen [3] :

\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )

Eksempler på værdier for den komplekse logaritme

Her er hovedværdien af logaritmen ( ) og dens generelle udtryk ( ) for nogle argumenter: $\ln$ $\mathrm{Ln}$

\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i

\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi

\ln(i)=i{\frac {\pi}{2));\;\mathrm {Ln} (i)={\frac {1}{2}}i\pi (4k+1 )

Du bør være forsigtig, når du konverterer komplekse logaritmer, idet du tager i betragtning, at de har flere værdier, og derfor følger ligheden af disse udtryk ikke af ligheden af logaritmerne for nogen udtryk. Et eksempel på fejlagtig begrundelse:

i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi

er en åbenlys fejl.

Bemærk, at hovedværdien af logaritmen er til venstre, og værdien fra den underliggende gren ( ) er til højre. Årsagen til fejlen er den skødesløse brug af egenskaben , som generelt set i det komplekse tilfælde indebærer hele det uendelige sæt af værdier af logaritmen, og ikke kun hovedværdien. $k=-1$ $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$

Den komplekse logaritmiske funktion og Riemann-overfladen

I kompleks analyse , i stedet for at overveje funktioner med flere værdier på det komplekse plan , blev der truffet en anden beslutning: at betragte funktionen som enkeltværdi, men defineret ikke på planet, men på en mere kompleks manifold , som kaldes Riemann overflade [4] . Den komplekse logaritmiske funktion hører også til denne kategori: dens billede (se figur) består af et uendeligt antal grene snoet i en spiral. Denne overflade er kontinuerlig og enkelt forbundet . Funktionens eneste nul (af første orden) opnås ved . Enkeltpunkter: og (grenpunkter af uendelig rækkefølge) [5] . $z=1$ $z=0$ $z=\infty$

I kraft af at være simpelt forbundet, er Riemann-overfladen af logaritmen en universel dækning [6] for det komplekse plan uden et punkt . $0$

Analytisk fortsættelse

Logaritmen af et komplekst tal kan også defineres som den analytiske fortsættelse af den reelle logaritme til hele det komplekse plan . Lad kurven starte ved et, slutte ved z, ikke passere gennem nul og ikke krydse den negative del af den reelle akse. Så kan hovedværdien af logaritmen ved endepunktet af kurven bestemmes ved formlen [5] : $\Gamma$ $w$ $\Gamma$

\ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \over u}

Hvis det er en simpel kurve (uden selvskæringspunkter), så for tallene, der ligger på den, kan logaritmiske identiteter anvendes uden frygt, for eksempel: $\Gamma$

\ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma

Hovedgrenen af den logaritmiske funktion er kontinuerlig og differentierbar på hele det komplekse plan , bortset fra den negative del af den reelle akse, hvorpå den imaginære del hopper til . Men dette faktum er en konsekvens af den kunstige begrænsning af den imaginære del af hovedværdien af intervallet . Hvis vi betragter alle grene af funktionen, så finder kontinuitet sted på alle punkter undtagen nul, hvor funktionen ikke er defineret. Hvis kurven får lov til at krydse den negative del af den reelle akse, så overfører den første sådanne skæring resultatet fra hovedværdigrenen til nabogrenen, og hvert efterfølgende skæringspunkt forårsager et lignende skift langs grenene af den logaritmiske funktion [5 ] (se figur). $2\pi$ $(-\pi ,\pi ]$ $\Gamma$

Fra den analytiske fortsættelsesformel følger det, at på enhver gren af logaritmen [2] :

{\frac {d}{dz}}\ln z={1 \over z}

For enhver cirkel, der omslutter et punkt : $S$ $0$

\oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i

Integralet tages i positiv retning ( mod uret ). Denne identitet ligger til grund for teorien om rester .

Man kan også definere den analytiske fortsættelse af den komplekse logaritme ved hjælp af versioner af Mercator-serien kendt for det virkelige tilfælde:

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}} {4}}+\prikker

(række 1)

\ln \venstre({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\venstre(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)

(række 2)

Men af formen af disse serier følger det, at ved enhed er summen af rækken lig med nul, det vil sige, at rækken kun refererer til hovedgrenen af flerværdifunktionen af den komplekse logaritme. Konvergensradius for begge serier er 1.

Relation med inverse trigonometriske og hyperbolske funktioner

Da komplekse trigonometriske funktioner er relateret til eksponentialet ( Eulers formel ), så er den komplekse logaritme som den inverse af eksponentialfunktionen relateret til de inverse trigonometriske funktioner [7] [8] :

\operatørnavn {Arcsin} z=-i\operatørnavn {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatørnavn {Arccos} z=-i\operatørnavn {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatornavn {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

\operatornavn {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

Hyperbolske funktioner på det komplekse plan kan betragtes som trigonometriske funktioner af det imaginære argument, så her er der en sammenhæng med logaritmen [8] :

\operatørnavn {Arsh} z=\operatørnavn {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1)))

- omvendt hyperbolsk sinus

\operatørnavn {Arch} z=\operatørnavn {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)

er den omvendte hyperbolske cosinus

\operatørnavn {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatørnavn {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)

er den inverse hyperbolske tangens

\operatørnavn {Arcth} z={\frac {1}{2}}\operatørnavn {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)

er den omvendte hyperbolske cotangens

Historisk disposition

De første forsøg på at udvide logaritmer til komplekse tal blev foretaget ved overgangen til det 17.-18. århundrede af Leibniz og Johann Bernoulli , men det lykkedes ikke at skabe en holistisk teori, primært af den grund, at selve begrebet logaritmen endnu ikke var klart. defineret [9] . Diskussionen om denne sag var først mellem Leibniz og Bernoulli, og i midten af det 18. århundrede mellem d'Alembert og Euler. Bernoulli og d'Alembert mente, at man burde definere , mens Leibniz hævdede, at logaritmen af et negativt tal er et imaginært tal [9] . Den komplette teori om logaritmerne af negative og komplekse tal blev udgivet af Euler i 1747-1751 og er i det væsentlige ikke forskellig fra den moderne [10] . Selvom striden fortsatte (d'Alembert forsvarede sit synspunkt og argumenterede for det i detaljer i en artikel i hans Encyclopedia og i andre værker), modtog Eulers tilgang i slutningen af det 18. århundrede universel anerkendelse. $\log(-x)=\log(x)$

I det 19. århundrede, med udviklingen af kompleks analyse , stimulerede studiet af den komplekse logaritme nye opdagelser. Gauss udviklede i 1811 en komplet teori om polysemien af den logaritmiske funktion [11] , defineret som integralet af . Riemann , der stolede på allerede kendte fakta om denne og lignende funktioner, konstruerede en generel teori om Riemann-overflader . ${\frac {1}{z))$

Udviklingen af teorien om konforme kortlægninger viste, at Mercator-projektionen i kartografi , som opstod allerede før opdagelsen af logaritmer (1550), kan beskrives som en kompleks logaritme [12] .

Litteratur

Teori om logaritmer

Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for forskere og ingeniører) . - M . : Nauka, 1973. - 720 s.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner af en kompleks variabel. — M .: Nauka, 1967. — 304 s.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - udg. 6. — M .: Nauka, 1966. — 680 s.

Logaritmers historie

Matematik i det 18. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.). Matematik i det 19. århundrede. Geometri. Teori om analytiske funktioner. - M . : Nauka, 1981. - T. II.

Noter

↑ 1 2 Logaritmisk funktion. // Matematisk encyklopædi (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning, 1966 , bind II, s. 520-522 ..
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 623..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Theory of functions of a complex variable, 1967 , s. 92-94..
↑ 1 2 3 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Theory of functions of a complex variable, 1967 , s. 45-46, 99-100..
↑ Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Visuel topologi . - M . : Nauka, 1982. - S. 112. - (Quantum Library, udgave 21).
↑ Fikhtengolts G. M. Kurs af differential- og integralregning, 1966 , bind II, s. 522-526 ..
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 624..
↑ 1 2 History of Mathematics, bind III, 1972 , s. 325-328..
↑ Rybnikov K. A. Matematikkens historie. I to bind. - M. : Red. Moscow State University, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
↑ Matematik i det 19. århundrede. Bind II: Geometri. Theory of analytic functions, 1981 , s. 122-123..
↑ Klein F. Elementær matematik fra et højere synspunkt . - M . : Nauka, 1987. - T. II. Geometri. - S. 159-161. — 416 s.