Tre kropsproblem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. december 2021; checks kræver 6 redigeringer .

Problemet med tre legemer i astronomi er en af himmelmekanikkens opgaver , der består i at bestemme den relative bevægelse af tre legemer (materielle punkter), der interagerer i henhold til Newtons tyngdelov (for eksempel Solen , Jorden og Månen ). I modsætning til tolegemeproblemet har problemet i det generelle tilfælde ikke en løsning i form af endelige analytiske udtryk. Kun individuelle nøjagtige løsninger kendes for specielle begyndelseshastigheder og objektkoordinater.

Matematisk formulering

Det generelle tre-legeme problem i himmelmekanik er beskrevet af et system af andenordens almindelige differentialligninger

$\left.{\begin{array}{c}{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{1}=\gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{ 2}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}+\gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol { q}}_{1}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{2}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_ {1}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}+\ gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{3}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}} _{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}+ \gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\ fed symbol {q}}_{3}|^{3}}}\end{array}}\quad \right\}$

hvor er gravitationskonstanten , er legemernes masser, er radiusvektorerne, der bestemmer deres position, og prikken betyder den tidsafledede. $\gamma$ $m_{i}$ ${\boldsymbol {q}}_{i}$

Private beslutninger

I øjeblikket er mere end tusinde særlige løsninger kendt:

De første tre løsninger blev fundet af Euler i 1767. De eksisterer, når alle tre kroppe er på den samme lige linje . I dette tilfælde er der 3 mulige arrangementssekvenser (den tredje krop er mellem de to andre, enten til venstre eller til højre for begge). En sådan bevægelse kaldes collineær .
Yderligere to løsninger blev fundet i 1772 af Lagrange . I dem forbliver trekanten dannet af kroppene ligesidet og roterer i rummet.
I 1892-1899 beviste Henri Poincaré , at der er uendeligt mange særlige løsninger på tre-kropsproblemet.
I 1911 opdagede W. D. Macmillan en ny bestemt løsning, men uden en klar matematisk begrundelse. Det var først i 1961, at den sovjetiske matematiker K. A. Sitnikov var i stand til at finde et strengt matematisk bevis for denne sag (se Sitnikovs problem ).
I midten af 1970'erne opdagede R. Broucke ( engelsk Roger A. Broucke ), M. Henot ( franske Michel Hénon ) og J. Hadjidemetriou ( engelsk John D. Hadjidemetriou ) selvstændigt Brooke-Hénot-familien af baner - Hadjidemetriou [1] .
I 1993 fandt Moore [2] [3] en anden løsning i form af stabile "otte" baner .

I 2013 fandt de serbiske videnskabsmænd Milovan Shuvakov og Velko Dmitrashinovich fra Institut for Fysik i Beograd 11 nye periodiske delløsninger på problemet med tre kroppe med samme masse [1] [4] .
I 2017 havde en gruppe kinesiske matematikere skabt deres egen algoritme til at finde periodiske baner, som de kaldte Clean Numerical Simulation . Med dens hjælp beregnede videnskabsmænd nye baner, som et resultat blev antallet af kendte familier af periodiske baner for tre-kropsproblemet 695. I forlængelse af arbejdet beregnede denne gruppe videnskabsmænd yderligere 1223 særlige løsninger på problemet.
I 2018 fandt matematikeren Liao Shijun og hans kolleger fra Shanghai Transport University 234 nye særlige løsninger på tre-kropsproblemet uden kollisioner ved hjælp af en supercomputer [5] .

Generel sag

Med hensyn til den generelle sag foreslog Weierstrass følgende problem ( 1885 , konkurrence om den svenske kong Oscar IIs pris ):

Lad et system af et vilkårligt antal materielle punkter, der interagerer i henhold til Newtons lov, gives. Det er påkrævet, under den antagelse, at der ikke vil være nogen kollision mellem to punkter, at repræsentere koordinaterne for hvert punkt i form af serier i form af nogle kontinuerlige funktioner af tid, ensartet konvergerende for alle reelle værdier af denne variabel .

— Pogrebyssky I. B. Kommentar til Poincarés trelegemeproblem // Poincaré A . Udvalgte værker. - T. 2. - M .: Nauka, 1979. - S. 967-976.

Tilnærmet løsning

Tilsyneladende ønskede Weierstrass selv, idet han stolede på sin berømte sætning om tilnærmelse af en vilkårlig funktion ved polynomier , at opnå et udtryk for koordinaterne af legemer i formen

\lim \limits _{n\rightarrow \infty }P_{n}(t)

hvor er nogle polynomier. $P_{n}$

Eksistensen af sådanne polynomier følger umiddelbart af løsningens kontinuitet, men indtil videre har det ikke været muligt at finde en konstruktiv måde at finde polynomier på.

Diskussionen af selve muligheden for situationen beskrevet i Weierstrass-problemet førte til en række vigtige konklusioner:

Hvis løsningen på tre-kropsproblemet er en holomorf funktion i intervallet og ophører med at være sådan ved , så er for eller alle afstande mellem kroppe tilbøjelige til nul (tredobbelt kollision af kroppe), eller en af dem har en tendens til nul, og de to andre har en tendens til begrænsede grænser (enkle kollisionslegemer). ( Painlevé , 1897); $t$ $[0,t_{0})$ $t=t_{0}$ $t\højrepil t_{0}-0$
Tredobbelt kollision i tre-kropsproblemet er kun muligt, hvis systemets vinkelmomentum forsvinder, og kan derfor kun finde sted med meget specielle indledende data. ( F. A. Sludsky , 1874);
Hvis systemets vinkelmomentum ikke er lig med nul, så er der en såkaldt regulariserende parameter , hvorigennem man kan udtrykke koordinaterne og tiden på en holomorf måde i nærheden af den reelle akse . ( Sundman , 1912; et kort bevis blev givet i 1967 af Burdet [6] ). $s$ $s$

Dette fik Poincaré og Zundman til at lede efter en løsning, ikke i form af funktioner af , men i form af serier af en eller anden parameter. Koordinaterne for tre legemer og tid er nemlig holomorfe funktioner langs hele planets reelle akse , det vil sige, at der er et område, hvor koordinaterne er holomorfe. Ifølge Riemanns sætning kan dette område afbildes på en cirkel med enhedsradius , så koordinaterne for tre legemer og tid kan repræsenteres som funktioner af parameteren holomorphic i en cirkel med enhedsradius. Sådanne funktioner kan repræsenteres som serier i positive potenser, der konvergerer i hele cirklen . Disse serier blev fundet af Zundman i 1912 , mere præcist blev der fundet en algoritme til at finde deres koefficienter. Desværre, som D. Beloritsky [7] viste , i det mindste i tilfældet Lagrange, for beregningsastronomiens behov, skal i det mindste termer tages i konvergerende Sundman-serier. $t$ $s$ $s$ $|v|<1$ $v$ $v$ $10^{8\cdot 10^{6}}$

Præcis løsning

Tre-kropssystemet er det enkleste system med dynamisk kaos [1] .

Bruns og Poincaré beviste, at systemet af differentialligninger for bevægelse af tre legemer ikke kan reduceres til en integrerbar en [1] . Deres opdagelse betyder, at dynamiske systemer ikke er isomorfe .

Simple integrerbare systemer kan dekomponeres til ikke-interagerende delsystemer, men i det generelle tilfælde er det umuligt at udelukke interaktioner.

Se også

To kropsproblem
Gravitationelt N-legeme problem
Michael Minovich
Faddeev-ligninger (tre-partikelproblem i kvantemekanik.)

Noter

↑ 1 2 3 4 Trunin, D. Mere end seks hundrede periodiske baner blev opdaget i tre-kropsproblemet : [ arch. 7. november 2018 ] // N+1. - 2017. - 12. oktober.
↑ Stewart, 2016 , s. 217.
↑ Serbiske fysikere har udvidet antallet af kendte løsninger på "tre-legeme-problemet" markant . Hentet 10. januar 2019. Arkiveret fra originalen 11. januar 2019. (ubestemt)
↑ Fysikere har fundet nye løsninger på det newtonske tre-kropsproblem . Lenta.ru (11. marts 2013). Hentet 17. marts 2013. Arkiveret fra originalen 21. marts 2013. (ubestemt)
↑ Li, Xiaoming og Liao, Shijun. Kollisionsfri periodiske kredsløb i frit-falds-tre-kropsproblemet . — 2018-05-21.
↑ Marshal K. Problemet med tre kroppe. M.-Izhevsk, 2004
↑ Belorizky, D. Sur la solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // CR 193, 766-768, 1931.

Litteratur

Alekseev V. M. Forelæsninger om himmelmekanik. - Izhevsk: RHD, 2001. - 156 s.
Siegel KL Forelæsninger om himmelmekanik. — M. : IL, 1959. — 300 s.
Marshal K. Problemet med tre kroppe. - Izhevsk: RHD, 2004. - 640 s.
Ian Stewart . De største matematiske problemer. — M. : Alpina faglitteratur, 2016. — 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Links

Chenciner, Alain (2007). "Tre kropsproblem". Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode : 2007SchpJ...2.2111C . DOI : 10.4249/scholarpedia.2111 .
Forskere er tæt på endelig at løse problemet med tre kroppe . Popular Mechanics (13. maj 2021). (ubestemt)

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	NKC : ph124613

Himmelsk mekanik

Love og opgaver	Newtons love Tyngdeloven Keplers love To kropsproblem Tre kropsproblem Gravitationelt N-legeme problem Bertrands problem Keplers ligning
Himmelsfære	Himmelsk koordinatsystem galaktisk vandret ækvatorial ekliptik Internationalt himmelsk koordinatsystem Sfærisk koordinatsystem verdens akse Himmelsk ækvator højre opstigning deklination Ekliptik Equinox Solhverv grundplan
Baneparametre _	Kepleriske elementer i kredsløbet excentricitet semi-hovedakse betyder anomali stigende node længdegrad periapsis argument Apocenter og periapsis Orbital hastighed Orbit node Epoke
Bevægelse af himmellegemer	Solens og planeternes bevægelse i himmelsfæren Ephemeris Planet konfigurationer konfrontation sammensatte kvadratur forlængelse parade af planeter Formørkelse solformørkelse måneformørkelse saros Metonisk cyklus Belægning Går igennem klimaks siderisk periode synodisk periode Rotationsperiode orbital resonans Equinox præludium Tilnærmelse librering Tyngdekraftens omfang Kozai effekt Yarkovsky effekt Dzhanibekov effekt

Astrodynamik

Rumfart	rumhastighed første (cirkulær) anden (parabolsk) tredje fjerde Tsiolkovskys formel Tyngdekraftsmanøvre Hohmanns bane Metode til at oskulere elementer Tidevandsacceleration Orbital hældningsændring Interplanetarisk transportnetværk Docking Lagrange punkter Pioneer effekt
SC -kredsløb	geostationær bane Heliocentrisk bane geosynkron bane geocentrisk bane geotransfer kredsløb Lav kredsløb om jorden polar bane Orbit "Tundra" Solsynkron bane Orbit "Lyn" Oskulerende kredsløb