Dobbelttal

Dobbelttal eller (hyper) komplekse tal af parabolsk type er hyperkomplekse tal af formen , hvor og er reelle tal , og er et abstrakt element, hvis kvadrat er lig med nul, men det er ikke selve nul. Ethvert dobbelttal er entydigt bestemt af et sådant par tal og . Sættet af alle dobbelttal danner en todimensionel kommutativ associativ algebra med enhed under den multiplikative operation på feltet af reelle tal . I modsætning til feltet med almindelige komplekse tal , indeholder denne algebra nul divisorer , og alle har formen . Planet for alle dobbelttal er det "alternative komplekse plan". Algebraer af komplekse og dobbelte tal er konstrueret på en lignende måde. $a+\varepsilon b$ $-en$ $b$ $\varepsilon$ $-en$ $b$ $\mathbb {R}$ $a\varepsilon$

Kommentar. Nogle gange kaldes dobbelttal dobbelttal [1] , selvom et andet system af hyperkomplekse tal normalt forstås som dobbelttal .

Definition

Algebraisk definition

Dobbelttal er par af reelle tal på formen , for hvilke operationerne med multiplikation og addition er defineret i henhold til reglerne: $(a,\;b)$

\ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2)

\ (a_{1},\;b_{1})(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2 }+a_{2}b_{1})

I dette tilfælde identificeres formularens numre med reelle tal, og tallet er angivet med , hvorefter de definerende identiteter vil have formen: $(a,\;0)$ $(0,\;1)$ $\varepsilon$

\varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepsilon

(a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2),

(a_1+\varepsilon b_1)(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1a_2)+\varepsilon (a_1b_2+a_2b_1).

Mere kort sagt er ringen af dobbelttal faktorringen af ringen af reelle polynomier af idealet genereret af polynomiet . $\R[x]/(x^2)$ $x^{2}$

Lineær repræsentation

Dobbelttal kan repræsenteres som matricer af reelle tal, hvor addition af dobbelttal svarer til matrixaddition, og multiplikation af tal svarer til matrixmultiplikation. Lad . Så antager et vilkårligt dobbelttal formen $\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}$

a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}

Vejledende form

For en eksponent med en dobbelt eksponent gælder følgende lighed:

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x

Denne formel giver dig mulighed for at repræsentere ethvert dobbelttal i eksponentiel form og finde dets logaritme i en reel base. Det kan bevises ved at udvide eksponenten i en Taylor-serie :

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \ cdots

I dette tilfælde er alle led over den første orden lig med nul. Følgelig:

\sinh \varepsilon x = \sin \varepsilon x = \varepsilon x

\cosh \varepsilon x = \cos \varepsilon x = 1

Aritmetiske operationer

Tilføjelse $(a+b\varepsilon)+(c+d\varepsilon)=(a+c)+(b+d)\varepsilon$
Subtraktion $(a+b\varepsilon)-(c+d\varepsilon)=(ac)+(bd)\varepsilon$
Multiplikation $(a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=(ac)+(bc+ad)\varepsilon$
Division $\frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \varepsilon$

Rødder

Den n . rod af et artsnummer er defineret som $a+\varepsilon b$

{\sqrt[{n}]{a))+{\frac {\varepsilon b}{n{\sqrt[{n}]{a^{n-1))))}.

Differentiering

De dobbelte tal er tæt forbundet med differentieringen af funktioner. Overvej en analytisk funktion, hvis definitionsdomæne naturligt kan udvides til ringen af dobbelttal. Det kan man nemt vise $f(x)$

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

Hvorfor er det sådan

Som bekendt,

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{nk}b^{k},

det er

(x+y\varepsilon )^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{nk}(y\varepsilon )^{k}, \qquad(1)

men da alle potenser større end én er lig med nul, så $\varepsilon$

(x+y\varepsilon )^{n}=x^{n}+nx^{n-1}y\varepsilon .

Overvej nu udvidelsen af funktionen i Maclaurin-serien (alt ligner udvidelsen i Taylor-serien):

f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {x^{k}}{k!}}.

Overvej den samme funktion af det dobbelte argument:

f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {(x+y\varepsilon )^{k }}{k!}}.

Ved formel (1) får vi

f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}+kx^{k-1} y\varepsilon }{k!}}=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}}{k!)}}+y\ varepsilon \sum _{k=1}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}.

Det andet led er intet andet end rækkeudvidelsen af den afledede af funktionen , dvs $f$

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

QED

Når man således ikke foretager beregninger på reelle, men på dobbelttal, kan man automatisk få værdien af den afledede af en funktion i et punkt. Det er især praktisk at overveje sammensætninger af funktioner på denne måde.

Der kan drages en analogi mellem dobbelttal og ikke-standardanalysetal . Den imaginære enhed ε af ringen af dualer er som det uendelige tal for ikke-standardanalyse: enhver potens (større end den første) er nøjagtig 0, mens enhver potens af et infinitesimal tal er omtrent lig med 0 (er en infinitesimal af højere orden) . Derfor, hvis er et infinitesimalt tal, så er op til inden for ringen af hyperreelle tal i formen isomorf med ringen af dobbelttal. $\varepsilon$ $\delta$ $o(\delta)$ $\R+\R\delta$

Noter

↑ J. Humphrey . Lineære algebraiske grupper. — M .: Nauka , 1980. — S. 121.

Litteratur

IM Yaglom Komplekse tal og deres anvendelse i geometri. M.: Fizmatlit, 1963. 192 s.
VV Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024 (engelsk)

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion

Beregning af infinitesimals og infinitesimals
Historie	Leibniz notation Integralskilt Udeleliges metode
Relaterede destinationer	Tilpasset analyse
Formalismer	Differential
Begreber	Standard del af et nummer Overgangsprincip Hyperinteger Inkrementsætning Monad Internt sæt Field of Levi-Civita Hyperfinite sæt Kontinuitetsloven overløb Mikrokontinuitet Transcendent lov om homogenitet
Videnskabsmænd	Archimedes Leibniz Robinson Gård Cauchy Euler
Litteratur	Analyse af infinitesimals Elementære beregninger Analyse kursus