Knude invariant
En knude-invariant er ethvert kendetegn ved en knude (i det enkleste tal, men kan være et polynomium , en gruppe og så videre), der er defineret for hver knude og er den samme for ækvivalente knob. En ækvivalens er normalt givet ved en omgivende isotopi , men kan også gives som en homøomorfi .
Studiet af invarianter er ikke kun motiveret af teoriens hovedopgave - at skelne knob - men også af behovet for at forstå knobs grundlæggende egenskaber og deres forhold til andre områder af matematikken.
Fra et moderne synspunkt er det naturligt at bestemme invarianten af en knude ud fra dens diagram . Selvfølgelig skal invarianten forblive uændret under Reidemeister-træk , denne egenskab svarer til karakteristikkens invarians.
Eksempler
- Det enkleste eksempel på en invariant er evnen til at farve i tre farver og antallet af sådanne farvestoffer.
- En af de mest bekvemme invarianter til at skelne knob er knudepolynomier
- Finite type invarianter er en klasse af knudeinvarianter karakteriseret ved en vis relation til alle opløsninger af en ental knude med et givet antal selvskæringer.
- Andre invarianter kan bestemmes ved at overveje nogle heltalsfunktioner på knudediagrammer og tage deres minimum blandt alle mulige diagrammer for en given knude. Denne type inkluderer antallet af sektioner, som er det mindste antal kryds blandt alle knudediagrammer, samt det mindste antal broer . Sådanne invarianter er lette at definere, men næsten umulige at beregne.
- Gordon-Luc- sætningen siger, at komplementet af en knude (som et topologisk rum ) er en "fuldstændig invariant" af en knude, i den forstand, at den adskiller en given knude fra alle andre op til omgivende isotopi og spejlreflektion . Blandt de invarianter, der er forbundet med knudens komplement, er knudegruppen , som simpelthen er den grundlæggende gruppe af dens komplement. Knudekvandlen er også en fuldstændig invariant i denne forstand, men kvandler er svære at sammenligne for isomorfi.
- Den hyperbolske struktur på komplementet af et hyperbolsk link er entydigt bestemt af Mostows stivhed , så det hyperbolske volumen er invariant for disse knob og links . Volumenet og andre hyperbolske invarianter har vist sig at være effektive til at kompilere omfattende knudetabeller .
- homologiske knudeinvarianter, som kategoriserer (oversætter i form af kategoriteori ) velkendte invarianter. For eksempel
- Hygard Flor- homologien er en homologiteori, hvis Euler-karakteristik er Alexander -knudepolynomiet. Det viste sig at være nyttigt til at opnå nye resultater på klassiske invarianter.
- En anden forskningslinje er den kombinatorisk definerede kohomologiteori, kaldet Khovanov-homologien , dens Euler-karakteristik er Jones-polynomiet .
Litteratur