Hyperbolsk ortogonalitet

Hyperbolsk ortogonalitet  er et begreb i euklidisk geometri . To linjer siges at være hyperbolsk ortogonale , når de er refleksioner fra hinanden langs asymptoten af ​​den givne hyperbel .

To specielle hyperbler bruges ofte i flyet:

(A) xy = 1 for y = 0 som en asymptote. Når den reflekteres langs x-aksen, bliver linjen y = mx y = -mx . I dette tilfælde er linjerne hyperbolske ortogonale, hvis deres hældninger er modsatte tal . (B) x 2  - y 2 = 1 for y = x som en asymptote. For linjer y = mx for −1 < m < 1, når x = 1/ m , er y = 1. Punktet (1/ m , 1) på linjen reflekteres gennem y = x til (1, 1/ m ). Derfor har den reflekterede linje en hældning på 1/m, og hældningerne af de hyperbolske ortogonale linjer er omvendt til hinanden.

Relationen mellem hyperbolsk ortogonalitet gælder faktisk for klasser af parallelle linjer i planet, hvor enhver bestemt linje kan repræsentere en klasse. For en given hyperbel og en asymptote A er et par linjer ( a, b ) således hyperbolske ortogonale, hvis der eksisterer et par ( c, d ), således at , og c  er reflektionen af ​​d gennem A.

Egenskaben af ​​en radius ortogonal til en tangent på en kurve udvides fra en cirkel til en hyperbel ved hjælp af begrebet hyperbolsk ortogonalitet. [1] [2]

Siden fremkomsten af ​​Minkowski rumtid i 1908 er begrebet hyperbolsk ortogonale til tidslinjen (tangens til verdenslinjen ) punkter i rumtidsplanet blevet introduceret for at bestemme samtidigheden af ​​begivenheder i forhold til en given tidslinje. Minkowskis undersøgelse bruger type (B) hyperbole. [3] To vektorer er normale (i betydningen hyperbolsk ortogonalitet) når

Hvor c = 1, y og z er lig med nul, x ≠ 0, t 1 ≠ 0, så .

I analytisk geometri bruges en bilineær form til at beskrive ortogonalitet , hvor to elementer er ortogonale, når deres bilineære form forsvinder. I planet med komplekse tal er den bilineære form , mens den bilineære form i planet med hyperbolske tal er

To vektorer z 1 og z 2 i det komplekse plan, og w 1 og w 2 i det hyperbolske plan siges at være henholdsvis euklidisk ortogonale og hyperbolske ortogonale , hvis deres respektive indre produkter af bilineære former er nul. [fire]

For en given hyperbel med asymptote A giver dens refleksion ved A den konjugerede hyperbel . Enhver diameter af den oprindelige hyperbel reflekteres til konjugatdiameteren. I relativitetsteorien tages retninger givet af konjugerede diametre som rumlige og tidsmæssige akser.

Som E. T. Whittaker skrev i 1910, "Hyperbelen er uændret, hvis et par konjugatdiametre tages som nye akser, og den nye længdeenhed tages i forhold til længden af ​​en af ​​disse diametre." [5] På dette relativitetsprincip skrev han derefter Lorentz-transformationen i sin moderne form ved at bruge begrebet hurtighed .

Edward B. Wilson og Gilbert N. Lewis udviklede konceptet indenfor syntetisk geometri i 1912. De bemærker, at "i vores plan er intet par vinkelrette hyperbolske-ortogonale linjer bedre egnet som koordinatakser end noget andet par" [1]

Begrebet hyperbolsk ortogonalitet opstod i analytisk geometri under hensyntagen til de konjugerede diametre af ellipser og hyperbler. [6] Hvis g og g' er hældningerne af konjugatdiametrene, så i tilfælde af en ellipse og i tilfælde af en hyperbel. Hvis a = b , er ellipsen en cirkel, de konjugerede diametre er vinkelrette, hyperbelen er rektangulær, og de konjugerede diametre er hyperbolsk ortogonale.

I terminologien for projektiv geometri er operationen med at tage en hyperbolsk ortogonal linje en involution . Antag, at den lodrette linjehældning er betegnet som ∞, så har alle linjer en hældning i den projektivt forlængede reelle linje . Afhængigt af hvilken af ​​hyperbelerne (A) eller (B) der bruges, er operationen et eksempel på hyperbolsk involution , hvor asymptoten er invariant.

Noter

  1. ↑ 1 2 Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "The Space-time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics" Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387-507, esp. 415
  2. ↑ Bjørn Felsager (2004), Through the Looking Glass - Et glimt af Euklids tvillingegeometri, Minkowski-geometrien Arkiveret 16. juli 2011 på Wayback Machine , ICME-10 København; side 6 og 7.
  3. ↑ Minkowski, Hermann (1909), Raum und Zeit , Physikalische Zeitschrift bind 10: 75–88 
    • Forskellige engelske oversættelser på Wikisource: Rum og tid
  4. ↑ Sobczyk, G. (1995) Hyperbolic Number Plane Arkiveret 13. november 2013 på Wayback Machine , også offentliggjort i College Mathematics Journal 26:268-80 .
  5. ↑ E. T. Whittaker (1910) En historie om teorierne om æter og elektricitet Dublin: Longmans, Green og Co. (se side 441)
  6. ↑ Barry Spain (1957) Analytical Conics Arkiveret 5. marts 2016 på Wayback Machine , ellipse § 33, side 38 og hyperbel § 41, side 49, fra Hathi Trust

Litteratur